konspekt wykładu z dn.13.11.2009

Ekstrema lokalne funkcji

Załóżmy, że punkt x₀ jest punktem wewnętrznym dziedziny funkcji f.

Def

Jeżeli istnieje otoczenie punktu x₀, w którym największą wartością funkcji jest f(x₀), to mówimy, że funkcja f ma maksimum lokalne w punkcie x₀.

Jeżeli istnieje otoczenie punktu x₀, w którym najmniejszą wartością funkcji jest f(x₀), to mówimy, że funkcja f ma minimum lokalne w punkcie x₀.

Jeżeli istnieje sąsiedztwo punktu x₀, w którym największą wartością funkcji jest f(x₀), to mówimy, że funkcja f ma maksimum (lokalne) właściwe w punkcie x₀.

Analogicznie

Jeżeli istnieje sąsiedztwo punktu x₀, w którym najmniejszą wartością funkcji jest f(x₀), to mówimy, że funkcja f ma minimum (lokalne) właściwe w punkcie x₀.

Powiedzenie, że funkcja ma ekstremum w pewnym punkcie oznacza, że ma w tym punkcie maksimum lub minimum.

Jeżeli funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum lokalne oraz
dla każdego
, to mówimy, że f ma w x₀ maksimum globalne.

Jeżeli funkcja f ma w punkcie x₀ minimum lokalne oraz
dla każdego
, to mówimy, że f ma w x₀ minimum globalne.

Warunek konieczny ekstremum funkcji różniczkowalnej

Tw: Fermata dowód

Jeżeli funkcja f ma w punkcie x₀ ekstremum i ma w tym punkcie pierwsza pochodną, to

Punkty, w których zeruje się pierwsza pochodna nazywamy punktami stacjonarnymi (krytycznymi) funkcji.

Wniosek

Funkcja f może mieć ekstremum jedynie w punktach, w których albo pochodna jest równa zero albo pochodna nie istnieje.

Tw: Rolle'a dowód

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym
i różniczkowalna na przedziale otwartym
oraz
, to istnieje taki punkt
, że
.

Tw: Lagrange'a

Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale domkniętym
i różniczkowalna na przedziale otwartym, to istnieje taki punkt
, że
.

Wnioski Monotoniczność funkcji, a znak jej pochodnej

Niech funkcja f będzie różniczkowalna na przedziale
.

1. Jeżeli
dla każdego
, to funkcja f jest stała na przedziale
.

2. Jeżeli
dla każdego
, to funkcja f jest rosnąca na przedziale
.

3. Jeżeli
dla każdego
, to funkcja f jest malejąca na przedziale
.

Przy wnioskowaniu w przeciwnym kierunku

1. Jeśli funkcja f jest stała na
, to
dla każdego
.

2. Jeśli funkcja f jest rosnąca na
, to
dla każdego
.

3. Jeśli funkcja f jest malejąca na
, to
dla każdego
.

Wnioski pozostają słuszne dla przedziałów nieskończonych.

Warunek wystarczający ekstremum funkcji różniczkowalnej

(zmiana znaku pochodnej)

Tw:

Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu
punktu x₀ pochodną
, która jest:

to funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum właściwe.

Jeżeli zaś pochodna
jest

to funkcja f ma w punkcie x₀ minimum właściwe.

Warunek wykluczający ekstremum

Jeżeli pochodna
jest

2^º stałego znaku w obustronnym sąsiedztwie punktu x₀,

to w punkcie x₀ funkcja f nie ma ekstremum.

Warunek wystarczający ekstremum funkcji ciągłej w punkcie x₀

Tw:

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie x₀ oraz ma w pewnym sąsiedztwie
punktu x₀ pochodną
, która jest:

to funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum właściwe.

Jeżeli zaś pochodna
jest

to funkcja f ma w punkcie x₀ minimum właściwe.

Warunek wystarczający ekstremum z drugą pochodną

Tw:

Jeżeli funkcja f ma w pewnym otoczeniu punktu x₀ drugą pochodną przy czym

to funkcja f ma w punkcie x₀

maksimum właściwe, jeżeli
,

minimum właściwe, jeżeli
.

obliczanie granic wyrażeń nieoznaczonych typu
,
.

Tw: Reguła de L'Hospitala

Jeżeli

1) funkcje f, g są różniczkowalne w pewnym sąsiedztwie S punktu x₀, przy czym
dla
;

2a)
,

albo

2b)

;

3) istnieje granica
skończona albo niewłaściwa,

to istnieje granica
i zachodzi równość

.

Twierdzenie pozostaje prawdziwe dla granic jednostronnych oraz gdy
.

---