Prawa hydrostatyki [edytuj]

Rys.3. Ciała częściowo zanurzone w cieczy

Rys.4. Objętość różniczkowa

Istnieją trzy podstawowe prawa, które odgrywają ogromną rolę w hydrostatyce:

Prawo Archimedesa [edytuj]

Prawo Archimedesa brzmi: Na ciało zanurzone w płynie działa pionowa, skierowana ku górze siła wyporu. Wartość siły jest równa ciężarowi wypartej cieczy (gazu). Siła jest przyłożona w środku ciężkości wypartej cieczy (gazu).

Prawo to pomaga też wyjaśnić zachowanie się ciał częściowo zanurzonych w wodzie (pływających). Ciało częściowo zanurzone w wodzie (Rys.3) posiada środek ciężkości (SC) oraz środek wyporności (SW). Przy zmianie kąta pochylenia położenie środka wyporności ulega zmianie, a ciało może wrócić do pozycji początkowej (stabilne) lub odchylić się całkowicie (niestabilne). O tym czy ciało jest stabilne czy nie, decyduje położenie metacentrum (MC). Metacentrum jest punktem, w którym oś ciała przecina się z linią pionową przecinającą środek wyporności. Dla małych zmian kąta pochylenia jego położenie jest niezależne od wartości kąta. Jeżeli metacentrum znajduje się powyżej środka ciężkości to ciało pod wpływem powstałego układu sił wróci do stanu początkowego (rys.3b). Jeżeli natomiast metacentrum leży poniżej środka ciężkości ciało pochyli się całkowicie (rys.3c). Odcinek od metacentrum do środka ciężkości nazywa się wysokością metacentryczną. Obliczenia takie stosuje się np. przy projektowaniu statków. Statki projektuje się tak, aby były one jak najbardziej stabilne i w razie pochylenia samoczynnie wracały do pozycji początkowej.

Prawo Eulera [edytuj]

Sformułowane przez Eulera w 1755 roku mówi, że ^[1]:

Na płaskie ciało zanurzone w cieczy działa ciśnienie, którego wartość jest niezależna od orientacji tego ciała w przestrzeni.

W celu otrzymania matematycznej zależności opisującej to prawo rozpatrzmy różniczkową objętość płynu o podstawie trójkątnej i wysokości b (rys.4.). Płyn znajduje się w stanie równowagi (spoczynku). W stanie równowagi suma sił w poszczególnych kierunkach musi być równa zero:

Rys.5. Pionowy rozkład ciśnienia w naczyniu

Ponieważ:

Po podstawieniu otrzymujemy ostatecznie:

p_x = p_y = p_xy

Prawo Pascala

Prawo Pascala mówi, że jeżeli na ciecz lub gaz w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu.

Prawo to jest spełnione dla cieczy, na którą działają jedynie siły powierzchniowe. Oznacza to, że dotyczy cieczy, które nie znajdują się w polu sił grawitacyjnych ^[1]. W warunkach rzeczywistych (gdy na ciecz działają dodatkowo siły grawitacji) cząsteczki z niższych warstw cieczy muszą "udźwignąć" cząsteczki znajdujące się nad nimi. Powoduje to różnice ciśnień między górną a dolną warstwą cieczy. Prawo często stosuje się w inżynierii (np. przy konstrukcji pras hydraulicznych, akumulatorów ciśnienia oraz tam).

Hydrostatyka to nauka zajmująca się prawami cieczy będącej w równowadze, czyli w spoczynku.

1. Właściwości cieczy:

• a. Ciecz posiada większą gęstość niż gaz (na ogół)

• b. Ciecz jest bardzo mało ściśliwa

• c. Ciecze nie mają kształtu - przyjmują kształt naczynia, w którym się znajdują i gromadzą się na jego dnie.

2. Ciśnienie hydrostatyczne

jest wywierane przez ciężar cieczy słupa cieczy na danej głębokości (czyli przez słup cieczy o danej wysokości). Ciśnienie mierzymy w paskalach (Pa).
1 Pa = 1N/1m².
Oznacza to, że ciśnienie o wartości 1 paskala jest wywierane przez nacisk 1 niutona na powierzchnię 1 metra kwadratowego.
Obliczmy, ile wynosi ciśnienie hydrostatyczne wywierane przez ciecz o wysokości h:

(1)

gdzie:
p_h - ciśnienie hydrostatyczne
Q - ciężar słupa cieczy
S - pole podstawy słupa cieczy, czyli powierzchnia dna naczynia
m - masa cieczy
V - objętość słupa cieczy
d _cieczy- gęstość cieczy
h - wysokość słupa cieczy

3. Parcie hydrostatyczne

to siła nacisku wywierana przez ciecz. Parcie mierzymy w niutonach (N).
Ciśnienie hydrostatyczne to siła parcia cieczy działająca na daną powierzchnię.

(2)

a więc parcie to:

(3)

gdzie:
p_h - ciśnienie hydrostatyczne
P_h - parcie hydrostatyczne

4. Prawo Pascala

mówi, że ciśnienie spowodowane siłami zewnętrznymi przekazywane jest w cieczy równomiernie we wszystkich kierunkach.

Zastosowanie: np. strzykawka, prasa hydrauliczna, podnośniki, hamulce.

Weźmy naczynie wypełnione cieczą, które zamknięte jest dwoma tłokami o powierzchniach S₁ i S₂. Działając na tłok o powierzchni S₁ siłą o wartości F₁ wywieramy ciśnienie p, takie że:

(4)

Zgodne z prawem Pascala ciśnienie to jest przekazywane równomiernie we wszystkich kierunkach a więc na powierzchnię S₂ musi być wywierane ciśnienie o takiej samej wartości p.
Można je obliczyć tak:

(5)

Stąd

(6)

A więc na powierzchnię S₂ działa siła F₂.

5. Naczynia połączone

to naczynia połączone ze sobą tak, że ciecz może się swobodnie przelewać z jednego do drugiego naczynia. Najprostszym naczyniem połączonym jest tzw. u-rurka.
Można sformułować dwa prawa dotyczące naczyń połączonych:
a. Jeżeli w obu naczyniach (czyli w ramionach u-rurki) jest ciecz jednorodna (czyli taka sama), to w obu ramionach ma ona tak samo wysoki poziom.
b. Jeżeli w naczyniach (czyli w ramionach u-rurki) są różne, niemieszające się ze sobą ciecze, to będąc w równowadze muszą wywierać takie samo ciśnienie na tym samym poziomie

Ciecz pierwsza o słupie wysokości h₁ i gęstości d₁ wywiera na pewnej głębokości ciśnienie

(7)

a ciecz druga o słupie wysokości h₂ i gęstości d₂ na tej samej głębokości wywiera ciśnienie

(8)

Ciśnienia te muszą być równe p₁ = p₂, a więc po uproszczeniu mamy

(9)

6. Paradoks hydrostatyczny

- ciśnienie cieczy nie zależy od kształtu naczynia a jedynie od wysokości słupa cieczy i od jej rodzaju. Oznacza to, że w naczyniach o różnym kształcie, do których wlejemy jednakową ciecz i będzie ona miała taka samą wysokośćw każdym naczyniu, ciśnienia wywierane na dno każdego naczynia będą takie same.

7. Prawo Archimedesa

mówi, że na ciało zanurzone w cieczy lub gazie działa siła wyporu skierowana pionowo do góry. Ma ona wartość równą ciężarowi cieczy (lub gazu) wypartej przez zanurzone ciało.
Przyczyną istnienia siły wyporu jest różnica parć działających na górną i dolną powierzchnię zanurzonego ciała. Z kolei ta różnica jest wywołana różnymi wartościami ciśnienia hydrostatycznego na różnych głębokościach.
Wartość siły wyporu liczymy następująco:

(10)

8. Pływanie ciał

- ciało zanurzone w cieczy (całkowicie, częściowo lub pływające po powierzchni cieczy) jest w spoczynku, gdy działające na nie siły się równoważą. Możliwe są trzy przypadki :

a. Jeśli gęstość ciała jest większa niż gęstość cieczy to mamy do czynienia z sytuacją, w której siła wyporu jest mniejsza od ciężaru ciała -

(11)

to

(12)

(13)

(14)

bo masa z definicji gęstości to

(15)

Wypadkowa tych sił jest zwrócona w dół i w efekcie ciało tonie.Ciało będzie w spoczynku gdy opadnie na dno - tam siła wypadkowa siły wyporu i ciężaru zrównoważy się z siłą sprężystości dna i ciało spoczywa.

b. Jeśli gęstość ciała jest taka sama jak gęstość cieczy to mamy do czynienia z sytuacją, w której siła wyporu jest równa ciężarowi ciała -

(16)

to

(17)

Wypadkowa tych sił jest równa zero i w efekcie ciało pozostaje w miejscu, w którym zostało mieszczone i pływa zanurzone całkowicie.
Siła wyporu nie zależy od głębokości , więc ciało może sobie pływać będąc w równowadze na dowolnej głębokości.

c. Jeśli gęstość ciała jest mniejsza niż gęstość cieczy to mamy do czynienia z sytuacją, w której siła wyporu jest większa od ciężaru ciała -

(18)

to

(19)

Wypadkowa tych sił jest zwrócona w górę i w efekcie ciało wypływa na powierzchnię do momentu, w którym zrównoważą się siły wyporu i ciężkości.W miarę wynurzania maleje objętość zanurzonej w cieczy
części ciała a więc maleje siła wyporu.
F_wyporu = d_cieczy*g*V_{zanurzonej w cieczy części ciała}

9. Aerometr

- przyrząd służący do wyznaczania gęstości cieczy.
Aerometr jest zbudowany ze szklnej rurki, której dolną część obciążono kuleczkami ołowiu po to, aby mógł utrzymywać pozycję pionową w cieczy.
W różnych cieczach aerometr pływa zanurzony do różnych głębokości. Jednak zawsze ciężar aerometru jest równy sile wyporu w danej cieczy.

(20)

(21)

gdzie:
S - powierzchnia rurki aerometru
h_zanurzone - głębokość, na którą zanurza się aerometr w cieczy
Siła ciężkości zawsze równa jest tyle:
F_c = m*g
Więc w cieczy 1:

(22)

a w drugiej cieczy:

(23)

W różnych cieczach siły wyporu muszą być sobie równe, bo muszą mieć taką samą wartość jak siła ciężkości.
Stąd mamy, że

(24)

a po uproszczeniu:

(25)

10. Wyznaczanie gęstości (lub ciężaru właściwego) metodą Archimedesa.

a. Ciała stałe:
Ciało stałe należy zważyć dwukrotnie - najpierw w powietrzu (ciężar ciała wynosi F_c) a później zanurzone całkowicie w wodzie (ciężar w wodzie wynosi Q). Ciało waży w powietrzu więcej niż w wodzie, a różnica tych ciężarów to siła wyporu.

(26)

Ponieważ gęstość wody jest nam świetnie znana, to z tej zależności można obliczyć objętość ciała.

(27)

Z kolei wiadmo, że ciężar ciała to

(28)

Oraz, że masa ciała z definicji gęstości to

(29)

A więc:

(30)

Stąd możemy wyznaczyć gęstość ciała:

(31)

b. Ciecze:
Ciało stałe należy zważyć trzykrotnie - najpierw w powietrzu (ciężar ciała wynosi F_c) a później zanurzone całkowicie w wodzie (ciężar w wodzie wynosi Q) a na koniec zanurzone całkowicie w cieczy o nieznanej gęstości (ciężar w badanej cieczy wynosi Q₁).
Mamy więc:

(32)

stąd wyznaczmy stałe w obu równaniach

(33)

oraz

(34)

stąd wyznaczmy tę samą stałą zależność:

(35)

Zależność wyznaczona z obu równań jest taka sama więc

(36)

a z tej zależności możemy już wyznaczyć gęstość badanej cieczy:

(37)

---