Wykład I Ekonometria

Elementy składowe pojedynczego równania w modelu ekonometrycznym

Zależności stochastyczne

y= f (α,x) +ε

y- zmienna objaśniana, zależna

x- zmienna objaśniająca, niezależna

α- parametry strukturalne modelu

ε- zmienna losowa (składnik losowy) o zmiennej treści model zależności: ŷ= f(α,x)

ŷ- wartość jaka podaje nam model ekonometryczny, oszacowany

dobór zmiennych do modelu ekonometrycznego

zmienne w modelu ekonometrycznym powinny odznaczać się:

• Wysoka zmiennością- współczynnik zmienności większy od 0,1

• Silnym skorelowaniem ze zmienna objaśniana

• Słabym skorelowaniem miedzy sobą

Metody doboru zmiennych do modeli:

• Metoda Hellwinga (metoda nośników informacyjnych)

• Metoda Nowaka

Macierz obserwacji

x₁₁ x₁₂ … x_1k y₁

x₂₁ x₂₂ … x_2k y₂

x= … … … … y= …

x_n1 x_n2 … x_nk y_n

gdzie n- liczba obserwacji

k- liczba zmiennych niezależnych

korelacje miedzy zmiennymi

• Współczynniki korelacji r_jm miedzy zmiennych objaśniającymi x_j oraz x_n

• Współczynnik korelacji r_j miedzy zmienna objaśniana y oraz objaśniająca x_j

Macierze korelacji

1 r₁₂ r₁₃ … r_k1 r₁

1 r₂₃ … r_2k r₂

1 … r_3k r₃

… … … …

… … …

• r_k

metoda Nowaka

• wartość krytyczna współczynnika korelacji

Gdzie n- liczba obserwacji

T_α,n-2= rozklad.t.odw(α,n-2)

1. wyeliminować zmienne objaśniające nie skorelowane ze zmienna objaśniana (dla których |r_j|≤r*

2. spośród pozostałych zmiennych objaśniających do modelu wprowadzić zmienna p najsilniej skorelowana ze zmienna objaśniana, czyli taka dla której zachodzi

|r_p| =max{|r_i|}

i

3. wyeliminować zmienne skorelowane ze zmienna p (dla których |r_pj| ≥r*)

4. ponownie wykonać punkt 2 i3 az do wyczerpania listy zmiennych

metoda momentów

• stochastyczna zależność miedzy zmiennymi

y_i=β₀+β₁*x_i+ε_i

gdzie y_i, x_i- obserwacje zmiennych

y i x dla i=1,….n

β₀,β₁-parametry strukturalne

ε_i- składnik losowy

• model zależności

ŷ_i=b₀+b₁*x_i

gdzie b₀, b₁- oszacowania parametrów strukturalnych

oszacowanie składnika losowego Bledu:

e_i =y_i- ŷ_i= y_i-b₀-b₁*x_i

zależność oszacowana b₀ i b₁ parametrów strukturalnych modelu.

Założenia:

• wartość oczekiwana składnika losowego = 0 E(ε)=0

• składniki losowe ε są niezależne od x cov(ε,x)=0

w metodzie momentów warunki te zastępujemy odpowiednikami dla próby (e)

metoda momentów

2 założenia:

• Σⁿ_i=1(y_i-b₀-b₁*x_i)=0

• Σⁿ_i=1 x_i*e_i=Σⁿ_i=1 x₁*(y_i-b₀-b₁*x_i)=0

Układ równań:

b₀ i b₁= 2 niewiadome

metoda najmniejszych kwadratów:

• Model zależności stochastycznej:

Y_i=β₀+β₁*x_i+ε_i

• Model oszacowany:

Ŷ_i=b₀+b₁*x_i

Dane do analizy regresji:

x₁ y₁

x₂ y₂

x … y …

x_n y_n

• Suma kwadratów różnic (błędów):

SSE= Σⁿ_i=1(y_i-ŷ_i)²= Σⁿ_i=1(y_i-b₀-b₁*x_i)²

• MNK

Dobierz tak parametry b₀ i b₁ aby suma kwadratów różnic min(SSE)

b₀,b₁

układ równań normalnych

• 2 warunki koniecznego istnienia ekstremum funkcji:

dSSE/db₀=-2Σⁿ_i=1(y_i-b₀-b₁*x_i)=0

dSSE/db₁= -2 Σⁿ_i=1 x_i(y_i-b₀-b₁*x_i)=0

• Po przekształceniach:

Estymatory parametrów strukturalnych modelu regresji prostej:

b₁=S_xy /S_xx

b₀= y-b₁*x

założenia MNK:

• Zmienne niezależne są nielosowe

• Składniki losowe maja rozkłady N (0, σ2)

• Składniki losowe εi i εj są niezależne dla każdego i ≠j (brak jest autokorelacji składnika losowego)

Błędy dopasowania:

• 
  Średni błąd kwadratowy

• Standardowy błąd szacunku

• Dla liniowego modelu ekonometrycznego:

Σⁿ_i=1 (y_i- y)² = Σⁿ_i=1(y_i-ŷ_i)² + Σⁿ_i=1 (ŷ_i-y)²

• Współczynnik determinacji:

r²= SSRR/Syy= r²_yŷ

• r² €<0,9;1) - model bardzo dobry

• r² €<0,8;0,9) - model dobry

• r²€ <0,6;0,8) - model zadawalający

1

Całkowita suma kwadratów

Suma kwadratów błędów SSE

Suma kwadratów odchyleń regresywnych SSR

---