Nr ćwiczenia		Nr zespołu	Data wykonania
4a			2	25. 02. 1998 r.
WIEiK	Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego	Ocena	Podpis
Grupa 12A	przy użyciu wahadła matematycznego

1. Wstęp

Wahadło matematyczne jest to punkt materialny, który jest zawieszony na nici. Punkt ma masę równą m, natomiast nić ma długość l Ponadto nić ta nie może być rozciągliwa, a jej masa równa 0.

Punkt materialny wisi w pozycji pionowej, jeśli odchylimy go od tej pozycji o pewien kąt  i puścimy to wahadło zacznie się wahać, czyli wpadnie w ruch.

Czas zmierzony podczas ruchu wahadła od punktu A (wychylenia i puszczenia punktu materialnego) do powrotu, czyli do tego samego punktu nazywamy okresem. Okres ten oznaczamy przez T i wyliczamy z następującego wzoru:

gdzie:

l jest długością nici

g jest przyspieszeniem ziemskim

Ze wzoru na okres możemy obliczyć g:

Wielkość g uznawana jest powszechnie za stałą, jednakże w rzeczywistości tak nie jest. Okazuje się, że wartość tej wielkości rożni się w zależności od miejsca jej pomiaru np. w rożnych miastach.

Ze wzoru na okres można wywnioskować że nie zależy on ani od masy m punktu materialnego, ani od kąta wychylenia .

Poniższy rysunek ilustruje to co powyżej napisałem:

Ćwiczenie 1.

Pokazać, że okres wahadła matematycznego jest określony wzorem:

Na masę m działa siła ciężkości F= mg , którą możemy rozdzielić na składowe F₁ i F₂. Ruch wahadła odbywa się pod wpływem siły:

przyjmując kąt
< 5^o :

;

Jest to przykład ruchu harmonicznego.

określa stałą k w równaniu: F= -kx

;

podstawiając
otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego:

.

bo

i ostatecznie otrzymujemy:

Ćwiczenie 2.

Udowodnić
przy założeniu
.

Ćwiczenie 3.

Dowieść, że funkcja ma postać
:

,
, A jest stałą.

Ćwiczenie 4.

Opisać metodę regresji liniowej.

Mając dane wyniki pomiarów, można przypuszczać iż w pewnym stopniu są one niedokładne. Po zilustrowaniu ich za pomocą wykresu można zauważyć, że układają się one w jedną prostą.

Metoda regresji liniowej polega na tym, aby właśnie tą prostą wyznaczyć. Robimy to w taki sposób, aby suma kwadratów odchyleń poszczególnych punktów od prostej była najmniejsza.

Szukana prosta ma postać: y=ax+b, a poniższe równanie jest warunkiem Gaussa:

Będzie on spełniony gdy pochodne cząstkowe sumy względem a i b będą równe 0:

oraz

z obu powyższych równań obliczamy a i b:

Błędy pomiarowe:

Błędem średnim kwadratowym pojedynczego pomiaru z danej serii n pomiarów jest:

Błędem średnim średniej arytmetycznej n pomiarów wielkości a jest:

Jeśli wartość pewnej wielkości jest zależna od wyniku np. trzech pomiarów bezpośrednich:

c = f(x,y,z),

to wzór na maksymalny błąd ma postać:

Wzór na błąd średni kwadratowy wielkości c:

Typy obliczania błędów:

• błąd bezwzględny : Δx;

• błąd względny: .

2. Wyniki pomiarów i obliczenia

Pomiar okresu T:

Lp	10Ti [s]	Ti [s]	[s]	^2 [s^2]
1.	19,00	1,90	0,0362	0,00131044
2.	19,40	1,94	-0,0038	0,00001444
3.	19,10	1,91	0,0262	0,00068644
4.	19,44	1,944	-0,0078	0,00006084
5.	19,44	1,944	-0,0078	0,00006084
6.	19,50	1,95	-0,0138	0,00019044
7.	19,40	1,94	-0,0038	0,00001444
8.	19,80	1,98	-0,0438	0,00191844
9.	19,44	1,944	-0,0078	0,00006084
10.	19,10	1,91	0,0262	0,00068644

Okres wynosi:

Pomiar promienia kuli r:

Lp	2ri [mm]	ri [mm]	[mm]	^2 [mm^2]
1.	30,0	15,0	0,04	0,0016
2.	30,0	15,0	0,04	0,0016
3.	30,2	15,1	-0,06	0,0036
4.	30,1	15,05	-0,01	0,0001
5.	30,1	15,05	-0,01	0,0001

,

Pomiar długości nici s:

lp	si [cm]	[cm]	^2 [cm^2]
1.	91,5	0,125	0,015625
2.	91,7	-0,075	0,005625
3.	91,6	0,025	0,000625
4.	91,7	-0,075	0,005625

Długość wahadła l:

Przyspieszenie ziemskie g:

Ostatecznie g wynosi:

Błąd względny:

Błąd procentowy:

3. Wnioski

g zmierzone i wyliczone z ćwiczenia:

g z tablic fizycznych (dla Krakowa):

różnica wynosi:

Tak więc, po porównaniu wielkości przyspieszenia ziemskiego zmierzonej na laboratorium i przeze mnie obliczonej, z wartością tej wielkości z tablic fizycznych, widać że różnica jest nieduża (obliczenia po zaokrągleniu zgadzają się co do drugiego miejsca po przecinku).

Wynika z tego to, że metoda, którą zastosowaliśmy jest poprawna. Mało tego, została również dość dobrze zrealizowana w trakcie poszczególnych pomiarów.

Pomimo to wynik nie jest idealny. Jest to możliwe z wielu powodów, takich jak:

• zaniedbanie oporu powietrza

• zaniedbanie tarcia nici w punkcie zawieszenia kulki

• niedokładność przyrządów pomiarowych lub osób posługujących się nimi

Ponadto różnica pomiędzy g zmierzonym, a g tablicowym (Kraków), może wynikać także z tego, że przyspieszenie ziemskie mierzone w różnych miejscach na kuli ziemskiej jest różne, o czym już wcześniej pisałem we wstępie teoretycznym. Powód takiej zależności od miejsca jest uzależniony nieidealnym kształtem kuli naszej planety.

1

m

l



A

---