TEMAT: BADANIE REZONANSU MECHANICZNEGO.
1. Wiadomoœci wstępne.
Rezonansem nazywamy przekazywanie energii z jednego układu drgającego do drugiego o tej samej lub bliskiej częstotliwoœci drgań własnych.
Zjawisko rezonansu ma miejsce wtedy, gdy na pewien układ działa zewnętrzna okresowa siła wymuszająca o dowolnej częstotliwoœci. Dla takiej sytuacji równanie ruchu ma postać:
,
a jego rozwiązaniem jest funkcja:
,
gdzie " jest częstotliwoœcią siły wymuszającej. Z tego wynika, że oscylator wykonuje ruch harmoniczny z częstoœcią siły wymuszającej, a nie z częstoœcią własną. Amplituda ruchu wymuszonego jest proporcjonalna do amplitudy siły wymuszającej F0, a także związana jest bardzo silnie z różnicą między częstoœcią siły wymuszającej a częstoœcią własną oscylatora zależnoœcią:
.
Amplituda osiąga największą wartoœć, gdy częstoœć siły wymuszającej wynosi .
Ta częstoœć, zwana rezonasową, jest bliska częstotliwoœci drgań swobodnych układu gdy rez = 0, czyli gdy tłumienie nie jest zbyt silne ( jest współczynnikiem tłumienia). Za pomocą tego wyrażenia formułuje się drugą, równoważną definicję rezonansu: jest to zjawisko osiągania maksymalnej wartoœci drgań wymuszonych dla częstoœci rezonansowej.
Oscylatorem, którego własnoœci chcemy ustalić, jest wahadło balansowe, składające się z tarczy balansowej oraz spiralnej sprężyny, której jeden koniec łączy się z tarczą a drugi z ramieniem. Tarcza i ramię umieszczone są na wspólnej osi obrotu, a koniec ramienia połączony prętem z ramieniem silnika. Obrót silnika wytwarza sinusoidalnie zmieniający się moment siły działający na tarczę balansową. Gdy ramię jest unieruchomione wahadło może wykonywać ruch harmoniczny tłumiony tylko oporami urządzenia. W przypadku, gdy silnik się obraca, oscylator wykonuje ruch harmoniczny wymuszony. Częstotliwoœć obrotów silnika zmieniamy poprzez zmianę napięcia zasilania.
2. Wyniki pomiarów.
2.1. Drgania własne.
Lp. |
t |
Wartoœci kolejnych amplitud Ai |
||||
- |
[s] |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
9.0 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6.5 |
2 |
9.0 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6.5 |
3 |
9.0 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6.5 |
2.1.1. Stosując wzór okreœlający współczynnik tłumienia postaci:
,
dla T = 1.8s otrzymujemy:
A0\An |
6.5 |
7 |
8 |
9 |
10 |
10 |
0.05983096 |
0.06605092 |
0.06198432 |
0.05853362 |
- |
9 |
0.06026341 |
0.06980956 |
0.06543502 |
- |
- |
8 |
0.05767760 |
0.07418411 |
- |
- |
- |
7 |
0.04117110 |
- |
- |
- |
- |
œr |
0.06159406 |
||||
2.1.2. Czas relaksacji wyrażający się wzorem:
wynosi = 8.1s.
2.1.3. Dobroć oscylatora obliczona na podstawie wzoru:
Q = 0
dla 0 = 2/ T = 3.49120189 wynosi: Q = 28.34.
2.2. Drgania wymuszone.
Lp. |
U |
10T |
|
/0 |
A |
- |
[V] |
[s] |
[rad/s] |
- |
[jedn.] |
1 |
3.0 |
46.7 |
1.34543582 |
0.38537898 |
0.50 |
2 |
4.0 |
33.2 |
1.89252570 |
0.54208429 |
0.50 |
3 |
5.0 |
25.9 |
2.42594027 |
0.69487253 |
0.70 |
4 |
6.0 |
21.0 |
2.99199300 |
0.85700945 |
1.00 |
5 |
6.1 |
20.5 |
3.06496844 |
0.87791212 |
1.10 |
6 |
6.2 |
20.0 |
3.14159265 |
0.8998599 |
1.75 |
7 |
6.3 |
19.8 |
3.17332591 |
0.90894942 |
3.75 |
8 |
6.4 |
19.2 |
3.27249235 |
0.93735408 |
20.00 |
9 |
6.5 |
18.8 |
3.34211984 |
0.95729779 |
25.50 |
10 |
6.6 |
18.5 |
3.39631638 |
0.97282154 |
27.00 |
11 |
6.7 |
18.2 |
3.45229962 |
0.98885706 |
20.50 |
12 |
6.8 |
17.8 |
3.52987939 |
1.01107856 |
14.50 |
13 |
6.9 |
17.4 |
3.61102604 |
1.03432175 |
9.50 |
14 |
7.0 |
17.2 |
3.65301471 |
1.04634875 |
7.50 |
15 |
8.0 |
15.2 |
4.13367454 |
1.18402621 |
1.50 |
3. Wnioski.
Zauważamy, że pasmo rezonansu mechanicznego wypada przy częstotliwoœci kołowej w granicach (18 ÷19) rad, a wartoœć maksymalna występuje przy częstoœci 18.5 rad. Różnica pomiędzy wartoœcią doœwiadczalną a teoretyczną 0 wynika z wpływu współczynnika tłumiennoœci , występującego w drganiach wymuszonych oraz z występowania sił tarcia. Także duży wpływ na tę rozbieżnoœć ma niedokładnoœć wahadła balansowego i fakt, że tarcza była ruchoma. Podczas zbliżania się do rezonansu przyrząd podlegał coraz silniejszym drganiom (teoretycznie amplituda tych drgań przy częstoœci rezonansowej roœnie do nieskończonoœci), co utrudniało dokładny odczyt wartoœci amplitudy z tarczy wahadła.