Definicje i twierdzenia na ustny egzamin maturalny z matematyki

1. Twierdzenie sinusów (tw. Snelliusa)

Tw.

Dla dowolnego trójkąta stosunek długości boku do sinusa kąta leżącego naprzeciw jest stały i równa się podwojonej długości promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Dowód:

Z twierdzenia, że kąty wpisane oparte na tym samym łuku mają równe miary:

c.n.d.

2. Twierdzenie cosinusów (tw. Carnota, uogólnienie tw. Pitagorasa)

Tw.

W dowolnym trójkącie kwadrat długości dowolnego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków pomniejszonej o podwojony iloczyn długości tych boków przez cosinus kąta zawartego między nimi.

a^­­2 = b^­­2 + c^­­2 - 2bc*cosα

b^­­2 = a^­­2 + c^­­2 - 2ac*cosβ

c^­­2 = a^­­2 + b^­­2 - 2ab*cosγ

Dowód 1:

c.n.d.Dowód 2:

Na mocy twierdzenia sinusów boki a, b, c są proporcjonalne do odpowiednio sinα, sinβ, sinγ. Twierdzenie cosinusów przybierze zatem postać:

1. sin²α = sin²β + sin²γ - 2 sinβ sinγ cosα

Z twierdzenia o sumie kątów w trójkącie :

Lewa strona równania (I):

Prawa strona równania (I):

L = P c.n.d.

Wnioski z twierdzenia cosinusów:

1.

2. Twierdzenie Pitagorasa

3.

3. Twierdzenie o wysokości w trójkącie prostokątnym

Tw.

Wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego trójkąta jest średnią geometryczną długości odcinków na jakie dzieli przeciwprostokątną.

(W trójkącie prostokątnym kwadrat wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną jest równy iloczynowi długości odcinków, na które dzieli tą przeciwprostokątną)

( h² = pq )

Dowód:

Z podobieństwa trójkątów:

c.n.d.

4. Twierdzenie o czworokącie opisanym na okręgu

Tw.

Czworokąt wypukły można opisać na okręgu wtedy i tylko wtedy gdy sumy długości przeciwległych boków w tym czworokącie są równe.

Teza:

|BC| + |AD| = |AB| + |CD|

Dowód:

Zauważamy przystawanie par trójkątów:

Wtedy:

|AB| = u + x

|BC| = x + y

|CD| = y + z

|DA| = z + u

L = |BC| + |AD| = x + y + z + u

P = |AB| + |CD| = u + x + y + z

L = P

c.n.d.

5. Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

Tw.

Czworokąt wypukły można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar przeciwległych kątów w tym czworokącie są równe i wynoszą 180° (π).

Teza:

α + β = γ + δ = 180° = π

Dowód:

Korzystając z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym w okrąg:

2α + 2β = 2π /:2

α + β = π

c.n.d.

6. Twierdzenie o odległości dwóch dowolnych punktów koła

Tw.

Odległość dwóch dowolnych punktów koła jest niewiększa od jego średnicy.

Teza:

Dowód:

Z definicji koła:

(po dodaniu nierówności stronami)

Z twierdzenia o długościach boków trójkątów:

Z własności nierówności:

c.n.d.

7. Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie

Tw.

Rzuty dwóch boków trójkąta w kierunku dwusiecznej kąta wewnętrznego zawartego miedzy tymi dwoma bokami są proporcjonalne do długości tych boków.

Dowód:

Z twierdzenia sinusów:

c.n.d.

8/9. Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym w okrąg

Tw.

Miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku.

założenie:

β = γ + δ

teza:

α = 2β

dowód:

c.n.d.

10. Twierdzenie o symetralnych boków trójkąta

Tw.

W dowolnym trójkącie wszystkie trzy symetralne jego boków przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie.

założenie:

ΔABC

teza:

dowód:

korzystając z def. symetralnej odcinka (zbiór punktów równo oddalonych od końców odcinka)

c.n.d.

11. Twierdzenie o dwusiecznych kąta

Tw.

W dowolnym trójkącie wszystkie trzy dwusieczne jego kątów przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt.

założenia:

teza:

dowód:

z def. dwusiecznej kąta (zbiór punktów równo oddalonych od prostych, w których zawierają się ramiona kąta)

c.n.d.

12. Twierdzenie Pitagorasa

Tw.

W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

a² + b² = c²

założenie:

dowód 1:

patrz twierdzenie cosinusów

dowód 2:

ΔBDC i ΔABC są podobne o skali podobieństwa
;

ΔADC i ΔABC są podobne o skali podobieństwa
.

Oznaczmy pole ΔABC przez P, pole ΔBDC przez P₁ i pole ΔADC przez P₂

Ponieważ stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali prawdopodobieństwa otrzymujemy:

c.n.d.

dowód 3:

c.n.d.

13. Twierdzenie o środkowych boków trójkąta

Tw.

W dowolnym trójkącie wszystkie trzy środkowe jego boków przecinają się w jednym punkcie, który jest środkiem ciężkości tego trójkąta. Punkt ten dzieli każdą ze środkowych na odcinki o stosunku długości 2:1.

założenia:

środkowe

teza:

dowód:

z twierdzenia Talesa dla kąta
:

z założenia:

zatem:

z twierdzenia Talesa dla kąta
:

c.n.d.

14. Wzory na pole trójkąta

1. 
   

dowód:

c.n.d.

II.

W trójkącie prostokątnym:

dowód:

c.n.d.

III.

W trójkącie równobocznym:

dowód:

z twierdzenia Pitagorasa:

c.n.d.

IV.

dowód:

c.n.d.

(pozostałe dowodzi się analogicznie)

V.

dowód:

c.n.d.

VI.

dowód:

udowodnione wyżej

z twierdzenia o kątach opartych na tym samym łuku

z tw.o kątach wpisanym i środkowym ΔABC' jest

prostokątny

c.n.d.

VII.

VIII.

Wzór Herona:

15. Twierdzenie o podzielności wielomianu przez dwumian (tw. Bezout)

Tw.

Wielomian W(x) dzieli się bez reszty przez dwumian x-p wtedy i tylko wtedy gdy p jest pierwiastkiem wielomianu W(x).

dowód:

Niech p będzie pierwiastkiem wielomianu W(x). Dzieląc z resztą wielomian W przez x-p otrzymujemy :

W(x)=(x-p)V(x)+R

gdzie V(x) to pewien wielomian, zaś R - liczba.

Podstawiając za x=p otrzymujemy:

0=W(p)=(p-p)V(p)+R

stąd R=0, czyli W(x) dzieli się przez x-p.

Niech teraz wielomian W(x) dzieli się przez x-p. Wtedy:

W(x)=(x-p)V(x)

Podstawiając x=p mamy:

W(p)=(p-p)V(p)=0

czyli p jest pierwiastkiem wielomianu W(x)

c.n.d.

16. Twierdzenie na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego

Tw.

a_n=a₁+(n-1)r

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L=a₁

P= a₁+(1-1)r= a₁

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

a_k= a₁+(k-1)r

teza indukcyjna dla n=k+1 :

a_k+1= a₁+kr

dowód:

z def:

a_k+1 - a_k=r

a_k+1= a_k+r

zał.ind.

a_k+1= a₁+(k-1)r +r

a_k+1= a₁+kr-r +r= a₁+kr c.n.d.

17. Twierdzenie na wyraz ogólny ciągu geometrycznego

Tw.

a_n=a₁·q^n-1

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L=a₁

P= a₁·q^1-1= a₁

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

a_k= a₁·q^k-1

teza indukcyjna dla n=k+1 :

a_k+1= a₁·q^k

dowód:

z def:

a_k+1 = a₁·q^k-1·q = a_k+1= a₁·q^k c.n.d.

18. Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Tw.

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L= S₁= a₁

L=P

sprawdzenie dla n=2:

L= S₂= a₁+ a₂

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

teza indukcyjna dla n=k+1 :

dowód:

c.n.d.

19. Wzór na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Tw.

dowód:

Wykorzystujemy zasadę indukcji matematycznej:

I

sprawdzenie dla n=1:

L= S₁= a₁

L=P

sprawdzenie dla n=2:

L= S₂= a₁+ a₂

L=P

II

założenie indukcyjne dla n=k :

teza indukcyjna dla n=k+1 :

dowód:

c.n.d.

20. Twierdzenia o działaniach na logarytmach

I.

dowód:

c.n.d.

II.

dowód:

c.n.d.

III.

dowód:

c.n.d.

IV.

dowód:

c.n.d.

V.

dowód:

c.n.d.

VI.

dowód:

c.n.d.

VII.

dowód: (niewprost)

sprzeczność, zatem wzór jest prawdziwy c.n.d.

21. Twierdzenie o pochodnej iloczynu i ilorazu dwóch funkcji

Tw.

Pochodna iloczynu dwóch funkcji jest równa sumie iloczynów pochodnej pierwszej funkcji przez funkcję drugą oraz pierwszej funkcji przez pochodną drugiej funkcji.

dowód:

c.n.d.

Tw.

Pochodna ilorazu dwóch funkcji jest równa ilorazowi różnicy iloczynów pochodnej pierwszej funkcji przez funkcję drugą oraz pochodnej drugiej funkcji przez funkcję pierwszą, przez kwadrat funkcji drugiej.

dowód:

c.n.d.

22. Własności prawdopodobieństwa

Niech Ω będzie danym zbiorem zdarzeń elementarnych, niech P będzie prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach
. Wówczas:

I.

dowód:

korzystamy ze wzorów

na mocy warunku definicji prawdopodobieństwa, że

otrzymujemy:

c.n.d.

II.

dowód:

zbiory A i B\A są rozłączne

na mocy warunku definicji prawdopodobieństwa, że

otrzymujemy:

c.n.d.

III.

dowód:

z udowodnionej własności II:

z warunku definicji prawdopodobieństwa, że

otrzymujemy:

c.n.d.

IV.

dowód:

korzystając ze wzoru

oraz warunków definicji prawdopodobieństwa, że

otrzymujemy:

c.n.d.

V.

dowód:

korzystamy z tożsamości :

ponieważ

więc na mocy warunku definicji prawdopodobieństwa, że

otrzymujemy:

c.n.d.

23. Twierdzenie o prostej prostopadłej do płaszczyzny

Tw.

Jeżeli prosta jest prostopadła do dwóch przecinających się prostych to jest prostopadła do płaszczyzny w której się te dwie proste zawierają.

dowód:

c.n.d.

24. Twierdzenie o trzech prostopadłych

Tw.

Jeżeli prosta l należąca do płaszczyzny α jest prostopadła do rzutu prostej pochyłej k względem tej płaszczyzny, to prosta l jest prostopadła do tej pochyłej.

dowód:

c.n.d.

25. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu

Tw.

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu a₀, a₁, a₂,..., a_n są całkowite, a liczba wymierna zapisana w postaci ułamka nieskracalnego
jest pierwiastkiem równania

a_nxⁿ+...+ a₂x²+ a₁x+ a₀=0

to p jest dzielnikiem a₀, natomiast q jest dzielnikiem a_n.

dowód:

z założenia mamy:

Lewa strona otrzymanej równości dzieli się przez p oraz p i q nie mają wspólnych dzielników więc p i qⁿ również nie mają wspólnych dzielników zatem a₀ dzieli się przez p.

Przez symetrię prawdziwa jest i druga teza twierdzenia.

c.n.d.

26. Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie

Tw.

Rzuty dwóch boków trójkąta w kierunku dwusiecznej kąta zewnętrznego przyległego do danego kąta są proporcjonalne do długości tych boków.

dowód:

z twierdzenia sinusów:

c.n.d.

C

γ

b a

R

O

β

B

α c

A α

C'

B

β

c a

γ

C

α

A b

B

q

D

h p

C A

D

z

G

z y

r C

H

r

O y

u r

F

r

A

x

u

E

x

B

α

δ

γ

2β

2α

β

A

O B

r

C

β

δ γ

O

α

δ

A γ

B

C

O

A

B

C

E

F

O

A

D B

A

D

b c

C a B

a b

f₁ f₂

b c

a

c

f₅

a c

f₄ c

f₃ b

b a

C

B' A'

O

A C' A” B

figura A figura B

1 2 4

h h h

3

a a a

są przystające

są przystające

---