Politechnika Krakowska Fizyka Techniczna II Rok	Michał Karczewski	1999/2000 Semestr III	Data :
Grupa : 1 Zespół : 2			Nr ćw.: 5	Podpis :
					Ocena:

Badanie Drgań Tłumionych Wahadła Torsyjnego

Bryła sztywna obracalna około stałej osi obrotu i poddana momentowi sił M₁, proporcjonalnemu do kąta odchylenia bryły z położenia równowagi φ, a skierowanemu przeciwnie do wychylenia

Wykonuje drgania proste, obrotowe o równaniu:

gdzie:

J - moment bezwładności bryły względem osi obrotu.

Rozwiązaniem tego równania jest:

gdzie:

Φ - amplituda kątowa drgań,

T - okres drgań

ε - faza początkowa.

Amplituda i okres są nie zmienne w czasie, przy czym okres nie zależy od amplitudy (izochronizm drgań). Jeżeli oprócz momentu M₁ działają na ciało momenty sił skierowane przeciwnie do prędkości ciała, wówczas amplituda maleje z biegiem czasu; obserwujemy drgania zwane tłumionymi, zanikającymi lub gasnącymi

Prawo zanikania amplitudy zależy od rodzaju tłumienia. Rozpatrzmy dwa rodzaje tłumienia:

1. tłumienie momentem siły proporcjonalnym do prędkości ruchu φ i przeciwnie do niej skierowanym: M₂ = k₂ φ

2. 
   
   tłumienie momentem stałym co do wartości, a przeciwnie skierowanym do φ;

Przypadek "a" występuje przy tłumieniu powolnych, mechanicznych drgań ciała zanurzonego w lepkiej cieczy lub przy tłumieniu drgań elektrycznych w obwodach elektrycznych. Przypadek "b" ma miejsce przy tłumieniu drgań mechanicznych tarciem kulombowskim. W przypadku "a" równanie ruchu ma postać:

Jego rozwiązaniem przy słabym tłumieniu ( k₂² < 4Jk₁ ) jest funkcja:

Stałe Ф i ε wyznaczamy z warunków początkowych. Niech np.: dla t=0, φ(0)= φ₀ i φ(0)= φ₀, wówczas:

Funkcja przedstawiona równaniem 2 nie jest funkcja periodyczną jak wynika z poniższego rysunku. Jej "okres ", tj czas, jaki upływa miedzy dwoma kolejnymi maksimami lub podwójny czas między dwoma kolejnymi przejściami przez 0 wynosi:

A więc jest dłuższy od okresu T drgań nie gasnących. Maksima funkcji [2] są przesunięte względem maksimów funkcji sinus kąta w lewo i wartości ich maleją z czasem. Ponieważ termin -amplituda- odnosi się do stałej wartości maksimów funkcji sinus, wyrażenie Фe^-δt należało by nazwać amplitudę w cudzysłowie. "Amplituda" Фe^-δt maleje z czasem według funkcji wykładniczej, logarytm "amplitudy" maleje liniowo z czasem

Obliczmy stosunek 2 kolejnych "amplitud" po tej samej stronie położenia równowagi

Stosunek ten jest stały i nosi nazwę stosunku tłumienia. Logarytm naturalny tego stosunku :

Nosi nazwę dekrementu logarytmicznego drgań tłumionych. Jest on również wartością charakterystyczną dla tych drgań.

W przypadku "b" równanie ma postać: Jφ = - kφ+M₃

Rozwiązaniem tego równania a właściwie układu 2 równań różniczkowych jest drganie tłumione o amplitudzie malejącej według postępu arytmetycznego o wielkości Δφ=^4M/k₁ na 1 okres i nie zmienionym okresie :

Przyrząd składa się z kuli zawieszonej na stalowym drucie wlutowanym osiowo w walec, obracalny w łożysku za pośrednictwem pokrętła o niewielki kąt. Wiązka światła z rzutnika odbija się od zwierciadła przymocowanego do drutu i daje na skali plamkę świetlną. Podczas drgań obrotowych kuli plamka świetlna wykonuje drgania liniowe o odchyleniu x proporcjonalnym do kąta obrotu kuli φ, gdyż dla niewielkich kątów

(l jest odległością skali od zwierciadełka); stąd

Tłumienie proporcjonalne do prędkości ruchu realizujemy przez zanurzenie drgającej kuli w lepkiej cieczy, np. w wodzie; stąd nazwa tego rodzaju tłumienia: lepkościowe lub wiskotyczne. Tłumienie stałym momentem uzyskujemy, podstawiając pod kulę cienką blaszkę przesuwalną na statywie, której wysokość, a więc i nacisk na kulę można regulować za pomocą śruby.

Tłumienie pochodzące od lepkości powietrza i tarcia wewnętrznego w materiale drutu jest tak małe, że można je wobec obu rozpatrywanych momentów hamujących pominąć. Kulę wprawiamy w drganie przez powolny obrót zawieszenia z położenia zerowego w skrajne, a następnie szybki powrót do zera.

1. Pomiar okresu drgań wahadła torsyjnego:

Lp.	10 T [s]
1.	89,75
2.	89,97
3.	89,44
4.	89,64
5.	89,59
6.	89,71
7.	89,72
8.	89,94
9.	89,47
10.	89,68

Średnia wartość 10T=89,68 [s]

Średnie odchylenie kwadratowe dane wzorem:

S_10T= ~0,05 [s]

S_max=3* S_10T ~0,02 [s]

Zatem okres drgań własnych wahadła torsyjnego wynosi :

T=+(8,97 ± 0,02) s

2.Pomiar amplitudy wychylenia względem czasu dla wahadła nietłumionego

Lp.	X [dz]	Lp.	X[dz]
1.	162	11.	157
	161	12.	154
	159	13.	155
	159	14.	154
	160	15.	152
	166	16.	155
	157	17.	155
	159	18.	153
	156	19.	154
	155	20.	154

3.Pomiar wychylenia wahadła torsyjnego tłumionego tarciem kulombowskim:

Lp.	X [dz]	Lp.	X[dz]
1.	198	18.	88
2.	191	19.	82
3.	180	20.	76
4.	173	21.	72
5.	166	22.	65
6.	158	23.	59
7.	152	24.	53
8.	145	25.	46
9.	139	26.	41
10.	133	27.	35
11.	129	28.	29
12.	123	29.	24
13.	116	30.	19
14.	111	31.	14
15.	105	32.	9
16.	100	33.	5
17.	95	34.	0

4.Pomiae okresu drgań tłumionych wahadła torsyjnego tłumionego oporem

wiskotycznym:

Lp.	10 T [s]
1.	90,22
2.	90,31
3.	90,28
4.	90,69
5.	90,37
6.	90,46
7.	90,53
8.	90,34
9.	90,53
10.	90,20

Średnia wartość 10T=90,39 [s]

Średnie odchylenie kwadratowe dane wzorem:

S_10T= ~0,05 [s]

S_max=3* S_10T ~0,02 [s]

Zatem okres drgań własnych wahadła torsyjnego wynosi :

T=+(9,01 ± 0,02) s

4.Pomiar amplitudy wychylenia względem czasu dla wahadła tłumionego oporem wiskotycznym:

Lp.	X[dz]	Ln(X)	Lp.	X[dz]	Ln(X)
1.	197	5,28	16.	60	4,09
2.	180	5,19	17.	55	4,01
3.	168	5,12	18.	51	3,93
4.	155	5,04	19.	47	3,85
5.	145	4,92	20.	44	3,78
6.	132	4,88	21.	40	3,69
7.	124	4,82	22.	36	3,58
8.	115	4,74	23.	32	3,47
9.	107	4,67	24.	30	3,40
10.	19	4,60	25.	27	3,30
11.	92	4,52	26.	24	3,18
12.	84	4,43	27.	22	3,09
13.	77	4,34	28.	20	3,00
14.	71	4,26	29.	18	2,89
15.	67	4,20	30.	15	2,71

6.Obliczenie momentu kierującego k₁:

k₁ =4∏ , J= mR²

m=750 g

R=2,85 cm

Więc moment bezwładności:

J= 0,75 [kg]*(0,0285)²=243,68*10^-6 kg*m²

k₁=4*(3,1416)^{2 *} =119,56 *10^-3 [Nm]

7. Obliczenia dla ruchu wahadła torsyjnego tłumionego oporem

wiskotycznym

δϕ=

ϕ- spadek ampitudy na jeden okres

x~2ϕl

δx=2δϕl

k₁ =119,56 *10^-3 [Nm], współczynnik k₁ jest taki sam jak dla dla drgań nietłumionych

δx=166 mm

l=86,5 cm

M===2,87*10^-3[Nm]

8.Obliczenia dla ruchu wahadła torsyjnego tłumionego oporem

wiskotycznym

Wyznaczanie dekrementu logarytmicznego drgań na podstawie wykresu

ln(x)=f(x)

D== ln()=ln(ϕ_n) -ln(ϕ_n+1)

D=0,0854

k₁= =118,5*10^-6 [Nm]

k₂==4,62*10^-6 [Nms]

φ

t

3T

2T

T

Δφ

2T

6T

4T

8T

t

ln Φ_n

T

3T

2T

t

φ

2T

T

3T

t

φ

---