Politechnika Śląska

Wydział AEiI

Laboratorium z fizyki

Prawidłowości statystyczne przy rejestracji promieniowania jonizującego

Grupa 4., sekcja 7.

Wioletta Bujak

Arkadiusz Mazur

Andrzej ZwierzchowskiWstęp teoretyczny.

Rozkład Poissona.

Rozkład Poissona jest rozkładem prawdopodobieństwa niezależnych zjawisk charakteryzujących się bardzo małym prawdopodobieństwem. Przykładem tego może być promieniowanie jonizujące, ponieważ źródło promieniowania zbudowane jest z pewnej ilości N atomów izotopu promieniotwórczego. Rozpad pojedynczego jądra atomu próbki nie ma wpływu na rozpad jąder innych atomów.

W przypadku rozkładu Poissona rozkład zmiennej losowej X można przedstawić w postaci:

P.(X=k) = l^k/ k! Exp(-l)

Dla rozpadu tego mamy, że :

E(X) = D²(X) = l

czyli wartość oczekiwana, wariacja i l są równe.

Test c².

Test c² jest testem ustalający stopień zgodności wyników otrzymanych na drodze empirycznej z wynikami uzyskanych z obliczeń teoretycznych. W przypadku rejestracji naszego doświadczenia ustalamy niezgodność rozkładu równomiernego.

Zmienna losowa c² wynosi:

₉

c² = S x_n²

ⁿ⁼⁰

gdzie :

x_n = (k_n - k/10) / Ö(k/10)

k_n jest liczbą prób, w których otrzymano cyfrę n

wartość oczekiwana tego rozkładu E(X) = k/10, a dyspersja w przybliżeniu D(X) » Ö (1/k) ; czyli E(X) = 0, D(X) = 1.

Opis stanowiska pomiarowego.

Stanowisko przystosowane jest do badania prawidłowości statystycznych przy rejestracji promieniowania jonizującego. Zestaw składa się z następujących elementów:

• licznika Geigera Mullera rejestrującego promieniowanie jonizujące,

• izotopowego źródła promieniowania,

• przelicznika połączonego z licznikiem G-M., który zlicza impulsy promieniowania,

• mikrokomputera z programem realizującym trzy rozkłady statystyczne:

- rozkład Poissona,

- rozkład wykładniczy,

- rozkład równomierny.

Mikrokomputer jest połączony z przelicznikiem, aby program miał dostęp do danych o ilości zliczeń.

Obliczenia.

Rozkład Poissona:

Pomiary przeprowadzone zostały dla szybkości zliczeń wynoszących 0,5 imp/s, 2 imp/s, 7 imp/s. Dla każdego z pomiarów obliczone zostały wartość oczekiwana i dyspersja. W każdym z powyższych przypadków należało sprawdzić, czy kwadrat dyspersji jest w przybliżeniu równy wartości średniej.

Wyniki pomiaru dla szybkości zliczeń 0,5 imp/s :

wartość średnia: 0,77778

dyspersja: 1,54879

kwadrat dyspersji: 2,39875

Wyniki pomiaru dla szybkości zliczeń 2 imp/s :

wartość średnia: 2,14179

dyspersja: 2,19758

kwadrat dyspersji: 4,82936

Wyniki pomiaru dla szybkości zliczeń 7imp/s :

wartość średnia: 7,25263

dyspersja: 4,6241

kwadrat dyspersji: 21,3823

W każdym z powyższych przypadków kwadrat dyspersji nie jest w przybliżeniu równy wartości oczekiwanej.

Test c ²:

Test c ² przeprowadzamy dla rozkładu równomiernego. Wygenerowane dane losowe umieszczone zostały w poniższej tabelce:

Cyfra	Ilość wystąpień
0	20
1	25
2	24
3	31
4	20
5	19
6	20
7	19
8	18
9	20

Zmienna losowa k_n jest to ilość prób, w których otrzymano cyfrę n, k jest to całkowita liczba wygenerowanych cyfr. W tym przypadku k wynosi 216.

Wartość oczekiwana tego rozkładu równa jest:

E(K) = 21,6

natomiast dyspersja wynosi:

D²(K) = 0,068

Tworzymy zmienną losową x_n taką, że:

Po zastosowaniu powyższego wzoru otrzymujemy następujące wartości zmiennych losowych x_n:

kn	xn
20	-0,34427
25	0,731564
24	0,516398
31	2,022558
20	-0,34427
19	-0,55943
20	-0,34427
19	-0,55943
18	-0,7746
20	-0,34427

Korzystając z wyliczonych wartości x_n obliczamy zmienną losową c² zdefiniowaną następująco:

czyli dla powyższych danych wartość ta wynosi:

c² = 6,59

Otrzymana wartość c² jest mniejsza od granicznej, dopuszczalnej wartości c² przy poziomie istotności a = 0,05 równej 16,9, wobec czego możemy wnioskować, że rozkład wygenerowanych liczb jest rzeczywiście rozkładem równomiernym.

Wnioski.

Celem dwóch przeprowadzonych doświadczeń było wykazanie prawidłowości statystycznych przy zliczaniu zdarzeń niezależnych. W naszym przypadku był to opis zarejestrowania promieniowania jonizującego, który możemy opisać za pomocą rozkładu prawdopodobieństwa Poissona. Celem drugiego doświadczenia było sprawdzenie, czy rozkład wygenerowanych liczb jest rozkładem równomiernym.

Ponieważ przy określaniu zależności statystycznych bierzemy pod uwagę nieskończenie wiele zdarzeń, dlatego głównym powodem błędów przy określaniu badanych związków jest ograniczona liczba przeprowadzonych pomiarów.

---