Krzysztof Cieślik 26 lutego 2000

Ćwiczenie 1

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła różnicowego

Wstęp teoretyczny

- NATĘŻENIE POLA GRAWITACYJNEGO, PRZYSPIESZENIE ZIEMSKIE

Przyciąganie pomiędzy ciałami odbywa się za pośrednictwem pola grawitacyjnego (pola ciężkości), które na równi z innymi polami fizycznymi i substancjami jest jedną z postaci materii. Charakterystyczną właściwością pola grawitacyjnego jest to, że na umieszczony w nim punkt materialny działa siła ciężkości wprost proporcjonalna do masy tego punktu. Wektorowo opisuje się pole grawitacyjne za pomocą natężenia g, które jest równe stosunkowi siły ciężkości G działającej na punkt materialny do wartości jego masy m:

Swobodny spadek jest to ruch ciała, zachodzący pod wpływem tylko jego siły ciężkości. Przyspieszenie ziemskie grawitacyjne, (niekiedy zwane przyspieszeniem spadku swobodnego). jest jednakowe dla wszystkich ciał i zależy od szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza. Wartość przyspieszenia ziemskiego g (w m/s²) na niedużych wysokościach h (w metrach) n.p.m. można obliczyć ze wzoru przybliżonego:
cm/s²

W większości obliczeń technicznych pomija się zależność g od ϕ i przyjmuje się g=9,81 m/s², zaś do wyznaczania zmiany g zachodzącej podczas oddalania się od powierzchni ziemi stosuje się wzór przybliżony:

gdzie M - masa ziemi, R₀=6370 km (średni promień Ziemi) zaś g₀=9,81 m/s²

- RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE OSCYLATORA HARMONICZNEGO

Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie skierowanej. Zapisuje się to wzorem:

F= - kx

Współczynnik proporcjonalności k o wymiarze N/m nazywamy siłą kierującą.

Wielkość ω₀ nazywa się częstością kołową. Po podstawieniu i przekształceniu, otrzymujemy:

Równanie to nazywa się równaniem ruchu harmonicznego prostego. Jest ono równaniem różniczkowym drugiego rzędu względem zmiennej x.

Funkcja cosinus jest funkcją periodyczną i jej wartości powtarzają się co 2Π. Korzystając z powyższej własności i równania wyznaczyć możemy okres T, tzn. czas, po którym funkcja cosinus wraca do początkowej wartości:

skąd

Podstawiając za ω₀ otrzymamy:

WAHADŁO RÓŻNICOWE

W wahadle różnicowym nie mamy podanej długości struny, na której jest zawieszony odważnik. Dokładniejsze wyniki pomiarów są, gdy będziemy rozpatrywać tylko i wyłącznie różnice, pomiędzy długością struny za pierwszym pomiarem, a drugim. Można w prosty sposób udowodnić, że nie potrzebujemy tej wartości.

Okres drgań w wahadle prostym wynosi:

przy czym

l - długość wahadła

g - wartość przyśpieszenia Ziemskiego.

Zatem zakładając, że długość wahadła za pierwszym pomiarem jest równa l₁, a za drugim l₂ można uzyskać odpowiednie wzory:

lub

Odejmując równania stronami otrzymujemy:

a z tego możemy

---