I TD 5.12.2006

Laboratorium z fizyki

Ćw. Nr: 15

Badanie rozkładu niepewności pomiarowych w pomiarach okresu wahań wahadła

Krzysztof Sołtysik

L5

1. Wstęp teoretyczny:

Błąd pomiaru to różnica pomiędzy wynikiem pomiaru, a rzeczywistą wartością mierzonej wielkość. Błędy pomiarów tradycyjnie dzielimy na:

- Błędy grube powstają zwykle na skutek nieuwagi lub niestaranności obserwatora przy odczytywaniu lub zapisywaniu wyników lub w wyniku nagłej zmiany warunków pomiaru.

- Błędy systematyczne wynikają z niedoskonałości przyrządów i metod pomiarowych. Można je redukować stosując bardziej doskonałe i precyzyjne metody i przyrządy, jednak całkowite wyeliminowanie błędów systematycznych jest niemożliwe.

- Błędy przypadkowe wynikają z różnych przypadkowych i niedających się uwzględnić czynników (np. wahania temperatury, lub ruch powietrza w pobliżu przyrządu pomiarowego).

Niepewność pomiarową definiujemy jako parametr charakteryzujący wątpliwości dotyczące wartości wyniku pomiarowego. Miarą niepewności pomiarowej jest niepewność standardowa, która może być szacowana na 2 sposoby:

typ A wykorzystujący analizę statystyczną serii pomiarów

typ B oparty na naukowym osądzie obserwatora.

Rodzaje niepewności pomiarowych:

- systematyczne związane głównie z ograniczeniami aparatury pomiarowej i niedoskonałością obserwatora.

- przypadkowe występuje rozrzut statystyczny wyników i w kolejnych pomiarach nie uzyskuje się identycznych wyników.

Zapis wyniku pomiaru.

W wyniku pomiaru powinna być zapisana jego wartość, niepewność pomiarowa i jednostka. Niepewność podajemy zawsze z dokładnością do dwóch cyfr, zaś liczbę cyfr znaczących wyniku dobieramy tak, aby ostatnia cyfra rezultatu i niepewności należały do tego samego rzędu. Dla niepewności standardowych zalecany jest zapis z użyciem nawiasów, zaś dla niepewności rozszerzonej stosowany jest zapis z użyciem symbolu
.Obowiązuje zasada, że wynik pomiaru zaokrąglamy do tego samego miejsca rozwinięcia dziesiętnego, co niepewność.

Przykłady zapisu

Niepewność standardowa: Niepewność rozszerzona

100,0214 g,
3,5 mg
100,0214 g,
0,0070 g

100,0214(35) g
(100,0214
) g

100,0214(0,0035) g

Rozkład normalny (Gaussa):

Funkcja Gaussa jest przykładem funkcji gęstości

Gdzie:

μ -średnia otrzymanych wyników

σ -odchylenie standardowe

Wykres tej funkcji przedstawia rysunek, jest to krzywa gęstości prawdopodobieństwa f(u) rozkładu normalnego:

Wahadło matematyczne jest to punkt materialny zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici. Jest to idealizacja wahadła fizycznego, okres drgań wahadła fizycznego i matematycznego dla niewielkich wychyleń wahadła jest stały.

Ogólne równanie ruchu wahadła matematycznego:

Gdzie:

l -długość wahadła (nici)

g -przyśpieszenie ziemskie

m -masa ciała

θ -kąt wektora wodzącego ciała z pionem

A - amplituda siły wymuszającej

ω_D -częstość siły wymuszającej

γ -współczynnik oporu ośrodka

Równanie to odpowiada równaniu drgań tłumionych o sile nieproporcjonalnej do wychylenia, czyli drgań nieharmonicznych. Równania tego nie da się rozwiązać analitycznie, nawet, gdy amplituda A=0. Dla małych wychyleń funkcję sinus można przybliżyć przez zastosowanie prawidłowości:

Równanie, to odpowiada równaniu oscylatora harmonicznego o częstości:

Więc okres drgań wahadła matematycznego wyraża się wzorem:

2. Wykonanie ćwiczenia:

• Celem ćwiczenia było zbadanie rozkładu niepewności pomiarowych przy wielokrotnym pomiarze okresu wahań wahadła.

• Schemat układu pomiarowego

Układ pomiarowy składa się z wahadła w postaci kulki na sznurku, wahadło ma długość 132cm początkowe wychylenie kulki to ok.
od położenia spoczynkowego

• Opis wykonania ćwiczenia.

Doświadczenie polegało na pomiarze czasu t pięciu wahnięć wahadła. Pomiary były wykonane 100 razy przy zachowaniu stałej wielkość wychylenia początkowego ok.
,

co odpowiada wychyleniu kulki o ok. 7 cm od położenia równowagi.

• Do ćwiczenia użyto:

- wahadło (opisane powyżej)

- sekundomierz o dokładności 0,2s

3. Tabela z wynikami pomiarów:

Czas trwania pięciu okresów wahań wahadła t[s]
11,0	11,0	11,8	11,6	11,2	11,6	11,4	11,2	11,4	11,4
11,4	11,0	11,6	11,2	11,4	11,6	11,8	11,4	11,4	11,2
11,2	11,4	11,6	11,2	11,4	11,2	11,6	11,8	11,8	11,6
11,2	11,4	11,6	11,8	11,6	11,4	11,2	11,6	11,8	11,8
11,4	11,6	12,0	11,6	11,2	11,8	11,6	11,4	11,4	11,6
11,8	11,2	11,4	11,6	11,4	11,2	11,6	11,8	11,2	11,6
11,8	11,0	11,6	11,2	11,4	11,6	11,4	11,8	11,8	11,6
11,8	11,2	11,4	11,2	11,8	11,2	11,6	11,6	11,4	11,6
11,8	11,4	11,4	11,4	11,8	11,4	11,6	11,2	11,4	11,2
11,8	11,2	11,0	11,6	11,4	11,6	11,6	11,8	11,2	11,4

4. Obliczenia:

Wyliczenie wartości średniej wg wzoru:

dla 100 pomiarów n=100

otrzymujemy:

Obliczenie odchylenia standardowego wartości średniej z zależności:

Obliczenie odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru ze wzoru:

Obliczenie okresu wahań T wahadła:

np

Niepewność standardową okresu można wyliczyć ze wzoru na odchylenie standardowe średniej arytmetycznej:

Obliczenie okresu wahań wahadła
traktując je jako wahadło matematyczne, dla długości wahadła zmierzonej do środka kulki wynoszącej:

l=132.0 ± 0.5cm oraz dla

Obliczenie metodą różniczki zupełnej niepewności maksymalnej

Obliczenie ilości k wyników pomiarów przypadających na określone przedziały. Wszystkie przedziały
są równe i wynoszą
gdzie x to otrzymany wynik.

Wyznaczenie prawdopodobieństwa
otrzymania wyniku pomiaru w danym przedziale poprzez wyliczenie pola pod krzywą Gaussa
zajmującym ten przedział.

Tabelka z poszczególnymi przedziałami:

	0,05
	0,21
	0,27
	0,27
	0,19
	0,01

5. Wykresy:

Histogram przedstawiający, z jakim prawdopodobieństwem wynik znajdzie się w danym przedziale:

1 -
s

2 -
s

3 -
s
-liczebność przedziału

4 -
s

5 -
s

6 -
s

Wykres funkcji Gaussa opracowany w Originie o równaniu:

gdzie: oś y to ilość wyników w danym przedziale

a oś x to otrzymane wyniki pomiarów

6. Wnioski:

Do poprawy wnioski

.

Celem ćwiczenia było zbadanie rozkładu niepewności pomiarowych przy wielokrotnym pomiarze okresu wahań wahadła. Po obliczeniu jego okresu traktując je jako wahadło matematyczne wynik niewiele odbiega od wartości okresu, dzięki temu, że kąt wychylenia początkowego wahadła był niewielki. Po wykonaniu ćwiczenia wnioskuje, że otrzymanie wiarygodnego wyniku jest możliwe po przeprowadzeniu wielu pomiarów tej samej wielkości. Należy w miarę możliwości eliminować przyczyny wpływające na błędy. Wynik najlepiej zapisać z pewnym zakresem niepewności, ponieważ otrzymanie bardzo dokładnego wyniku jest mało prawdopodobne.

---