1. Wstęp teoretyczny.

Jeżeli do układu drgającego nie będziemy dostarczać energii, drgania stopniowo zanikają, ich amplituda maleje i wreszcie układ przechodzi w stan spoczynku. Opierając się na II zasadzie dynamiki Newtona można ułożyć równanie obrazujące przebieg drgań zanikających:

(1)

W przypadku drgań, które często obserwujemy w przyrodzie, prócz siły proporcjonalnej do wy­chylenia działającej ku środkowi ruchu działa jeszcze siła hamująca ruch. Możemy założyć bez popełniania dużego błędu, że siła hamująca jest proporcjonalna do prędkości ruchu drgającego i jest skierowana zawsze przeciwnie do chwilowej prędkości punktu. Zatem na punkt wychylony o x z położenia równowagi będą działały dwie siły, jedna proporcjonalna do wychylenia, druga - do pręd­kości. Oznaczając współczynniki proporcjonalności jako k1 i k2 możemy zapisać:

.

Uwzględniając siły F1 i F2 oraz przenosząc wszystko na lewą stronę, równanie (1) możemy zapisać w postaci

. (2)

Jest to równanie różniczkowe drgań tłumionych (zanikających).

Bardzo ważnym przypadkiem jest przypadek, w którym na punkt działa periodyczna siła zewnętrzna:

.

Dodając działanie tej siły do sił w równaniu (1) i (2) i oznaczając k1=m, oraz k2=m02 otrzy­mujemy:

. (3)

Znaczenie składników w równaniu (3) jest następujące (od lewej): siła bezwładności, siła tłu­miąca drgania , siła sprężystości. Ponadto oznacza współczynnik tłumienia, F - amplitudę siły wy­muszającej, - jej częstość. Oscylator opisany równaniem (3) będzie drgał z amplitudą, której kwadrat wynosi:

.

Gdy częstość siły wymuszającej jest równa częstości drgań własnych oscylatora, wówczas ampli­tuda będzie maksymalna i wynosić będzie A0. W układzie wystąpi wówczas zjawisko rezonansu.

Parametr charakteryzujący zdolność oscylatora do wykonywania drgań niewymuszonych nazy­wamy dobrocią (współczynnikiem dobroci). Wartość ta zdefiniowana jest jako stosunek energii po­siadanej w przez drgający oscylator do energii traconej w jednym cyklu. Wynika z tego, że oscylator o dużej dobroci będzie oscylował długo, zanim drgania ustaną. Taki oscylator nazywa się rezonatorem; energię przyjmuje on tylko w zjawisku rezonansu.

Jeżeli w wyniku badań dowolnego rezonatora uzyskamy wykres zależności kwadratu amplitudy drgań od częstotliwości siły wymuszającej (tzw. krzywą rezonansową), to dobroć rezonatora uzyskać można ze wzoru:

, (4)

gdzie jest szerokością połówkową krzywej (szerokością w połowie jej wysokości).

Jeżeli przyjąć siłę wymuszającą równą 0 (tak jak w równaniu (2)), to rozwiązaniem tego równania będzie

, gdzie

.

Otrzymaliśmy wzór podobny do wzoru na wychylenie w drganiu niezanikającym, z tą różnicą, że amplituda drgań nie jest stała, ale maleje wykładniczo. Krzywa wykładnicza, wraz z którą maleje ampli­tuda nazywana jest obwiednią.

2. Stanowisko pomiarowe.

Badany układ drgający stanowi rezonator kwarcowy o nominalnej częstości 100 kHz. Pobudzany jest on przebiegiem sinusoidalnym z generatora o regulowanej częstości. Częstotliwość mierzona jest za pomocą przelicznika - częstościomierza z dokł. do 1 Hz. Drgania rezonatora obserwowane są na ekranie za pomocą oscyloskopu. (rys. 1).

Rys.1: Schemat stanowiska pomiarowego

W naszym doświadczeniu wyłącznik nie był wykorzystywany.

1. 3. Przebieg ćwiczenia.

• Aby otrzymać krzywą rezonansową za pomocą oscyloskopu wykonano piętnaście pomiarów amplitudy obserwowanych drgań, zmieniając częstotliwość wokół częstotliwości rezonansowej. Zakres częstotliwości był tak do­brany, by z obydwu stron częstości rezonansowej uzyskać małe wartości amplitudy.

4. Wyniki.

Po dokonaniu pomiarów uzyskano następujące wyniki:

Lp.	Częstotliwość [Hz]	Amplituda [V]	Lp.	Częstotliwość [Hz]	Amplituda [V]
1.	100041	1,1	14.	100022	0,8
2.	100040	1,26	15.	100043	0,68
3.	100039	1,01	16.	100044	0,52
4.	100038	0,72	17.	100045	0,46
5.	100037	0,58	18.	100046	0,42
6.	100036	0,44	19.	100047	0,36
7.	100035	0,4	20.	100048	0,34
8.	100034	0,36	21.	100049	0,32
9.	100033	0,28	22.	100050	0,28
10.	100032	0,24	23.	100052	0,24
11.	100031	0,2	24.	100055	0,22
12.	100029	0,16	25.	100058	0,2
13.	100027	0,08	26	100062	0,17

Krzywa rezonansowa otrzymana na podstawie danych z pomiarów załączona jest z tyłu pracy.

5. Analiza wyników.

Każdy z pomiarów obarczony jest pewnym błędem. Amplituda odczyty­wana była z dokładnością do 0,08 V. Na poprawność odczytu negatywnie wpłynęła niestabilność sygnału uzyskanego z generatora. Częstotliwość mierzona była z dokładnością do 1 Hz. Na poprawność obliczeń dob­roci rezonatora wpłynęły także niedokładności przy kreśleniu wykresu, a co za tym idzie, niedokładność w odczycie szerokości połówkowej. Odczytując z wykresu, błąd odczytu szerokości połówkowej krzywej rezonansowej wynosi 2 Hz. Dobroć rezonatora (f₀/Δf ) jest ilorazem dwóch wartości, mierzonych z pewnym błędem.

Wartości te odczytujemy bezpośrednio z wykresu otrzymanego na podstawie przeprowadzonego doświadczenia. W naszym przypadku wynoszą one:

- f₀ = (100039 + 1) Hz,

- Δf = (4 + 2) Hz,

Z przeprowadzonych obliczeń wynika, że dobroć rezonatora (Q) mieści się w przedziale:

od 16673 do 50020, natomiast obliczając dobroć dokładnie na podstawie otrzymanego wykresu uzyskaliśmy wartość Q₀= 25010. Zatem uwzględniając błąd wyliczony z poniższego wzoru:

końcowy wynik możemy zapisać w następującej postaci:

Q=25010 + 25010

Otrzymana wartość jest wartością bezwymiarową.

Głównym źródłem błędu była niedokładność odczytu częstotliwości generatora (1 Hz), co przy małej szerokości połówkowej krzywej rezonansowej (4 Hz) spowodowało tak duży błąd.

Do powstania błędu przyczynił się również, choć w znacznie mniejszym stopniu, błąd odczytu z oscyloskopu (0.08 V), który został pominięty w oszacowaniu błędu wyniku.

Wynik przedstawiony w takiej postaci niewiele nam mówi o możliwym przedziale dobroci rezonatora. Dlatego warto go również podać w postaci przedziału, co uczyniliśmy powyżej.

6. Podsumowanie i wnioski.

Podsumowując, chcąc dokładniej wyznaczyć dobroć rezonatora kwarcowego, należałoby się posłużyć dokładniejszymi metodami. Na zmniejszenie błędu pomiarowego pozytywnie wpłynie zwiększenie dokładności regulacji częstotliwości i dokładności jej odczytu (np. przez zwiększenie czasu zliczania przyrządu), co pozwoli umieścić na wykresie więcej punktów z większą dokładnością, a co za tym idzie, uzyskać dokładniejszy kształt krzywej rezonansowej, co z kolei umożliwi dokładniejsze zmierzenie szerokości połówkowej.

W poleceniu znalazło się również pytanie o to dlaczego iloraz f₀/Δf jest równy ilości oscylacji, jakie wykona rezonator po odłączeniu generatora. Odpowiedź jest prosta:

Iloraz ten równy jest współczynnikowi dobroci rezonatora, a wielkość ta to iloraz energii układu i ilości energii traconej w jednym okresie czyli ilość drgań do potrzebna do wyczerpania całej energii układu.

- 4 -

---