POLITECHNIKA WROCAWSKA INSTYTUT FIZYKI
|
SPRAWOZDANIE Z WICZENIA NR 12 TEMAT : Wyznaczanie moduu sztywnoci metod dynamiczn.
|
ANNA SIKORA
WYDZ. : IZ ROK : II
|
DATA :
OCENA : |
0. Wstp.
Celem przeprowadzonego dowiadczenia byo :
- wyznaczenie wystpujcego w prawie Hooke'a moduu sztywnoci przez pomiar okresu
sprystych drga obrotowych. Modu sztywnoci jest sta charakteryzujc odporno
ciaa na odksztacenia, a dokadniej na skrcanie.
1. Opis zjawiska fizycznego.
Ciao nazywamy sprystym, jeeli odksztacenia, wywoane dziaajcymi na nie siami, znikaj zupenie po usuniciu tych si.
Istot sprystoci mona zrozumie rozwaajc chociaby w przyblieniu struktur wewntrzn ciaa staego. Kade ciao jest zbudowane z atomów lub czsteczek, midzy którymi dziaaj siy nazywane midzyczsteczkowymi. Siy te s w ciaach staych na skutek maych odlegoci midzyczsteczkowych na tyle due, e czsteczki s dziki temu uporzdkowane, tworzc regularn struktur przestrzenn, nazwan sieci krystaliczn. Kada czsteczka, nazywana w taki przypadku równie wzem sieciowym ma swoje pooenie równowagi, wokó którego wykonuje niewielkie, chaotyczne, zalene od temperatury ciaa drgania. Powstanie stanu równowagi trwaej wynika z faktu, e midzy kadymi dwiema czsteczkami wystpuj dwojakiego rodzaju siy : przycigania oraz odpychania, o niejednakowej zalenoci od odlegoci midzyczsteczkowej, przy czym siy odpychania rosn zawsze znacznie bardziej wraz ze zblianiem si czsteczek ni siy przycigania.
Prawo Hooke'a formuuje zaleno midzy napreniem a odksztaceniem:
Jeeli naprenia w ciele s dostatecznie mae, to wywoane przez nie odksztacenia wzgldne s do nich wprost proporcjonalne.
,
gdzie a - kt cinania,
G - moment sztywnoci ,
- naprenie styczne.
2. Zestaw przyrzdów.
Wahado torsyjne,
Miara milimetrowa,
ruba mikrometryczna,
Suwmiarka,
Waga laboratoryjna,
Elektroniczny licznik okresu i czasu.
Rys.1
3. Wzór kocowy.
Kiedy moment si sprystych przestaje by równowaony przez moment zewntrzny, powoduje to drgania harmoniczne obrotowe, których moment kierujcy zaley od moduu sztywnoci :
D = 
Badanie moduu sztywnoci w tym dowiadczeniu polega na pomiarze okresu drga ukadu pomiarowego ( Rys.1 ).
T = 2p*
Poniewa nie znamy momentu bezwadnoci tego ukadu, pomiar odbywa si dwukrotnie: raz bez tarczy dodatkowej K, a nastpnie wraz z tarcz dodatkow o okresie drga
T1 = 2p*
,
Otrzymujemy zatem :
D = 
Moment bezwadnoci tarczy dodatkowej atwo jest wyliczy ze wzoru:
.
m - masa tarczy dodatkowej
l - dugo drutu
d - rednica drutu
b - rednica tarczy dodatkowej
n - ilosc drga = 50
t1 - czas n drga tarczy dodatkowej
t - czas n drga tarczy
Dla zwikszenia dokadnoci pomiaru okresu mierzy si nie okres jednego drgania, lecz czas n ( w tym wypadku n=50 ) drga. W rezultacie modu sztywnoci mona wyliczy ze wzoru:
[ N/m2 ]
4. Tabelki pomiarów.
Dugo drutu :
l1 [mm] |
l2 [mm] |
l = l1 -l2 [mm] |
45.0 |
632.0 |
627.5 |
rednica drutu d :
d1 [mm] |
d2 [mm] |
d3 [mm] |
d = 1/3 ( d1 + d2 + d3 ) [mm] |
0.595 |
0.592 |
0.596 |
0.594(3) |
rednica tarczy dodatkowej b :
b1 [mm] |
b2 [mm] |
b3 [mm] |
b = 1/3 ( b1 + b2 + b3 ) [mm] |
139.52 |
140.0 |
140.0 |
139.84 |
Masa tarczy dodatkowej m
:
m [g] |
310.2 |
Czas t trwania n drga :
t1 [s] |
t2 [s] |
t3 [s] |
t = 1/3 ( t1 + t2 + t3 ) [s] |
392.459 |
391.117 |
390.989 |
391.521(6) |
Czas t1 trwania n drga :
t11 [s] |
t12 [s] |
t13 [s] |
t1 = 1/3 ( t11 + t12 + t13 ) [s] |
456.668 |
456.406 |
456.317 |
456.463(6) |
5. Przykadowe obliczenia.
Podstawiajc do wzoru kocowego obliczamy warto moduu sztywnoci :
Zamieniajc odpowiednio jednostki otrzymujemy :
G = 
= 69578284430.8 [ N/m2 ]
G = 69578.2844308 * 106 Pa
6. Dyskusja bdów.
Do obliczenia bdu, z jakim wyznaczono modu sztywnoci G, posu si metod róniczki logarytmicznej. Oznaczajc
a = t12 - t2
oraz zakadajc, e
t1 = t
otrzymujemy :
a = 2t1t1 + 2tt = 2t( t1 + t ).
Poniewa na dokadno oblicze wpywaj pomiary : dugoci drutu, jego rednicy, rednicy tarczy dodatkowej, czasu trwania n drga, bd obliczymy ze wzoru :
= 
+ 2
+ 
+ 4
+ 2
, czyli :
= 
+ 2
+ 
+ 4
+ 2
Za m, b, l, d, t podstawiamy rednie bdy bezwzgldne pomiarów, czyli :
k = 
, gdzie ki = k - ki ,
za k oznacza redni arytmetyczn mierzonej wielkoci.
Obliczamy teraz po kolei bd pomiaru kadej wielkoci ( pomiary pobierane s z tabelki ) :
a.) masa,
m = 310.2 g m = 0.1 g
= 0.000322
b.) rednica tarczy dodatkowej,
b = 139.84 mm
b1 = 139.52 mm b1 = 0.32 mm
b2 = 140.0 mm b2 = 0.16 mm
b3 = 140.0 mm b3 = 0.16mm
b = 1/3 ( 0.32 + 0.16 + 0.16 ) = 1/3 ( 0.64) = 0.21(3)
= 0.001525
c.) dugo drutu,
W tabelce zostaa uwzgldniona rednia warto pomiaru górnego - pocztku druta. Faktycznie wynosiy odpowiednio : l11 = 0.4 mm, l12 = 0.5mm. Przy pomiarze koca druta wartoci odczytane byy takie same. Zatem bd pomiaru wyniós l = 0.05.
= 0.000079
d.) rednica drutu,
d1 = 0.000667 mm
d2 = 0.002334 mm
d3 = 0.001667 mm
d = 1/3 * 0.004668 = 0.001556
= 0.002618
e.) czas trwania n drga,
za. t1 = t ( obliczam dla t = 391.521(6) )
t01 = 0.937334 s
t02 = 0.404667 s
t03 = 0.532667 s
t = 1/3 * 1.874668 = 0.624889
t1 - t = 64.942 s
= 0.009622
Majc teraz wszystkie dane obliczamy :
= 0.000322 + 2*0.001525 + 0.000079 + 4*0.002618 + 2*0.009622 = 0.033167
Bd bezwzgldny wynosi :
= 3.31
Jak wida najwikszy bd do kocowego wyniku (pomimo dokadnego przyrzdu pomiarowego) wniós pomiar rednicy badanego drutu oraz czasu trwania n drga. Co do rednicy, to spowodowaa to stosunkowo maa warto wielkoci mierzonej (0.594(3) mm) oraz to, e we wzorze kocowym wielko ta wystpowaa a w czwartej potdze.
7. Uwagi i wnioski.
Najwikszy wpyw na bd wyznaczenia G mia bd pomiaru rednicy drutu - wynosi 1.04 % oraz bd pomiaru czasu trwania n = 50 drga - 1.92 %. Przy obliczaniu bdów naly te wspomnie o niedoskonaoci przyrzdów, cho tym razem byy one do dokadne.
Wyprowadzenie wzoru na moment bezwadnoci walca - gdy w naszym wiczeniu tarcza dodatkowa miaa taki ksztat.
Wychodzc ze wzoru na energi kinetyczn w ruchu obrotowym
Kobr = 
+ 
+ ...
oraz wiedzc, e v = r, otrzymujemy wzór :
Kobr = 2/2 ( r12m1 + r22m2 + ...).
Wielko w nawiasach nie zaley od prdkoci ruchu, lecz charakteryzuje opór bezwadny ciaaw ruchu obrotowym : im wiksza jest ta wielko, tym wicej energii trzeba zuy dla nadania ciau danej prdkoci ktowej. Wielko ta nazywa si momentem bezwadnoci ciaa :
I = r12m1 + r22m2 + ...
za wyraenie r2m - momentem bezwadnoci punktu. Moment bezwadnoci I mona przedstawi take w innej formie :
I = " r2 dm
Dla uproszczenia obliczmy moment bezwadnoci paskiego dysku o promieniu r wzgldem osi prostopadej do paszczyzny dysku i przechodzcej przez jego rodek. Bierzemy zatem pod uwag przekrój walca ( paszczyzn ), gdy kady „przekrój” bdzie si charakteryzowa tak sama bezwadnoci - odpowiednie punkty równo oddalone od osi obrotu. Masa wynosi
m = V = *r2 , gdzie
- gsto materiau, z którego zrobiony jest dysk,
V - w tym przypadku pole paskiego dysku (koa), za ogólniej bierze si objto bryy ( we wzorze znajdowayby si wtedy caki potrójne ).
Rys.1a
x dx
r
Masa piercienia elementarnego o promieniu x wynosi bdzie dm = *2xdx. Moment bezwadnoci tego piercienia dI1 = dm*x2 . Moment bezwadnoci caego dysku wyraa si bdzie wzorem :
I1 = 
= 
= 
= 2*( 1/4 x4 )r0 = 1/2*r4
Podstawiajc wzór na mas otrzymujemy :
I1 = 1/2 mr2
Wyszukiwarka