EKONOMETRIA

laboratorium

Model ekonometryczny do zagadnienia:

Ceny jabłek w poszczególnych województwach w 2000 roku.

Spis treści:

1. Specyfikacja zmiennych wraz z gromadzeniem danych

2. Dobór zmiennych

3. Wybór klasy modelu

4. Estymacja parametrów strukturalnych

5. Weryfikacja modelu

6. Dopasowanie modelu do danych empirycznych

7. Istotność poszczególnych współczynników regresji

8. Własności składników losowych:

1. Normalność

2. Autokorelacja

3. Symetria reszt modelu

4. Losowość reszt

5. Homoskedstyczność reszt

IX. Wnioskowanie na podstawie modelu

I. Specyfikacja zmiennych wraz z gromadzeniem danych

Cena jabłek	Kwartał	Województwo
2,69	1	1
2,39	1	2
2,37	1	3
2,76	1	4
2,35	1	5
2,58	1	6
2,55	1	7
2,86	1	8
2,32	1	9
2,34	1	10
2,71	1	11
2,83	1	12
2,4	1	13
2,44	1	14
2,66	1	15
2,7	1	16
1,8	2	1
1,61	2	2
1,67	2	3
1,85	2	4
1,54	2	5
1,93	2	6
1,69	2	7
1,91	2	8
1,73	2	9
1,51	2	10
1,82	2	11
1,97	2	12
1,68	2	13
1,55	2	14
1,9	2	15
1,94	2	16
2,01	3	1
1,73	3	2
1,69	3	3
2,06	3	4
1,93	3	5
1,97	3	6
1,9	3	7
1,95	3	8
1,81	3	9
1,69	3	10
2,08	3	11
2,14	3	12
1,67	3	13
1,8	3	14
2,02	3	15
2,07	3	16
1,93	4	1
1,68	4	2
1,72	4	3
1,92	4	4
1,78	4	5
1,96	4	6
1,98	4	7
1,92	4	8
1,77	4	9
1,6	4	10
2,11	4	11
2,13	4	12
1,65	4	13
1,73	4	14
1,99	4	15
2,02	4	16

Na podstawie możliwości zebrania kompletu danych zostały wyodrębnione następuje potencjalne zmienne objaśniające.

X1	kwartał
X2	województwo

Zostaną one poddane następnie wstępnej weryfikacji.

II. Dobór zmiennych

Do doboru zmiennych wykorzystam metodę tzw. Step back (kroku wstecznego). Polega ona na eliminowaniu po kolei tej zmiennej objaśniającej, która jest najmniej istotna w modelu, aż do momentu, w którym wszystkie pozostałe parametry będą miały poziom ufności wyznaczony na poziomie 0,05, i będą weryfikowane na podstawie wartości p-value (>0,05 będzie oznaczał nieistotność parametru modelu).

Krok 1

PODSUMOWANIE - WYJŚCIE
Statystyki regresji
Wielokrotność R	0,613641474
R kwadrat	0,376555858
Dopasowany R kwadrat	0,356115067
Błąd standardowy	0,285937119
Obserwacje	64
ANALIZA WARIANCJI
	df	SS	MS	F	Istotność F
Regresja	2	3,012331544	1,506165772	18,42178456	5,5122E-07
Resztkowy	61	4,987362206	0,081760036
Razem	63	7,99969375
	Współczynniki	Błąd standardowy	t Stat	Wartość-p	Dolne 95%
Przecięcie	2,449125	0,109583326	22,34943118	4,49521E-31	2,229999599
Kwartał	-0,19225	0,031968742	-6,013686783	1,10851E-07	-0,256175449
Województwo	0,006389706	0,007753559	0,824099755	0,413093566	-0,009114493

Na podstawie powyższej tabeli stwierdzam, że parametr „województwo” jest dla modelu nieistotny. Eliminuję zmienną „województwo”, gdyż wartość p- value jest największa.

Krok 2

PODSUMOWANIE - WYJŚCIE
Statystyki regresji
Wielokrotność R	0,621627657
R kwadrat	0,386420944
Dopasowany R kwadrat	0,352333219
Błąd standardowy	0,286316065
Obserwacje	20
ANALIZA WARIANCJI
	df	SS	MS	F	Istotność F
Regresja	1	0,929296	0,929296	11,336073	0,003434065
Resztkowy	18	1,475584	0,081976889
Razem	19	2,40488
	Współczynniki	Błąd standardowy	t Stat	Wartość-p	Dolne 95%
Przecięcie	2,456	0,156821767	15,66109121	6,2505E-12	2,126529693
Kwartał	-0,1928	0,057263213	-3,36690853	0,00343406	-0,313105546
		błąd względny	82,57%
		błąd ex post	182,57%

Tak, więc w wyniku opisanej heurystyki otrzymałem model, który pozostanie poddany zasadniczej statystycznej weryfikacji.

III. Wybór klasy modelu

Skonstruuję model liniowy z jedną zmienną objaśniającą. Model przyjmie postać:

y = α₀ + α₁x

IV. Estymacja parametrów strukturalnych

Wykres zależności y od zmiennej x:

PODSUMOWANIE - WYJŚCIE
Statystyki regresji
Wielokrotność R	0,621627657
R kwadrat	0,386420944
Dopasowany R kwadrat	0,352333219
Błąd standardowy	0,286316065
Obserwacje	20
ANALIZA WARIANCJI
	df	SS	MS	F	Istotność F
Regresja	1	0,929296	0,929296	11,336073	0,003434065
Resztkowy	18	1,475584	0,081976889
Razem	19	2,40488
	Współczynniki	Błąd standardowy	t Stat	Wartość-p	Dolne 95%
Przecięcie	2,456	0,156821767	15,66109121	6,2505E-12	2,126529693
Kwartał	-0,1928	0,057263213	-3,36690853	0,00343406	-0,31310555
		błąd względny	82,57%
		błąd ex post	182,57%

wzór prostej regresji to:

y = - 0,1928 x + 2,456

Został on oszacowany metodą najmniejszych kwadratów wykorzystując arkusz kalkulacyjny excel.

V. Weryfikacja modelu

VI. Dopasowanie modelu do danych empirycznych

Badam dopasowanie modelu do danych rzeczywistych, liczę błąd standardowy składnika losowego równania regresji Se oraz Φ²

S_e=32968

Φ²=0,075

R²=1-Φ²

R²=0,925

Dla formalności sprawdzę współczynnik regresji wykorzystując test F- Snedecora.

Testuję statystyką F-Snedecora

H₀ : R = 0

H₁ : R > 0

dla n = 20, k = 1 i R² = 0,386, F = 11,336,

wartość krytyczna statystyki wynosi F_kr = 2,978

Istotność F

0,003434065

Wartość P jest znacznie mniejsza od 0,05 stąd stwierdzam, że F_kr < F, więc odrzucam hipotezę H₀ na korzyść H_1. Wniosek : Współczynnik regresji jest istotny statystycznie.

VII. Istotność poszczególnych współczynników regresji

Sprawdzam, czy zachodzi zależność liniowa między poszczególnymi współczynnikami regresji

testuję statystyką o rozkładzie T-studenta, dla każdego współczynnika osobno:

H₀: α_i²=0

H₁:: α_i²<>0

Statystyka ta, przy prawdziwości hipotez zerowych ma rozkład t studenta o 18 stopniach swobody

Wyznaczone empirycznie wartości statystyk t studenta wynoszą odpowiednio:

t(α₀)=-11,827 wartość p wynosiła 6,25 E - 12

t(α₁)=14,9 wartość p wynosiła 0,0034

Tak więc wartość p jest mniejsza niż poziom ufności 0,05. Nie mam podstaw do odrzucenia hipotezy o istotności obu współczynników modelu. Wniosek : Obydwa współczynniki są istotne statystycznie.

VIII. Własności składników losowych:

a) Autokorelacja

Badam, czy istnieje zależność pomiędzy kolejnymi resztami z próby

Autokorelacja rzędu 1 - test Durbina-Watsona

H₀: ς(et,et-1)=0

H₁: ς(et,et-1)>0

et	et-1	(et-et-1)	(et-et-1)^2	et^2
0,4268				0,18215824
0,1268	0,4268	-0,3	0,09	0,01607824
0,1068	0,1268	-0,02	0,0004	0,01140624
0,4968	0,1068	0,39	0,1521	0,24681024
0,0868	0,4968	-0,41	0,1681	0,00753424
-0,2704	0,0868	-0,3572	0,12759184	0,07311616
-0,4604	-0,2704	-0,19	0,0361	0,21196816
-0,4004	-0,4604	0,06	0,0036	0,16032016
-0,2204	-0,4004	0,18	0,0324	0,04857616
-0,5304	-0,2204	-0,31	0,0961	0,28132416
0,1324	-0,5304	0,6628	0,43930384	0,01752976
-0,1476	0,1324	-0,28	0,0784	0,02178576
-0,1876	-0,1476	-0,04	0,0016	0,03519376
0,1824	-0,1876	0,37	0,1369	0,03326976
0,0524	0,1824	-0,13	0,0169	0,00274576
0,2452	0,0524	0,1928	0,03717184	0,06012304
-0,0048	0,2452	-0,25	0,0625	2,304E-05
0,0352	-0,0048	0,04	0,0016	0,00123904
0,2352	0,0352	0,2	0,04	0,05531904
0,0952	0,2352	-0,14	0,0196	0,00906304
		Σ	1,54036752	1,475584
		d =	1,043903648
		r =	0,478048176
		Ho:	ς(et,et-1)=0
		H1:	ς(et,et-1)>0
		n =	20
		k =	1
		dl =	1.20149
		du =	1.41073

Obliczam współczynnik autokorelacji reszt
i
określony wzorem:

r = 0,478

Ponieważ r_x > 0 badam możliwość zajścia autoregresji dodatniej. Jednak dl = 1,201 < d_u = 1,41. Nie mam więc podstaw do odrzucenia hipotezy H₀. Wniosek: Nie istnieje autokorelacja rzędu pierwszego.

b) Normalność

Składniki losowe wartości zmiennej objaśniającej mają mieć rozkłady normalne o wartości oczekiwanej zero i stałej wariancji; N(0,δ). Z powodu niewielkiej liczności próby testuję testem Davida Hellwiga

Metoda postępowania:

1. Odcinek [0,1] dzielę na 20 odcinków (gdyż tyle mam obserwacji) o długości 0,05

2. Obliczam wartości dystrybuanty hipotetycznej dla wszystkich wartości reszt modelu

3. Sprawdzam do których cel wpadają te wartości

Obserwacja	Składniki resztowe	Std. składniki resztowe		Rozkład normalny		nr celi
1	0,4268	1,531507904		0,937178043		19
2	0,1268	0,455002817		0,675446394		14
3	0,1068	0,383235811		0,649227536		13
4	0,4968	1,782692424		0,962681807		20
5	0,0868	0,311468805		0,622277873		13
6	-0,2704	-0,970289919		0,165951001		4
7	-0,4604	-1,652076474		0,049259481		1
8	-0,4004	-1,436775456		0,075390903		2
9	-0,2204	-0,790872404		0,214509227		5
10	-0,5304	-1,903260994		0,028503249		1
11	0,1324	0,475097578		0,682641288		14
12	-0,1476	-0,529640503		0,298180603		6
13	-0,1876	-0,673174514		0,250418136		6
14	0,1824	0,654515093		0,743609997		15
15	0,0524	0,188029555		0,574573259		12
16	0,2452	0,879863491		0,810533368		17
17	-0,0048	-0,017224081		0,493128925		10
18	0,0352	0,12630993		0,550256702		12
19	0,2352	0,843979988		0,800659706		17
20	0,0952	0,341610948		0,633678151		13
przedział od			do		cela nr
0			0,05		1
0,05			0,1		2
0,1			0,15		3
0,15			0,2		4
0,2			0,25		5
0,25			0,3		6
0,3			0,35		7
0,35			0,4		8
0,4			0,45		9
0,45			0,5		10
0,5			0,55		11
0,55			0,6		12
0,6			0,65		13
0,65			0,7		14
0,7			0,75		15
0,75			0,8		16
0,8			0,85		17
0,85			0,9		18
0,9			0,95		19
0,95			1		20

Powstaje 13 cel zajętych i 7 wolnych

H₀: składniki losowe mają rozkład normalny

H₁: składniki losowe nie mają rozkładu normalnego

liczba pustych cel k = 13

poziom istotności α = 0,05

liczba obserwacji n = 20

Odczytałem z tablic testu Hellwiga, że krytyczne liczby pustych cel wynoszą:

K1 = 6 K2 = 13

Nasza liczba pustych cel znajduje się więc pomiędzy tymi wartościami K1 = 6 < k = 8 < K2 = 13. Nie mam więc podstaw do odrzucenia hipotezy H_0. Wniosek: Składniki losowe wartości zmiennej objaśniającej mają rozkład normalny o wartości oczekiwanej zero i stałej wariancji; N(0,δ)

c) Symetria reszt modelu

Składniki losowe powinny mieć rozkład normalny symetryczny. Ponieważ reszty mają rozkład normalny, muszą tym bardziej być symetryczne. Dla formalności sprawdzam.

et	< 0
1,531508	1
0,455003	1
0,383236	1
1,782692	1
0,311469	1
-0,97029	0
-1,65208	0
-1,43678	0
-0,79087	0
-1,90326	0
0,475098	1
-0,52964	0
-0,67317	0
0,654515	1
0,18803	1
0,879863	1
-0,01722	0
0,12631	1
0,84398	1
0,341611	1

12 reszt dodatnich 8 ujemnych

Sprawdzianem jest statystyka o rozkładzie t-studenta

H₀: p₊=1/2

H₁:p₊<>1/2

t = - 0,889

t_kr = 2,085

t_kr = 2,085 > t = 0 więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H_0. Wniosek: Składniki losowe faktycznie są symetryczne.

d) Losowość reszt

Reszty modelu muszą być losowe. Sprawdzam je testem na liczbę serii. Porządkujemy reszty według chronologii i dzielę na serie o jednakowych znakach.

X1	et	nr serii	e > 0
1	1,53151	1	1
1	0,455	1	1
1	0,38324	1	1
1	1,78269	1	1
1	0,31147	1	1
2	-0,97029	2	0
2	-1,65208	2	0
2	-1,43678	2	0
2	-0,79087	2	0
2	-1,90326	2	0
3	0,4751	3	1
3	-0,52964	4	0
3	-0,67317	4	0
3	0,65452	5	1
3	0,18803	5	1
4	0,87986	5	1
4	-0,01722	6	0
4	0,12631	7	1
4	0,84398	7	1
4	0,34161	7	1

Z danych otrzymuję wyniki:

serii L = 7

dodatnich reszt 12

ujemnych reszt 8

α = 0,05

Sprawdzam hipotezy:

H₀: błąd modelu jest losowy

H₁:błąd modelu nie jest losowy

Odczytane z tablic wartości krytyczne wynoszą : 6 i 13. Empiryczna wartość 6 < L = 6 < 13 nie wpada do obszaru krytycznego, nie ma więc podstaw do odrzucenia hipotezy H_0. Wniosek : Reszty modelu są losowe.

e) Homoskedastyczność reszt

Powinna istnieć równość wariancji w pod próbach homogenicznych. Testuję testem Goldfelda-Quandta. Dzielę próbę na dwie podgrupy.

nr	et	e^2	REGLINW	e-e^	(e-e^)^2
1	1,531507904	2,345516	1,4161588	0,115349	0,013305
2	0,455002817	0,207028	1,050582	-0,59558	0,354715
3	0,383235811	0,14687	0,6850052	-0,30177	0,091065
4	1,782692424	3,177992	0,3194284	1,463264	2,141142
5	0,311468805	0,097013	-0,046148	0,357617	0,12789
6	-0,97028992	0,941463	-0,411725	-0,55856	0,311995
7	-1,65207647	2,729357	-0,777302	-0,87477	0,765231
8	-1,43677546	2,064324	-1,142879	-0,2939	0,086375
9	-0,7908724	0,625479	-1,508455	0,717583	0,514925
10	-1,90326099	3,622402	-1,874032	-0,02923	0,000854
					4,407497
				Se1^2 =	0,550937

Nr	et	e^2	REGLINW	e-e^	(e-e^)^2
1	0,475097578	0,225718	-0,073463	0,548561	0,300919
2	-0,5296405	0,280519	-0,006263	-0,52338	0,273924
3	-0,67317451	0,453164	0,0609367	-0,73411	0,538919
4	0,654515093	0,42839	0,1281367	0,526378	0,277074
5	0,188029555	0,035355	0,1953367	-0,00731	5,34E-05
6	0,879863491	0,77416	0,2625368	0,617327	0,381092
7	-0,01722408	0,000297	0,3297368	-0,34696	0,120382
8	0,12630993	0,015954	0,3969368	-0,27063	0,073239
9	0,843979988	0,712302	0,4641368	0,379843	0,144281
10	0,341610948	0,116698	0,5313368	-0,18973	0,035996
					2,145879
				Se1^2 =	0,268235

Sprawdzianem jest statystyka o rozkładzie F-Snedecora

H₀: δe₁²=δe₂²

H₁: δe₁²=δe₂²

Empiryczna wartość statystyki wynosi: F = 16,43

Podczas gdy krytyczna wynosi: F_kr = 2,97

F > F_kr, więc muszę odrzucić H_0. na korzyść hipotezy H₁. Wniosek : Składniki losowe modelu nie są homoskedastyczne.

Podsumowanie :

Model ekonometryczny uznaję za poprawny. Przeszedł on wszystkie założenia Gaussa- Markowa i jest zbudowany zgodnie z metodologią.

IX. Wnioskowanie na podstawie modelu

Na podstawie opisanego modelu, skonstruuję prognozę wartości zmiennej objaśnianej, w miejsce zebranych przeze mnie danych, w celu porównania wyników i ustalenia trafności modelowania.

Cena jabłek	Kwartał	Cena jabłek	Kwartał
2,69	1	2,2632	1
2,39	1	2,2632	1
2,37	1	2,2632	1
2,76	1	2,2632	1
2,35	1	2,2632	1
1,8	2	2,0704	2
1,61	2	2,0704	2
1,67	2	2,0704	2
1,85	2	2,0704	2
1,54	2	2,0704	2
2,01	3	1,8776	3
1,73	3	1,8776	3
1,69	3	1,8776	3
2,06	3	1,8776	3
1,93	3	1,8776	3
1,93	4	1,6848	4
1,68	4	1,6848	4
1,72	4	1,6848	4
1,92	4	1,6848	4
1,78	4	1,6848	4
średnia	1,974	średnia	1,974
S*	0	S*	0
zmienność	18,02%	zmienność	11,20%

Niestety, jak widać, model daleko niedoskonale oddaje rzeczywistość mimo poprawności metodologicznej jego budowy. Zarówno błąd ex post jak i błąd standardowy policzony do wartości Y^ jak i błąd względny prognozy przekracza granicę 10%, co oznacza, że błąd prognozy jest niedopuszczalny. Przypuszczam więc, że zapewne istnieją jeszcze jakieś współczynnik których nie udało mi się zlokalizować. Lub też, może sam proces w ostatnim okresie charakteryzuje się taką dynamiką, że trudno zidentyfikować wszystkie czynniki na niego wpływające.

.

---