PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ
Przedziałem ufności - nazywamy taki przedział, który z zadanym z góry prawdopodobieństwem 
zwanym poziomem ufności lub współczynnikiem ufności, pokrywa nieznaną wartość szacowanego parametru.
to poziom istotności
Konstruowanie przedziału ufności dla wartości przeciętnej m:
Jeżeli mamy dużą próbę (n>30) oraz cecha X ma rozkład normalny X ~ N(m, 
) , wówczas przedział ufności dla parametru m ma postać:
gdzie:
- średnia arytmetyczna,
- odchylenie standardowe, założenie (
)
n- liczebność próby,
m - wartość oczekiwana (przeciętna),
- wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu normalnego, gdzie: 
Przykład:
Zakładając, że kwartalne wydatki na reklamę można uznać za cechę o rozkładzie normalnym, wylosowano 100 zakładów usługowych i otrzymano następujący rozkład wydatków na reklamę:
|
|
|
|
|
|
|
0-5 |
10 |
2,5 |
25 |
-9,5 |
90,25 |
902,5 |
5-10 |
20 |
7,5 |
150 |
-4,5 |
20,25 |
405 |
10-15 |
40 |
12,5 |
500 |
0,5 |
0,25 |
10 |
15-20 |
30 |
17,5 |
525 |
5,5 |
30,25 |
907,5 |
- |
100 |
- |
1200 |
- |
- |
2225 |
Wyznaczyć na poziomie ufności 
przedział ufności dla przeciętnych kwartalnych wydatków na reklamę.
Najpierw obliczamy średnią arytmetyczną dla szeregu rozdzielczego przedziałowego:
Następnie obliczamy wariancję S2:
Teraz obliczamy odchylenie standardowe, czyli pierwiastek z wariancji:
Zakładamy, że 
Następnie z tablic rozkładu normalnego odczytujemy wartość 
, przy czym 
, zatem 
.
Podstawiamy wszystko do wzoru:
Odp. Z prawdopodobieństwem 98% ten przedział pokrywa wartość przeciętną m.
TESTOWANIE HIPOTEZY DLA WARTOŚCI OCZEKIWANEJ
Testowanie hipotez statystycznych obejmuje zasady i metody sprawdzania określonych przypuszczeń (założeń), dotyczących parametrów lub postaci rozkładu cech statystycznych populacji generalnej na podstawie wyników z próby prostej.
Hipotezą statystyczną - nazywamy każdy sąd o zbiorowości generalnej, wydany bez przeprowadzenia badania całkowitego, prawdziwość hipotezy statystycznej orzeka się na podstawie próby losowej. |
Hipoteza zerowa H0 - hipoteza sprawdzana (testowana, weryfikowana). |
Hipoteza alternatywna H1 - hipoteza, którą można przyjąć, gdy zostanie odrzucona hipoteza zerowa H0. |
Sprawdzianem hipotezy - (zwanym też statystyką testową) jest taka zmienna losowa T, o znanym rozkładzie, której wartość empiryczna temp., policzona na podstawie próby losowej, pozwala na podjęcie decyzji, czy przyjąć, czy też odrzucić hipotezę H0. |
Zbiór krytyczny Z - jest to zbiór tych wartości sprawdzianu hipotezy, które przemawiają za odrzuceniem hipotezy H0. W zależności od hipotezy może być zbiorem jednostronnym (prawostronnym lub lewostronnym) albo zbiorem dwustronnym. |
Przeprowadzanie testu polega na weryfikacji hipotez - stawiamy hipotezę zerową (H0) i hipotezę alternatywną (H1). Ważna jest ich postać, bo przy np. innej postaci H1 mamy inny test i inną konkluzję, - więc postaci hipotez trzeba dokładnie wypisać. Następnie potrzebujemy postaci tzw. sprawdzianu testu, - czyli statystyki testowej - zmiennej losowej, dla której wartość realizacji możemy wyliczyć korzystając z posiadanych danych i na tej podstawie wnioskować o hipotezach. Możemy to zrobić, ponieważ znamy rozkład statystyki testowej przy prawdziwości hipotezy zerowej - to jeden z zasadniczych elementów testu. Następnie badamy, jak ma się uzyskana realizacja statystyki testowej do tego rozkładu. Jeżeli uzyskujemy realizację z obszaru wysokiego prawdopodobieństwa, świadczy to, że H0 MOŻE być prawdziwa - nie udało się temu zaprzeczyć - zaobserwowaliśmy zdarzenie, które jest bardzo prawdopodobne przy prawdziwości H0.
Jednak nie możemy bezpośrednio wnioskować, że H0 jest prawdziwa - musielibyśmy wiedzieć, że statystyka testowa przy fałszywości hipotezy zerowej ma rozkład przypisujący niskie prawdopodobieństwo zaobserwowanej wartości statystyki. Konkluzja testu brzmi wobec tego „NIE MA PODSTAW DO ODRZUCENIA H0”.
Inaczej jest, gdy zaobserwujemy realizację statystyki testowej z obszaru niskiego prawdopodobieństwa w rozkładzie statystyki przy prawdziwości H0 (tzw. obszaru krytycznego) - wnioskujemy wtedy, że gdyby prawdziwa była H0, to musiałoby zajść bardzo mało prawdopodobne zdarzenie. Przypuszczamy, że to się raczej nie stało, że obserwujemy realizację z INNEGO rozkładu niż ten przy prawdziwości H0, więc że H0 nie jest prawdziwa. W tym wypadku konkluzja brzmi - ODRZUCAMY H0 i PRZYJMUJEMY H1. Zauważmy, że taka konkluzja jest bardziej konkretna niż w pierwszym przypadku.
Czyli w dużym skrócie - konkluzja się zmienia w zależności od tego, czy uzyskana wartość statystyki testowej wpada do obszaru krytycznego (odrzucamy H0) czy nie (nie ma podstaw do odrzucania H0).
Warto zawsze przyjrzeć się konstrukcji statystyki testowej - na tej podstawie można wyrobić sobie intuicję, jakie (np. duże czy małe) wartości statystyki odpowiadają prawdziwości H1 a jakie są niesprzeczne z prawdziwością H0.
Jak jednak określa się, co to znaczy „mało prawdopodobne”, - czyli: Jak dokładnie konstruuje się obszar krytyczny, jak wyznacza się jego granice?
Na samym początku ustalamy, tzw. poziom istotności (oznaczany zwykle alfa), - czyli prawdopodobieństwo fałszywego odrzucenia prawdziwej hipotezy zerowej. To jest określenie, co uznajemy za „mało prawdopodobne” - godzimy się z tym, że np. błędnie odrzucimy prawdziwą hipotezę zerową raz na 20 przypadków (wtedy 
=0,05) lub raz na 100 (
=0,01). Z rozkładu statystyki testowej wyznaczamy zbiór wartości zmiennej taki, że „odcinamy” pod funkcją gęstości dokładnie alfa prawdopodobieństwa - oczywiście nie wszystko jedno, jak, lecz tak, był to obszar odpowiadający „jak najlepiej” zaprzeczeniu H0, czyli prawdziwości hipotezy alternatywnej. Granica obszaru krytycznego to tzw. wartość krytyczna. Porównujemy ją ze zrealizowaną (wyliczoną na podstawie zaobserwowanych danych) wartością statystyki i wyprowadzamy konkluzję testu.
Postacie hipotezy alternatywnej:
1) 
jest to dwustronny obszar krytyczny, dla którego 
t
0 
Gdzie: 
- wartość krytyczna odczytana z tablic rozkładu normalnego.
2) 
jest to lewostronny obszar krytyczny, dla którego 
t
0
3) 
jest to prawostronny obszar krytyczny, dla którego 
t
0 
Tryb postępowania przy weryfikacji:
Sformułowanie hipotez.
Wybór sprawdzianu hipotezy (jest uzależniony od n, czyli liczebności próby oraz od tego, czy
jest znane).
Jeżeli 
jest znane i 
lub 
znane i n>30 lub 
nieznane i n>30 (wtedy 
), wtedy sprawdzianem hipotezy zerowej jest statystyka:
o rozkładzie normalnym N(0,1)
3) Rysujemy wykres funkcji rozkładu normalnego i zaznaczamy obszar krytyczny, w zależności od postaci hipotezy alternatywnej. Następnie na wykresie zaznaczamy wartość 
obliczoną z powyższego wzoru na T.
Jeżeli uzyskana wartość statystyki testowej 
wpada do obszaru krytycznego, wówczas odrzucamy hipotezę H0 na korzyść H1. Jeżeli 
nie wpada do obszaru krytycznego, to nie ma podstaw do odrzucenia H0, czyli hipotezę zerową przyjmujemy za prawdziwą.
Przykład 1 (zad. 5 z listy nr 8):
Zbadano w 81 wylosowanych zakładach pewnej gałęzi przemysłowej koszty materiałowe przy produkcji pewnego wyrobu i otrzymano średnią 
zł oraz 
zł. Na poziomie istotności 
zweryfikować hipotezę, że średnie koszty materiałowe przy produkcji tego wyrobu wynoszą 600 zł.
Dane:
; 
zł - średnia arytmetyczna ; 
zł - odchylenie standardowe ; 
- poziom istotności ; 600 zł - średnie koszty materiałowe.
- Formułujemy hipotezę zerową oraz hipotezę alternatywną:
(a) hipoteza zerowa 
, tzn., że średnie koszty materiałowe wynoszą 600 zł.
(b) hipoteza alternatywna 
, tzn., że średnie koszty materiałowe nie wynoszą 600 zł.
Ponieważ hipoteza 
, więc zbiór krytyczny jest dwustronny i dla rozkładu normalnego dla 
mamy: 
.
Teraz odczytujemy z tablic 
.
Podstawiamy dane do wzoru na T:
t
-3,6 
0 
Ponieważ 
wpada do obszaru krytycznego, wobec tego hipotezę 
odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej, co oznacza, że średnie koszty materiałowe nie wynoszą 600 zł.
Przykład 2:
Średnia życia mężczyzn w Polsce wynosi 67,5 lat. Interesuje nas obszar zagłębia legnicko-głogowskiego. Podejrzewamy, że z uwagi na duże zagrożenie ekologiczne, średnia życia jest tutaj niższa niż średnia krajowa. Wybrano losowo 238 mężczyzn i obliczono, że 
oraz S=12,9. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować powyższą hipotezę.
Dane:
; 
zł - średnia arytmetyczna; S=12,9zł - odchylenie standardowe; 
- poziom istotności; 67,5 lat - średnia życia mężczyzn w Polsce (średnia krajowa).
- Formułujemy hipotezę zerową oraz hipotezę alternatywną:
(a) hipoteza zerowa 
, tzn., że średnia życia jest równa średniej krajowej.
(b) hipoteza alternatywna 
, tzn., że średnia życia jest niższa niż średnia krajowa.
Ponieważ hipoteza 
, więc zbiór krytyczny jest lewostronny i dla rozkładu normalnego dla 
mamy: 
.
Teraz odczytujemy z tablic 
.
Podstawiamy dane do wzoru na T:
t
-2,51 
0
Ponieważ 
wpada do obszaru krytycznego, wobec tego hipotezę 
odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej, co oznacza, że średnia życia na obszarze zagłębia legnicko-głogowskiego jest niższa niż średnia krajowa.
STATYSTYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - ĆWICZENIA
LISTA ZADAŃ NR 8 - PRZEDZIAŁ UFNOŚCI I HIPOTEZY
Zad. 1 W 49 - elementowej próbie losowej robotników otrzymano 
jednorodnych operacji wykonanych w ciągu 1 dnia, przy współczynniku zmienności 8%. Przyjmując poziom ufności 0,95 wyznaczyć metodą przedziałową przeciętną liczbę operacji.
Zad. 2 Dane dotyczące stażu pracy w zakładzie A są następujące:
Staż w latach |
0 - 6 |
6 - 12 |
12 - 18 |
18 - 24 |
Liczba pracowników |
10 |
20 |
40 |
30 |
Wyznaczyć przedział ufności dla przeciętnego stażu pracy pracowników tego zakładu, jeśli poziom ufności wynosi 0,95.
Zad. 3 W firmie „Telimena” zbadano 500 płaszczy spośród nowo wyprodukowanych partii i otrzymano następujący rozkład liczby usterek:
Liczba usterek |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Liczba płaszczy |
90 |
160 |
100 |
80 |
50 |
20 |
Wyznaczyć na poziomie ufności 0,95 przedział ufności dla przeciętnej liczby usterek w płaszczach produkowanych w badanej firmie.
Zad. 4 W celu oszacowania średniego czasu poświęconego tygodniowo przez studentów na naukę, wylosowano próbę 132 studentów i otrzymano w niej następujące wyniki:
Czas nauki (w h) |
0-2 |
2-4 |
4-6 |
6-8 |
8-10 |
10-12 |
Liczba studentów |
10 |
28 |
42 |
30 |
15 |
7 |
Przyjmując poziom ufności 0,90 oszacować metodą przedziałową średni tygodniowy czas nauki studentów.
Zad. 5 Zbadano w 81 wylosowanych zakładach koszty materiałowe produkcji pewnego wyrobu i otrzymano 
i s=150. Na poziomie istotności α = 0,10, zweryfikuj hipotezę, ze średnie koszty materiałowe = 600.
Zad.6 Z populacji o rozkładzie normalnym N(m; 0,2) pobrano próbę czteroelementową: 1,14; 1,06; 1,13; 1,17. Na poziomie istotności 
zweryfikować hipotezę, że m=1,05.
Zad. 7 Z próby 100 elementowej obliczono 
i 
. Na poziomie istotności 0,05 zweryfikować hipotezę 
przeciw hipotezie 
.
Zad. 8 W pewnym teście psychologicznym przeprowadzonym na wylosowanych 50 dzieciach otrzymano następujący rozkład wyników liczby zapamiętanych przez dzieci elementów:
Liczba elementów |
15-20 |
20-25 |
25-30 |
30-35 |
35-40 |
40-45 |
45-50 |
Liczba dzieci |
6 |
8 |
12 |
10 |
7 |
4 |
3 |
Sprawdzić hipotezę, że średnia liczba zapamiętanych przez dzieci elementów w teście wynosi 35. Przyjąć poziom istotności 0,02.
Zad. 9 Z populacji o rozkładzie normalnym N(m; 0,1) pobrano próbę trzyelementową: 1,12; 1,05; 1,13. Na poziomie istotności 0,01 zweryfikować hipotezę, że m=1,20 przeciw hipotezie 
.
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa im. Witelona w Legnicy
Specjalność: Sterowanie Systemami Przemysłowymi
mgr Iwona Czerska
e-mail: iwona_czerska@op.pl
1
Wyszukiwarka