Wykład 25

25. Równania Maxwella

1. Podstawowe równania elektromagnetyzmu

Poszukiwaliśmy zawsze podstawowego (najmniejszego) zestawu równań pozwalającego na pełne opisanie przedmiotu zainteresowań.

W mechanice - trzy zasady dynamiki

W termodynamice - trzy zasady termodynamiki

Teraz chcemy zrobić to samo dla elektromagnetyzmu.

Zacznijmy od poznanych już równań.

	Nazwa	Równanie
1 2 3 4	prawo Gaussa dla elektryczności prawo Gaussa dla magnetyzmu prawo indukcji Faradaya prawo Ampera

Te równania jak się okaże są niekompletne Konieczne jest wprowadzenie jeszcze jednego dodatkowego wyrazu do równania 4.

Pozwala on w szczególności na udowodnienie, że prędkość światła w próżni c, jest związana z czysto elektrycznymi i magnetycznymi wielkościami.

Prześledźmy powyższą tabelę z punktu widzenia symetrii.

Zwróćmy uwagę, że w tych rozważaniach stałe μ₀ i ε₀ nie są istotne bo możemy wybrać układ jednostek, w którym będą te stałe równe 1.

Wtedy zauważamy pełną symetrię lewych stron równań.

Prawe strony NIE są symetryczne.

Przyczynę niesymetrii dla równań 1 i 2 znamy. Wiemy, że istnieją izolowane centra ładunku (np. elektron, proton) ale nie istnieją izolowane centra magnetyczne (pojedyncze bieguny magnetyczne - monopole). Dlatego w równaniu 1 pojawia się q, a w 2 zero.

Z tego powodu mamy w równaniu 4 prąd I = dq/dt, a nie mamy prądu monopoli (ładunków magnetycznych) w równaniu 3.

Drugi rodzaj asymetrii wiąże się z wyrazem -dφ_B/dt w równaniu 3. Sens tego prawa jest następujący

zmieniające się pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne.

Korzystając z zasad symetrii można przypuszczać, że obowiązuje zależność odwrotna

zmieniając pole elektryczne (dφ_E/dt) wytwarzamy pole magnetyczne
.

2. Indukowane pole magnetyczne

Oczywiście doświadczenie daje przykłady

W kondensatorze (cylindrycznym) pole elektryczne wzrasta (kondensator ładuje się) z prędkością dE/dt co oznacza, że do okładek dopływa ładunek.

Doświadczenie pokazuje, że powstaje tam pole magnetyczne wytworzone przez zmieniające się pole elektryczne.

Trzeba to uwzględnić w naszych równaniach.

Jeszcze raz rozpatrzmy nasz cylindryczny kondensator obliczmy z prawa Ampera pole magnetyczne w punkcie P (rysunek poniżej).

Wybieramy kontur obejmujący płaską powierzchnię S, która zawiera prąd I oraz przechodzi przez punkt P (w odległości r). (
)

Z prawa Ampera otrzymujemy

Stąd

B2πr=μ₀I

czyli

Prawo Ampera obowiązuje dla dowolnego konturu. Wybieramy więc kontur kołowy na którym rozpięta jest zakrzywiona powierzchnia S^'. Żaden prąd nie przechodzi przez tę powierzchnię więc tym razem kontur nie obejmuje prądu i mamy
co jest sprzeczne z poprzednim wynikiem. Wynika to z nieciągłości prądu, który nie płynie pomiędzy okładkami kondensatora. Żeby usunąć tę niespójność Maxwell zaproponował dodanie nowego członu do prawa Ampera.

Przez analogię do prawa indukcji Faradaya możemy napisać

(25.1)

Tak więc prawo Ampera po modyfikacji ma postać

(25.2)

Tak więc pole magnetyczne jest wytwarzane przez przepływ prądu ale też przez zmieniające się pole elektryczne.

Sprawdźmy czy stosując tę modyfikację uzyskamy teraz poprawny wynik na pole B w punkcie P (przykład powyżej).

W części powierzchni krzywoliniowej S' pomiędzy okładkami kondensatora z prawa Gaussa wynika

ES_C = q/ε₀

gdzie S_C jest powierzchnią okładek kondensatora.

Czyli

φ_E = q/ε₀

Różniczkując po dt mamy

Przypomnijmy, że

Podstawiając za I otrzymujemy

czyli dodany wyraz do prawa Ampera.

3. Prąd przesunięcia

Z poprzedniego równania widać, że wyraz ε₀dφ_E/dt ma wymiar prądu. Mimo, że nie mamy tu do czynienia z ruchem ładunków, to wyraz ten nazywamy prądem przesunięcia. Mówimy, że pole B może być wytworzone przez prąd przewodzenia I lub przez prąd przesunięcia I_P.

(25.3)

Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na zachowanie ciągłości prądu w przestrzeni gdzie nie jest przenoszony ładunek (np. między okładkami kondensatora).

Przykład 1:

Obliczyć indukowane pole magnetyczne w ładowanym kondensatorze cylindrycznym w odległości r od osi (rysunek 1).

Z równania

otrzymujemy

Stąd

dla r = R = 5cm oraz dE/dt = 10¹² V/ms otrzymujemy B = 0.0028 Gs czyli o dwa rzędy mniej niż pole ziemskie.

Natomiast prąd przesunięcia

ma całkiem sporą wartość I_P = 70 mA. Powodem, że B jest tak małe jest to, że ten prąd (umowny) jest rozłożony na bardzo dużej powierzchni okładki kondensatora podczas gdy prąd przewodzenia jest "skupiony" w przewodniku.

4. Równania Maxwella

	Prawo	Równanie	Czego dotyczy	Doświadczenie
1	Gaussa dla elektryczności		ładunek i pole elektryczne	Przyciąganie, odpychanie ładunków (1/r^2). Ładunki gromadzą się na powierzchni metalu
2	Gaussa dla magnetyzmu		pole magnetyczne	nie stwierdzono istnienia monopola magnetycznego
3	indukcji Faradaya		efekt elektryczny zmieniającego się pola magnetycznego	indukowanie SEM w obwodzie przez przesuwany magnes
4	Ampera (rozszerzone przez Maxwella)		efekt magnetyczny zmieniającego się pola elektrycznego	prąd w przewodniku wytwarza wokół pole magnetyczne prędkość światła można wyliczyć z pomiarów EM

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

24-6

25-5

P

r

i

i

E

S'

S

---