ćw.5, 05 Gorski, Politechnika Krakowska


Politechnika Krakowska

Fizyka Techniczna

Paweł

Górski

Rok II 99/2000

Semestr III

Data :

Grupa : 1

Zespół : 6

Ćw.

5

Podpis :

Ocena:

Temat:

Badanie drgań tłumionych wahadła torsyjnego.

Wstęp:

0x08 graphic
Bryła sztywna obracalna około stałej osi obrotu i poddana momentowi sił M1, proporcjonalnemu do kąta odchylenia bryły z położenia równowagi φ, a skierowanemu przeciwnie do wychylenia

0x08 graphic
Wykonuje drgania proste, obrotowe o równaniu:

gdzie:

J - moment bezwładności bryły względem osi obrotu.

0x08 graphic
Rozwiązaniem tego równania jest:

gdzie:

Φ - amplituda kątowa drgań,

0x08 graphic
T - okres drgań

ε - faza początkowa.

Amplituda i okres są nie zmienne w czasie, przy czym okres nie zależy od amplitudy (izochronizm drgań). Jeżeli oprócz momentu M1 działają na ciało momenty sił skierowane przeciwnie do prędkości ciała, wówczas amplituda maleje z biegiem czasu; obserwujemy drgania zwane tłumionymi, zanikającymi lub gasnącymi

Prawo zanikania amplitudy zależy od rodzaju tłumienia. Rozpatrzmy dwa rodzaje tłumienia:

  1. tłumienie momentem siły proporcjonalnym do prędkości ruchu φ i przeciwnie do niej skierowanym:M2=k2φ

  2. 0x08 graphic
    0x08 graphic
    tłumienie momentem stałym co do wartości, a przeciwnie skierowanym do φ;

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
Przypadek "a" występuje przy tłumieniu powolnych, mechanicznych drgań ciała zanurzonego w lepkiej cieczy lub przy tłumieniu drgań elektrycznych w obwodach elektrycznych. Przypadek "b" ma miejsce przy tłumieniu drgań mechanicznych tarciem kulombowskim. W przypadku "a" równanie ruchu ma postać:

0x08 graphic
Jego rozwiązaniem przy słabym tłumieniu ( k22 < 4Jk1 ) jest funkcja:

0x08 graphic
Stałe Ф i ε wyznaczamy z warunków początkowych. Niech np.: dla t=0, φ(0)= φ0 i φ(0)= φ0, wówczas:

0x08 graphic
Funkcja przedstawiona równaniem 2 nie jest funkcja periodyczną jak wynika z poniższego rysunku. Jej "okres ", tj czas, jaki upływa miedzy dwoma kolejnymi maksimami lub podwójny czas między dwoma kolejnymi przejściami przez 0 wynosi:

A więc jest dłuższy od okresu T drgań nie gasnących. Maksima funkcji [2]

Są przesunięte względem maksimów funkcji sinus kąta w lewo i wartości ich maleją z czasem. Ponieważ termin -amplituda- odnosi się do stałej wartości maksimów funkcji sinus, wyrażenie Фe-δt należało by nazwać amplitudę w cudzysłowie. "Amplituda" Фe-δt maleje z czasem według funkcji wykładniczej, logarytm "amplitudy" maleje liniowo z czasem

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
Obliczmy stosunek 2 kolejnych "amplitud" po tej samej stronie położenia równowagi

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
Stosunek ten jest stały i nosi nazwę stosunku tłumienia. Logarytm naturalny tego stosunku :

Nosi nazwę dekrementu logarytmicznego drgań tłumionych. Jest on również wartością charakterystyczną dla tych drgań.

W przypadku "b" równanie ma postać: Jφ=-kφ+M3

0x08 graphic
Rozwiązaniem tego równania a właściwie układu 2 równań różniczkowych jest drganie tłumione o amplitudzie malejącej według postępu arytmetycznego o wielkości Δφ=4M/k1 na 1 okres i ie zmienionym okresie :

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Opis przyrządu użytego do ćwiczenia

0x08 graphic
Przyrząd składa się z kuli zawieszonej na stalowym drucie wlutowanym osiowo w walec, obracalny w łożysku za pośrednictwem pokrętła o niewielki kąt. Wiązka światła z rzutnika odbija się od zwierciadła przymocowanego do drutu i daje na skali plamkę świetlną. Podczas drgań obrotowych kuli plamka świetlna wykonuje drgania liniowe o odchyleniu x proporcjonalnym do kąta obrotu kuli φ, gdyż dla niewielkich kątów

0x08 graphic

(l jest odległością skali od zwierciadełka); stąd

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic

Tłumienie proporcjonalne do prędkości ruchu realizujemy przez zanurzenie drgającej kuli w lepkiej cieczy, np. w wodzie; stąd nazwa tego rodzaju tłumienia: lepkościowe lub wiskotyczne. Tłumienie stałym momentem uzyskujemy, podstawiając pod kulę cienką blaszkę przesuwalną na statywie, której wysokość, a więc i nacisk na kulę można regulować za pomocą śruby.

Tłumienie pochodzące od lepkości powietrza i tarcia wewnętrznego w materiale drutu jest tak małe, że można je wobec obu rozpatrywanych momentów hamujących pominąć. Kulę wprawiamy w drganie przez powolny obrót zawieszenia z położenia zerowego w skrajne, a następnie szybki powrót do zera.

Zadania

Zadanie 1: Drgania obrotowe kuli nie tłumione (z pominięciem tłumieni powietrza i tłumienia w metalu drutu).

  1. Obserwować kilkanaście kolejnych amplitud xn po tej samej stronie położenia równowagi.

lp.

10T [s]

X ( lewa )

X (prawa)

1

87,00

154

160

0

2

87,00

153

160

1T

3

87,03

153

160

2T

4

87,10

152

159

3T

5

86,94

152

159

4T

6

86,90

151

159

5T

7

87,04

151

159

6T

8

86,91

150

159

7T

9

86,96

150

159

8T

10

86,97

150

158

9T

150

158

10T

150

157

11T

149

157

12T

149

156

13T

147

156

14T

146

158

15T

  1. Sporządź wykres zależności amplitudy od czasu (wykres 1).

  2. Zmierzyć okres drgań przez kilkakrotny pomiar czasu przypadającego na 10 okresów.

  1. 0x08 graphic
    Oblicz moment kierujący:

m=1 [kg]

R=0,0303 [m]

w tej części ćwiczenia mieliśmy za zadanie zmierzyć okres drgań wahadła fizycznego, oraz wychylenie

Wyznaczam błąd 10T wahadła:

10Tśr=86,98 [s]

0x08 graphic
Odchylenie standardowe całości

Tśr=86,98/10=8,698[s] - okres jednego wachnięcia.

T = ( 8,698 * 0,002 )[s]

J = 2/5mR2 = 0,00037[kg m2]

0x08 graphic
k1 =0,000192[N/m.]

k1 = ( 0,00019 ± 0,00009 ) [N/m]

Niedokładności w tej części ćwiczenia mogą wynikać z warunków w jakich wykonywaliśmy to ćwiczenie, oraz niedokładności ludzkiego oka.

Zadanie 2. Drgania obrotowe kuli tłumione oporem wiskotycznym.

  1. Obserwować kilkanaście kolejnych amplitud xn po tej samej stronie położenia równowagi.

lp.

10T [s]

x ( lewa )

x(prawa)

lnx(lewa)

lnx(prawa)

x/xn+1

1

87,86

171

171

0T

5,141664

5,141664

1,075472

2

87,8

159

161

1T

5,068904

5,081404

1,06

3

87,81

150

151

2T

5,010635

5,01728

1,071429

4

87

140

141

3T

4,941642

4,94876

1,068702

5

87,92

131

131

4T

4,875197

4,875197

1,07377

6

87,83

122

122

5T

4,804021

4,804021

0,976

7

87,93

125

116

6T

4,828314

4,75359

1,157407

8

87,8

108

106

7T

4,682131

4,663439

1,069307

9

87,68

101

101

8T

4,615121

4,615121

1,074468

10

87,87

94

95

9T

4,543295

4,553877

1,05618

89

89

10T

4,488636

4,488636

1,072289

83

82

11T

4,418841

4,406719

1,064103

78

78

12T

4,356709

4,356709

Tłumienie kuli: (x/xn+1)sr= 1,068572

  1. Sporządź wykres przedstawiający zależność amplitudy od czasu (wykres nr 2).

  2. Sporządź wykres przedstawiający zależność logarytmu naturalnego amplitudy od czasu.

Wykres nr.4 przedstawia zależność amplitudy xn (prawej) od czasu, a nr.5 amplitudy xn (lewej)

4. Obliczyć na podstawie wykresów stosunek tłumienia i dekrement logarytmiczny obserwowanych drgań

tłumionych.

Wyznaczamy dekrement logarytmiczny i jego błąd metodą regresji liniowej.

Równanie ogólne prostej:

y=Ax+B

0x08 graphic

D = ( -0,0735 ± 0,0243 )

5. Zmierzyć okres drgań tłumionych T1.

Wyznaczam błąd 10T wahadła:

10Tśr=87,75 [s]

Tśr=8,775[s]

Odchylenie standardowe całości:

S10T=0,67[s]

ST=0,067[s]

T = ( 8,775 * 0,067 )[s]

  1. Oblicz współczynnik k2 ze wzoru na dekrement:

k2 obliczamy ze wzoru na dekrement.

0x08 graphic
0x08 graphic
k1 obliczymy ze wzoru na okres:

0x08 graphic

m=1 [kg]

R=0,0303[m]

k1=( 0,00019 ± 0,00009 ) [N/m]

k2=( 6,19 ± 0,098 ) 10-6[N/m]

Zadanie 3: Drgania obrotowe kuli tłumione tarciem kulombowskim.

  1. Obserwować kilkanaście kolejnych amplitud xn po tej samej stronie położenia równowagi.

x ( lewa )

x (prawa)

x-xn+1

1T

158

151

10

2T

148

141

8

3T

140

132

7

4T

133

126

7

5T

126

117

8

6T

118

111

7

7T

111

103

7

8T

104

96

7

9T

97

89

7

10T

90

83

6

11T

84

77

6

12T

78

69

7

13T

71

61

5

14T

66

56

6

15T

60

51

5

16T

55

47

5

17T

50

42

4

18T

46

36

5

19T

41

32

3

20T

38

30

x =( x-xn+1)sr= 7

k1 = ( 0,00019 ± 0,00009 ) [N/m]

l = 0,784 m ± 0,001m

  1. Sporządź wykres zależności amplitudy od czasu. (wykres nr 3)

  2. 0x08 graphic
    Obliczyć na podstawie wykresu moment siły tarcia:

Wnioski:

Wszystkie części ćwiczenia zostały wykonane poprawnie o czym świadczą wykresy. Drobne uchybienia mogły być spowodowane niedokładnością ludzkiego oka i przyrządów które mieliśmy do dyspozycji. Jak wynika z obliczeni wszystkie niedokładności mieszczą się w granicach błędów, co nam pozwoliło na powyższe stwierdzenia.

φ

t

3T

2T

T

Δφ

0x01 graphic

0x01 graphic

2T

6T

4T

8T

t

ln Φn

0x01 graphic

T

3T

2T

t

φ

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

2T

T

3T

t

0x01 graphic

φ

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka