Wykład 4

Zadanie

Wykazać, że granica funkcji
w punkcie
jest równa 0.

Wykresem funkcji
,
nazywamy zbiór

.

Dla

Wykresem funkcji dwóch zmiennych może być w przestrzeni R³ pewna powierzchnia, wówczas
jest równaniem tej powierzchni.

Przykład

Naszkicuj wykres funkcji

a)

b)

Wykresem tej funkcji jest powierzchnia, która powstaje przez obrót paraboli
wokół osi 0z. Nazywamy ją paraboloidą obrotową.

c)

Wykresem tej funkcji jest powierzchnia, która powstaje przez przesunięcie paraboli
dla
równolegle do osi 0y.

Warstwica

Warstwicą funkcji
, odpowiadającą wartości c nazywamy zbiór

Dla
warstwicą powierzchni o równaniu
jest rzut prostokątny na płaszczyznę Oxy linii, wzdłuż której płaszczyzna
przecina tę powierzchnię.

Ciągłość funkcji

Def. Funkcja f n zmiennych określona w pewnym otoczeniu punktu x₀ jest ciągła w punkcie x₀ wtedy i tylko wtedy, gdy

.

Funkcja f jest ciągła w zbiorze A jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego zbioru.

Tw (Weierstrassa 1815-1897)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym, to istnieją w tym obszarze punkty, w których funkcja przyjmuje swoje kresy.

,

,
.

Tw. (Darboux 1842-1917)

Jeżeli funkcja f jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym oraz liczba q jest zawarta między liczbami
, to istnieje co najmniej jeden punkt
, taki że
.

zadanie

1.Zbadaj ciągłość funkcji

2. Wyznaczyć największą wartość funkcji
w zboorze

Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego

Niech

f będzie funkcją określoną w otoczeniu U punktu
,

będzie przyrostem i-tej zmiennej, i=1,2,...,n takim, że punkt

jest odległością punktu x od x₀.

Def.

Jeżeli istnieje skończona granica

to nazywamy ją pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f względem zmiennej x_i w punkcie x₀ i oznaczamy symbolem
lub
.

Rozpiszmy definicje dla

n=2,

Przykład

Korzystając z definicji obliczyć wskazane pochodne cząstkowe pierwszego rzędu

gdy

Z podanej definicji wynika, że obliczając
należy postępować tak, jak przy obliczaniu pochodnej funkcji jednej zmiennej x_i traktując pozostałe zmienne jak ustalone parametry.

Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych n=2

Jeżeli funkcja
ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
, to

,

gdzie
jest kątem jaki tworzy styczna poprowadzona w punkcie
do krzywej otrzymanej w wyniku przecięcia wykresu funkcji f płaszczyzną
z dodatnim kierunkiem osi 0x,

gdzie
jest kątem jaki tworzy styczna poprowadzona w punkcie
do krzywej otrzymanej w wyniku przekroju wykresu funkcji f płaszczyzną
z dodatnim kierunkiem osi 0y.

Pochodne cząstkowe wyższych rzędów

Ogólnie

Pochodną cząstkową rzędu pierwszego pochodnej cząstkowej rzędu n nazywamy pochodną cząstkową rzędu n+1.

Pochodne cząstkowe rzędu drugiego

Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego pochodnych cząstkowych
i=1,2,...,n względem zmiennej
j=1,2,...,n nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego i oznaczamy symbolem

lub
przy czym dla
piszemy

Pochodną
gdy
nazywamy pochodną cząstkową mieszaną rzędu drugiego, jeśli
pochodną czystą.

Dla
(
) można obliczać cztery pochodne cząstkowe rzędu drugiego: dwie czyste
, i dwie mieszane
. Oznaczenia

Przykład

Obliczyć pochodne cząstkowe rzędu drugiego dla

Niech

Def. Funkcja f jest klasy
jeżeli ma na zbiorze X ciągłe pochodne cząstkowe do rzędu n włącznie.

Tw. Schwarza

Jeżeli funkcja f ma w pewnym zbiorze otwartym ciągłe pochodne cząstkowe mieszane rzędu drugiego
i≠j, to w każdym punkcie tego zbioru są one równe.

Literatura

Zbiory zadań

Banaś J., Wędrychowicz S. Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT

Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych czI, czII, PWN

Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna II, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław,

Podręczniki

Żakowski W., Kołodziej W., Matematyka cz II, WNT, podręczniki akademickie dla elektroniki

Leitner R., Zarys matematyki wyższej dla inżynierów, cz I, II, III, WNT

Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 2, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław, matematyka dla studentów politechnik

Dla ambitniejszych

Rudnicki R., Wykłady z analizy matematycznej, PWN 2006

---