1. Algebra logiki (George'a Boole'a-1854):

1. Czasami trzeba podjąć decyzję na podstawie pewnych warunków

2. Przykład - znak rezultatu mnożenia:

- porównaj znaki czynników

- jeśli znaki są równe, wynik +

- jeśli znaki są różne, wynik -

2. Założenia algebry logiki:

1. Wszystkie zmienne przyjmują tylko dwie wartości:{0,1}

2. Wartość funkcji również przyjmują dwie wartości:{0,1}

3. Podstawowe funkcje:

1. Jednej zmiennej:

- negacja

x	F(x)=x^-
0	1
1	0

2. Dwóch zmiennych (przynajmniej dwóch):

- koniunkcja

x	y	F(x,y)=x*y
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

- dyzjunkcja

x	y	F(x,y)=x˄y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

4. AKSJOMATY - podstawowe twierdzenie bez dowodów:

1. Dla koniunkcji

x*y=y*x x*x=x

x*0=0 x*x^-=0 prawo łączności i rozdzielności

x*1=x x(y˅z)=(x*y)˅(x*z)

2. Dla dysjunkcji

x˅y=y˅x x˅x=x

x˅0=x x˅x^-=1

x˅1=1 x˅(y*z)=(x˅z)*(x˅z)

3. Prawa de Morgana

x^-* y^-=y^-˅x^- x^-˅y^-=y^-*x^-

4. Prawo podwójnego przeczenia: x^--=x

5. Funkcje a aksjomaty:

1. Funkcje zostały zdefiniowane w postaci tabelarycznej

2. Aksjomaty zostały zdefiniowane w postaci algebraicznej

3. Aby uprościć funkcje

6. Zmiana sposobu zapisu:

• Przejście z tabeli na zapis algebraiczny:

1. Zaznaczyć wszystkie wiersze dla których funkcja jest równa 1

2. Każdemu zaznaczonemu wierszowi przypisać koniunkcję wszystkich zmiennych

3. Postawić negację nad zmienną, gdy w lewej części tablicy w zaznaczonym wierszu jest równa 0

4. Z otrzymanych koniunkcji utworzyć dyzjunkcję

Przykład:

x	y	F(x,y)	=x^-*y˅x*y^-˅x*y
0	0	0
0	1	1	x^-*y
1	0	1	x*y^-
1	1	1	x*y

f(x,y)=x^-*y˅x*y^-˅x*y

7. Funkcja pierwotna: F(x,y)=x˅y

8. Wykorzystanie aksjomatów:

F(x,y)=x^-*y˅x*y^-˅x*y˅ a˅a=a

F(x,y)= x^-*y˅ ˅x*y˅ a=a˅a

F(x,y)= ˅y(x^-˅x)

F(x,y)= ˅y

9. Znak rezultatu mnożenia:

z_x,z_y- znaki czynników; z_i - znak iloczynu

zx	zy	zi	=zx*zy˅zx*zy
0	0	0
0	1	1	z^-x*zy
1	0	1	zx*z^-y
1	1	0

10. FUNKTORY:

1. Graficzny sposób przedstawiania funkcji

2. Także techniczna realizacja funkcji w postaci układu scalonego

11. Wygląd podstawowych funktorów:

1. 
   
   
   
   Negacja

2. 
   Koniunkcja

3. 
   Dyzjunkcja

z_i=z^-_xz_y˅z_x*z^-_y

z_x

z_y z_i

wygląd uogólnionego funktora

do środka wpisany symbol środka

12. Funktory

Sumator jednobitowy:

- 3 wejścia - sumowane składników i przeniesienie z poprzednich pozycji

- 2 wyjścia - suma i przeniesienie na starszą pozycję

X_i

Y_i s_i

P _i-1 P_u+1

13. Opis funkcji wyjść sumatora jednobitowego:

xi		yi		P i-1				Si
0		0		0				0
0		0		1				1
0		1		0				1
0		1		1				0
xi	yi		P i-1		Si
1	0		0		1
1	0		1		0
1	1		0		0
1	1		1		1
xi	yi		P i-1		P i+1				Si
0	0		0		0				0
0	0		1		1				0
0	1		0		1				0
0	1		1		0				1
1	0		0		1				0
1	0		1		0				1
1	1		0		0				1
1	1		1		1				1
xi	yi		P i-1		Pi+1
0	0		0		0
0	0		1		0
0	1		0		0
0	1		1		1
1	0		0		0
1	0		1		1
1	1		0		1
1	1		1		1

14. PODSUMOWANIE:

1. Algebra Boole'a pozwala funkcji na zapis zależności logicznych

2. Wartości zmiennych i funkcji należą do zbioru {0,1}

3. W oparciu o funkcje (negacja, koniunkcja, dyzjunkcja)

4. Do przedstawienia funkcji wykorzystujemy zapisy:

- tabelaryczny

- algebraiczny

- graficzny (funktory)

ALGEBRA LOGIKI (BOOLE'A)

1

3

4

1

2

x*y

x*y

x*y^-

x(y^-˅y)

x

Σ^s_p

---