WYKŁAD 9

Ekonometria to nauka zajmująca się ustalaniem, za pomocą metod statystycznych, ilościowych prawidłowości zachodzących w życiu gospodarczym.

Opisowym modelem ekonometrycznym nazywamy równanie lub układ równań opisujący w przybliżeniu zależności między pewnymi wielkościami ekonomicznymi.

Opisowe modele ekonometryczne można podzielić z punktu widzenia rożnych kryteriów klasyfikacji, których kilka wymienimy.

0. Liczba równań w modelu - modele jednorównaniowe i wielorównaniowe.

1. Uwzględnienie lub nie dynamiki opisywanych zależności: modele dynamiczne i modele statyczne.

2. Postać analityczna równań modelu - modele liniowe i nieliniowe.

3. Charakter poznawczy modelu. Wyróżniamy tutaj: modele przyczynowo-skutkowe, symptomatyczne, i modele tendencji rozwojowej.

4. Zakres badania, dzieląc je na modele mikro-, mezo- i makroekonomiczne.

5. Charakter powiązań między nieopóźnionymi zmiennymi endogenicznymi w modelach wielorównaniowych: modele proste, rekurencyjne i o równaniach łącznie współzależnych.

Modele jednorównaniowe są równoważne funkcji regresji postaci, czyli:

Istotnym jest podział zmiennych na zmienne objaśniane i objaśniające. W przypadku modeli wielorównaniowych stosuje się klasyfikację zmiennych wyróżniając zmienne endogeniczne, które są objaśniane przez model i egzogeniczne, które pełnią w modelu rolę zmiennych objaśniających, a same przez model nie są objaśniane.

Wielorównaniowy liniowy model ekonometryczny, w którym występuje m zmiennych endogenicznych można zapisać następująco:

 

i = 1, 2,..., n

gdzie:
- wektor [m 1] zmiennych endogenicznych,

- wektor [(k+1)  1] zmiennych egzogenicznych,

- wektor [m 1] składników losowych,

 - macierze o wymiarach odpowiednio [m (k+1)] i [m m] nieznanych parametrów strukturalnych modelu ekonometrycznego.

 

W przypadku uwzględnienia dynamicznego charakteru modelowanego zjawiska lub układu gospodarczego zmienne endogeniczne i egzogeniczne mogą występować z opóźnieniami lub wyprzedzeniami czasowymi. Wówczas model można zapisać jako:

 

gdzie dla każdej obserwacji dokonanej w czasie t = 1, 2,..., T:

- wektory [m 1] opóźnionych o  ( = 0, 1, 2,..., r) okresów zmiennych endogenicznych, dla   = 0 otrzymujemy wektor
[m 1] nieopóźnionych zmiennych endogenicznych,

- wektory [(k+1) 1] opóźnionych o  ( = 0, 1, 2,..., p) okresów zmiennych egzogenicznych, dla  = 0 mamy
, czyli wektor [(k+1)  1] nieopóźnionych zmiennych egzogenicznych,

 - macierze o wymiarach odpowiednio [m (k+1)] i [m m] nieznanych parametrów strukturalnych modelu ekonometrycznego, stojące przy opóźnionych i nieopóźnionych zmiennych endo- i egzogenicznych,

- wektor [m 1] składników losowych.

Integralnym elementem modelu ekonometrycznego są założenia o stochastycznej strukturze modelu, których klasyczny zestaw znany jest jako założenia Gaussa-Markowa:

0. Zmienne egzogeniczne są nielosowe.

1. Składniki losowe
   dla i = 1, 2,..., n lub
   dla t = 1, 2,..., T są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym o:

a) wartości oczekiwanej równej zero, czyli
,

b) stałej wariancji
, (modele, dla których nie zostało spełnione założenie o jednorodności wariancji składnika losowego nazywamy modelami heteroskedastycznymi)

c) zerowej kowariancji
, (modele bez spełnionego założenia o autokorelacji składnika losowego nazywamy modelami z autokorelacją).

2. Informacje zawarte w wektorze
   i macierzy
   są jedynymi informacjami, na podstawie których oszacowane zostaną parametry równań modelu.

3. Macierz obserwacji
   o wymiarach [n (k+1)] jest macierzą pełnego rzędu, tzn. nie występuje współliniowość między zmiennymi egzogenicznymi. Rząd tej macierzy wynosi (k+1)<n, gdzie n jest liczbą obserwacji, czyli
   

.

 

Poprawność przyjętych założeń jest sprawdzana w trakcie weryfikacji statystycznej modelu ekonometrycznego (z wyjątkiem założenia o normalności rozkładu składnika losowego  _i, bowiem do weryfikacji tego założenia wymagana jest duża próba, którą z reguły nie dysponujemy i w praktyce rzadko się je weryfikuje).

 

Weryfikacja modelu

1. Istotności parametrów modelu. Badając istotność wpływu zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą zależy nam na odrzuceniu hipotezy zerowej postaci:
   na rzecz hipotezy alternatywnej
   , Sprawdzianem tego testu jest statystyka t-Studenta postaci:

o n-(k+1) stopniach swobody.

 

2. Zjawisko istnienia autokorelacji składnika losowego. Najpopularniejszym testem wykorzystywanym do weryfikacji hipotezy o autokorelacji jest test Durbina-Watsona. W teście tym hipoteza zerowa formułowana jest jako:
   ,

gdzie
- nieznany współczynnik autokorelacji, którego estymatorem jest współczynnik autokorelacji w próbie
wyznaczany jako:

gdzie

Dla
hipoteza alternatywna formułowana jest w postaci:

Sprawdzianem w tym teście dla modeli, w których nie występują zmienne endogeniczne opóźnione, jest statystyka Durbina-Watsona postaci:

Jeżeli DW <
, wówczas odrzucamy hipotezę zerową na rzecz hipotezy alternatywnej, co oznacza istnienie dodatniej autokorelacji.

Jeżeli DW >
, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, czyli ją przyjmujemy i stwierdzamy brak istotnej korelacji dodatniej.

W sytuacji gdy
test nie daje odpowiedzi na temat występowania autokorelacji, jest to tak zwany obszar niekonkluzywności.

W celu zweryfikowania hipotezy o występowaniu ujemnej autokorelacji, hipotezę alternatywną formułuje się jako:

,

a sprawdzianem tej hipotezy jest statystyka:

którą porównuje się z wartościami krytycznymi
i
w taki sam sposób, jak w przypadku opisanej wcześniej autokorelacji dodatniej.

Zmiana zmiennych w modelu:

3. Heteroskedastyczności, tj. niejednorodności wariancji składnika losowego, weryfikowanego za pomocą statystyki Fishera-Snedecora. Nieobciążony estymator wariancji składnika losowego przyjmuje się wariancję resztową:

 

 

W bardziej zaawansowanych badaniach ekonometrycznych testuje się również hipotezę o normalności składnika losowego, co jest wymagane, zwłaszcza jeżeli dysponujemy dużą (liczącą ponad 60 obserwacji) próbą oraz stosuje się tzw. test Ramseya do testowania poprawności postaci analitycznej modelu.

Oprócz weryfikacji statystycznej niezwykle istotną jest weryfikacja merytoryczna uzyskanych ocen estymatorów parametrów strukturalnych. Chodzi tutaj o stwierdzenie, czy otrzymane wyniki estymacji zgodne są z pewnymi założeniami i oczekiwaniami, a także z teorią ekonomii.

---