ZAGADNIENIE 6

STANY STACJONARNE I NIESTACJONARNE, WYPROWADZENIE STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRODINGERA

Stany niestacjonarne są to takie stany, w których operator potencjału (operator energii potencjalnej) zależy od współrzędnych przestrzennych i czasu
.

Stany (problemy) stacjonarne są to takie stany w których operator potencjału nie zależy od czasu

W przypadku problemów stacjonarnych możliwe jest ważne uproszczenie w rozwiązywaniu równania Schrodingera. Przedstawmy równania Schrodingera w postaci iloczynu funkcji, zależnej tylko od współrzędnych przestrzennych i od czasu
. Podstawiamy te funkcję do równania Schrodingera, przy czym w przypadku stacjonarnym mamy
- potencjał nie zależy od czasu
. Dzieląc to równanie przez
otrzymujemy:

Wprowadzamy stałą rozdziału zmiennych E, aby lewa strona równa funkcji współrzędnych, była równa funkcji czasu po prawej stronie

oraz

Pierwsze z powyższych równań nazywamy niezależnym od czasu równaniem Schrodingera, a drugie częścią czasową równania Schrodingera. Rozwiązujemy drugie równanie

po scałkowaniu mamy:

Rozwiązanie Ψ pełnego równania Schrodingera otrzymuje się po rozwiązaniu niezależnego od czasu równania Schrodingera, a następnie otrzymane rozwiązanie φ pomnożyć przez rozwiązanie otrzymane po scałkowaniu.

Zauważmy, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przypadku problemu stacjonarnego danego prze powyższe równanie nie zależy od czas, gdyż:

- to równanie oczywiście nie jest funkcją czasu.

ZAGADNIENIE 9

BARIERA POTENCJAŁU, EFETKT TUNELOWY

Rozważamy cząstkę o masie m i energii E, padającą od strony x<0 na prostokątną barierę potencjału o wysokości U i szerokości a.

Równanie Schrodingera w obszarach x<0 i x>0 ma postać:

gdzie:
,

a rozwiązania mają charakter oscylacyjny (
)

W obszarze na prawo od bariery nie może występować fala materii biegnąca na lewo (reprezentowana przez składnik B₃exp(-ikx)), w związku z tym stała B₃ musi być równa 0.

W obszarze 0<x<a równanie Schrodingera wynosi:

gdzie:

a rozwiązania mają charakter ekspotencjalny (x²>0):

Bariera potencjału o wysokości U i szerokości a.

Cząstka mimo, że ma energię niższą niż wysokość bariery (E<U), może przeniknąć przez barierę potencjału, gdyż współczynnik określający prawdopodobieństwo przejścia jest większy od 0. Zjawisko takie nazywane zjawiskiem tunelowym nie jest obserwowane w przypadku klasycznym. Jeżeli cząsteczka porusza się nad barierą potencjału (E>U) prowadzi to do tego, że prawdopodobieństwo odbicia od bariery potencjału jest większe od 0 i cząstka taka może odbić się od bariery potencjału.

ZAGADNIENIE 11

ATOM WODORU, LICZBY KWANTOWE, POZIOMY ENERGETYCZNE, MOMENT PĘDU, RZUT MOMENTU PĘDU.

Wszystkie wzory serii widmowych wodoru można przedstawić jednym wzorem:
, gdzie m, n - liczby całkowite, przy czym dla danej serii jest spełniony warunek n=m+1, m+2, m+3 itd. Dla serii Lymana m=1, dla serii Balmera m=2, Paschena m=3 itd. Przy nieograniczonym wzrastaniu n częstości wszystkich serii widma wodoru dążą do odpowiednich granic. Częstości graniczne T(m) serii linii atomu wodoru są równe R/m².

Moment pędu elektronu atomu znajdującego się w stanie stacjonarnym ma wartości dane następującym wzorem:

, gdzie m - masa elektronu, v - prędkość elektronu, r - promień orbity, h - stała Plancka.

ZAGADNIENIE 14

ATOM WIELOELEKTRONOWY, PRZYBLIŻENIE CENTRALNEGO POLA, POWŁOKI ELEKTRONOWE.

ZAGADNIENIE 17

RUCHY JĄDER W CZĄSTECZKACH DWUATOMOWYCH - PRZYBLIŻENIE BORNA - OPPENHEIMERA

Ruchy jąder w cząsteczkach dwuatomowych mogą być: drgające, oscylacyjne itd. Chmura elektronowa stanu stacjonarnego układu może bardzo szybko dostosować się do ruchów jąder. Innymi słowy - przypuśćmy, że w jakiejś chwili t₀ jądra układu przyjmują położenia R₁(t₀), R₂(t₀) ... itp., a chmura elektronowa znajduje się w stanie stacjonarnym α, odpowiadającym powyższej konfiguracji jąder. Jeżeli jądra będą powoli zmieniać swoje położenie, wtedy chmura elektronowa układu będzie przechodzić przez szereg stanów quasi - stacjonarnych, w każdej chwili t bardzo bliskich stanowi stacjonarnemu α, oczywiści odpowiadającemu zawsze konfiguracji jąder R₁(t), R₂(t)... itp. Stan stacjonarny może, ale nie musi, być stanem podstawowym układu elektronów. Efektywna energia potencjalna ruchu jąder w przybliżeniu Borna - Oppenheimera dana jest sumą energii kolumbowskiego odpychania jądro - jądro i energii stanu stacjonarnego chmury elektronowej przy zadanej konfiguracji jąder E _eα Dla cząsteczki dwuatomowej wyrażenie to ma postać:

Zmiany odległości pomiędzy jądrami powodują zmiany kształtu chmury np. wydłuża się lub skraca, stale dopasowując do ich położeń. Jeżeli jądra poruszają się harmonicznie to i chmura periodycznie zmienia swój kształt z tą samą częstością.

ZAGADNIENIE 23

TYPY SIECI KRYSTALICZNYCH.

Typy sieci bravesowskich

Typ sieci	Parametry komórki podstawowej	Bryła geometryczna komórki podstawowej
Trójskośny	a≠b≠c α≠β≠γ	Graniastosłup
Jednoskośny	a≠b≠c α=β=90º≠γ	Graniastosłup prosty
Rombowy	a≠b≠c α=β=γ=90˚	Graniastosłup prosty o podstawie prostokąta
Tetragonalny	a=b≠c α=β=γ=90˚	Graniastosłup prawidłowy
Heksagonalny	a=b≠c α=β=90˚ γ=120˚	Graniastosłup prosty o podstawie rombu
Regularny	a=b=c α=β=γ=90˚	Sześcian

ZAGADNIENIE 27

DOZWOLONE WARTOŚCI ENERGII W KRYSZTALE, NIECIĄGŁOŚCI FUNKCJI E(k), STREFY BRILLOUINA.

Wektory G wyznaczają sieć przestrzenną w przestrzeni o wymiarach odwrotności długości (m^-1); sieć tę nazywamy siecią odwrotna. Sieć odwrotna jest zawsze siecią Bravais'go (bez bazy) i zależy tylko od sieci Bravais'go kryształu. Dlatego sieć odwrotna struktury diamentu jest taka sama jak sieć odwrotna struktury kubicznej centrowanej na ścianach.

Podobnie jak w sieci prostej, tak i w sieci odwrotnej można wybrać komórkę prymitywną. Taką komórkę nazywamy strefą Brillouina. Istnieje jednak zwyczaj, aby nie wybierać jej po prostu w kształcie równoległościanu, jak to robiliśmy do tej pory. Robi się to na ogół tak, że przeprowadza się płaszczyzny symetralne odcinków łączących zerowy punkt sieci odwrotnej z punktami sąsiednimi (pierwszymi i dalszymi sąsiadami). Płaszczyzny te wycinają wokół punktu zerowego pewną bryłę, której symetrie na ogół lepiej oddają symetrie sieci niż komórka wybierana w zwykły sposób. Dwa sposoby wybierania komórek - prymitywnej i strefy Brillouina używanej zwyczajowo - przedstawia dla sieci dwuwymiarowej poniższy rysunek. Porównanie ze sobą różnic zakreskowanych obszarów pokazuje natychmiast, że powierzchnie obu figur są jednakowe. Podobnie dowodzi się dla sieci przestrzennej, ze komórki wybrane na oba sposoby maja te samą objętość.

ZAGADNIENIE 36

ODDZIAŁYWANIE KRYSZTAŁÓW JONOWYCH Z FALAMI ELEKTROMAGNETYCZNYMI - JEDNOWYMIAROWY MODEL KLASYCZNY.

ZAGADNIENIE 50

RÓWNANIE FALOWE I JEGO ROZWIĄZANIA (FALA PŁASKA, PRĘDKOŚĆ FALI I JEJ ZALEŻNOŚĆ OD WŁASNOŚCI OŚRODKA)

Równanie fali płaskiej w izotropowym ośrodku jednorodnym - szczególny przypadek równania falowego.

ZAGADNIENIE 51

WŁASNOŚCI FAL ELEKTROMAGNETYCZNYCH (RODZAJE FAL, ZWIĄZEK POMIĘDZY POLEM E I M ENERGIA I NATĘŻENIE FALI

Energia fali - różnica energii w stanie zaburzonym i niezaburzonym w określonym obszarze ośrodka.

Natężenie fali - średnia energia przenoszona w jednostce czasu przez powierzchnię jednostkową, prostopadłą do kierunku propagacji.

Rodzaje fal.

Fale kuliste (Huggonsa) - teoretycznie wszystkie punkty czoła fali można uważać za źródła nowych fal.

Fale płaskie

Fale poprzeczne

Fale elektromagnetyczne opisane i udowodnione są poprzez równania Maxwella. Określają one zachowanie się w czasie i przestrzeni wektorów natężenia pola elektrycznego
i magnetycznego
:

- wektor indukcji magnetycznej.

- wektor indukcji elektrycznej.

1

1

---