Laboratorium z fizyki Piotr Pazdan
ćwiczenie nr 1. Inżynieria Œrodowiska
Wyznaczanie momentu bezwładnoœci i sprawdzenie twierdzenia Steinera.
1. Cel ćwiczenia:
- okreœlenie zależnoœci okresu drgań wahadła od momentu bezwładnoœci;
- doœwiadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera;
- wyznaczanie momentu bezwładnoœci ciał względem osi przechodzącej przez œrodek masy;
2. Podstawowe wzory i twierdzenia:
Fizyczny sens momentu bezwładnosci można wyprowadzić z analizy drugiej zasady dynamiki dla ruchu obrotowego w odniesieniu do zasad dynamiki Newtona. Równanie 
okreœla moment siły jako iloczyn momentu bezwładnoœci i przyspieszenia kątowego. Wprowadzenie pojęcia momentu bezwładnoœci jest uzasadnione ze względu na różne prędkoœci liniowe ( przy stałej prędkoœci kątowej ) elementów masy oddalonych o r od punktu obrotu danego ciała
I = 
dm
W ruchu harmonicznym rozwiązaniem równania całkowego: 
= - 
;
m - masa ciała;
g - przyspieszenie ziemskie;
d - odległoœć punktu obrotu ciała od œrodka ciężkoœci;
- kąt okreœlający odchylenie od osi pionowej;
I - moment bezwładnoœci;
jest funkcja: = 0 sin (t + 0 ) ; = 
.
Ruch ten charakteryzuje się powtarzalnoœcią okreœlonych wartoœci fizycznych opisujących ten ruch lub stan, a najkrótszy czas po którym powtarzają się wszystkie wartoœci charakteryzujące drganie nazywamy okresem:
T = 
= 2 * 
; - z czego wynika proporcjonalna zależnoœć okresu drgań od momentu bezwładnoœci.
Ze wzoru tego można wyliczyć także moment bezwładnoœci ciała względem osi obrotu:
I = 
, jednak w praktyce często przydatna jest znajomoœć momentu bezwładnoœci względem osi przechodącej przez œrodek ciężkoœci ciała. W takim przypadku można posłużyć się prawem Steinera:
I - I0 = md2 ; I - moment bezwładnoœci wzg. osi obrotu;
I0 - moment bezwładnoœci wzg. osi œrodkowej;
Rozwinięta postać prawa Steinera pozwala wyliczyć różnicę momentów wzg. osi oddalonych o d1 i d2 od œrodka ciężkoœci ciała:
I2 - I1 = m(d22 - d12) co po podstawieniu daje:
T22 g d2 - 42 d22 = T12 g d1 - 42 d12 = const = C.
Stała C daje możliwoœć wyliczenia ( na podstawie doœwiadczalnego wyznaczenia różnicy I2 - I1 ) momentu bezwładnoœci względem osi przechodzącej przez œrodek ciężkoœci:
I 0 = 
C.
3. Pomiary i przebieg ćwiczenia:
3.1. W pierwszym etapie zajmujemy się badaniem zależnoœci okresu drgań wahadła fizycznego od momentu bezwładnoœci. W tym celu wyznaczamy okres wahania ( na podstawie 100 drgań ) metalowej tarczy zmieniając odległoœć od osi obrotu do œrodka ciężkoœci metalowej tarczy o masie:
MT = 1064.42 g
WYNIKI:
Tabelka pomiarów:
i := 1..3;
di [ cm ] |
t1 [s] |
t2 [s] |
t3 [s] |
tœr [s] |
Ti [s] |
7.475 |
70 |
69 |
69.2 |
69.4 |
0.694 |
5.005 |
69 |
68.2 |
69.2 |
68.8 |
0.688 |
2.525 |
77.8 |
78 |
77.6 |
77.8 |
0.778 |
Objaœnienia do tabelki:
- d - odległoœć osi obrotu od œrodka ciężkoœci tarczy;
- t - czas wykonania 100 drgań;
- T - okres drgań tarczy T = t/100;
Obliczenia przykładowe:
C = T2 g d - 42 d2
C1 = (0.694)2 * 9.8066 * 0.07475 - 4 * (3.141592654)2 * (0.07475)2 = 0.1325
C = [ s2 * m/s2 * m - m2 ] = [ m2 ]
C = 2 d * [ T g T + 42 d ]
C1 = 2 * 0.07475 * [ 0.694 * 9.8066 * 0.1*10 -2 + 4 * (3.141592654)2 * 0.00001) = 0.001
T = 0.1 * 10 -2 s
d = 0.01 mm
I = 
;
I1 = [(0.694)2 * 1.06442 * 9,8066 * 0.07475] / [ 4 * (3.131592654)2 = 9.5192 * 10-3
Tabelka wyników:
i |
Ti [s] |
di [ m ] |
Ii [kg m2] |
Ci [m2] |
Ci [m2] |
1 |
0.694 |
0.07475 |
9.5192*10-3 |
0.1325 |
0.001 |
2 |
0.688 |
0.05005 |
6.2640*10-3 |
0.1334 |
7.149*10-4 |
3 |
0.778 |
0.02525 |
4.0410*10-3 |
0.1247 |
4.052*10-4 |
Objaœnienia do tabelki:
T - okres drgań dla danej odległoœci d;
d - odległoœć osi obrotu od œrodka ciężkoœci;
I - moment bezwładnoœci względem osi obrotu w odległoœci d od œrodka ciężkoœci
C - stała dla danego T ,d;
- wyznaczanie stałej C i błędu względnego:
C = 
= 0.1302 m2;
C = 
= 2.1382 * 10 -3
- wyznaczanie momentu bezwładnoœci i jego błędu względem osi œrodkowej :
I0 = 
= 
= 3.510585 * 10-3 kg m2
M = 0.1 * 10-3
I0 = 1/(42) * ( MT * C + C * M) = 5.798 * 10 -5
3.2. Doœwiadczalne sprawdzenie prawa Steinera.
Wyznaczamy moment bezwładnoœci dla pierœcienia:
Mp = 222 g = 0.222 kg
M = 0.1 * 10-3 kg
R = 5.975 cm = 0.05975 m
r = 5.225 cm = 0.05225 m
wzgędem osi obrotu oddalonej o d = 0.05225 m od œrodka ciężkoœci pierœcienia:
Tabelka pomiarów:
i |
ti [s] |
tœr [s] |
T [s] |
1 |
67.6 |
|
|
2 |
67.3 |
67.3 |
0.673 |
3 |
67 |
|
|
Wyniki:
- liczenie momentu bezwładnoœci wzgędem osi O:
I = 
= 
= 1.305 * 10-3 kg m2
I = T* 
( 2M0 * d * T + t * d * M0 + T * M0 * d ) = 4.716 * 10-6 kg m2
- mając obliczony moment bezwładnoœci wzg. osi O możemy korzystając z prawa Steinera obliczyć moment bezwładnoœci względem osi œrodkowej:
I0 = I - md2 = 1.305 * 10-3 - (0.222 * 2.7300 * 10-3 ) = 6.9894 * 10-4 kg m2
- ze wzoru tablicowego I01 = 
M0 * [ r2 + R2 ] = 6.9931 * 10-4 kg m2
- z błędem I01 = (1/2) * M0 ( r2 + R2 ) + M0 ( r*d + R*d ) = 5.636 * 10-7
- z czego obliczymy okreœlamy dokładnoœć pomiarów: ((I01 - I0 )/ I01 )* 100% = 0.053 %
Wnioski:
Charakterystyka momentu bezwładnoœci przeprowadzona w ćwiczeniu nr 8 ( częœć pierwsza ) wskazuje na zależnoœć między badanym momentem, a okresem drgań metalowej tarczy, którego wartoœć wiąże się z odległoœcią osi obrotu badanego ciała od œrodka ciężkoœci. Poszczególne wartoœci momentu maleją wraz ze wzrostem okresu T i zmniejszeniem odległoœci osi obrotu od osi œrodkowej.
Uzasadnienie zmian wartoœci momentu bezwładnoœci leży w definicji okreœlającej I jako całkę kwadratu odległoœci r po masie m. Zależnoœć momentu i odległoœci jest więc wprost proporcjonalna, co dokładnie okreœla wzór przedstawiony we wstępie teoretycznym. Œcisłe zależnoœci między okresem T, a odległoœcią d i momentem bezwaładnoœci I dały w efekcie możliwoœć wyprowadzenia pewnej wielkoœci C = const (dla każdego d i odpowiadającego mu T) która pozwala wyliczyc moment bezwładnoœci wzg. osi œrodkowej. W naszych pomiarach teoria ta potwierdziła sie ( z niewielkiemi odsępstwami zniwelowanymi rachunkiem błędów ), co umożliwiło otrzymanie bardzo dokładnej wartoœci momentu bezwładnoœci tarczy metalowej, względem osi przechodzącej przez œrodek ciężkoœci.
W drugiej częœci ćwiczenia zajeliœmy się sprawdzaniem prawa Steinera. Wyznaczenie momentu bezwładnoœci pierœcienia wzg osi oddalonej o odległoœć d od œrodka ciężkoœci dało ( zgodnie ze sprawdzanym prawem ) możliwoœć wyznaczenia I0 ( wzg. osi œrodkowej ). Nasze empiryczne wyniki po porównaniu z wynikiem ustalonym na podstawie wzoru tablicowego okazały się poprawne, czym udowodniliœmy słusznoœć prawa Steinera.
Wyszukiwarka