1. Macierz, działania algebraiczne

Macierzą nazywamy tablicę liczb postaci:

jest to macierz o m wierszach i n kolumnach

A=[ a_ij]_mxn

Rodzaje macierzy:

1) diagonalna - (kw) pod i nad przekątna musza być same 0

2) skalarna - macierz diagonalna w której wszystkie elementy na gł. przekątnej są sobie równe

3) jednostkowa - macierz diagonalna i szczególny przyp. skalarnej z tym że na gł. przekątnej znajdują się same 1.

4) zerowa - wszystkie elementy są 0

5) trójkątna - rozróżniamy górno- i dolnotrójkątną (w macierzy kwadratowej!!!) poniżej lub powyżej przekątnej 0

Działania na macierzach:

1. TRANSPOZYCJA - zapisujemy kolumny jako wiersze lub wiersze jako kolumny

2. DODAWANIE - macierze muszą być jednakowych rozmiarów : A _mxm+ B _mxm = C _mxm ⇔ c_ij = a _ij + b _ij

- jest przemienne

- jest łączne

Analogicznie wykonuje się odejmowanie.

3. MNOŻENIE PRZEZ SKALAR - mnożymy każdy element macierzy przez skalar

- α(β•A) = (α•β)A

- (α+β)A = αA+βA

- α(A+B) = αA+αB

4. MNOŻENIE MACIERZY - jeżeli liczba kolumn macierzy A = liczbie wierszy macierzy B, to iloczynem AB macierzy A_mxp przez macierz B_pxn nazywamy taką macierz C_mxn której elementy są określone wzorem:

c_ij = a_i1b_i1+ a_i2b_i2+…+ a_ipb_pj

Wiersze 1 macierzy mnożymy przez kolumny 2 macierzy.

- nie jest przemienne!!!

- αAB = AαB

- (A+B)C = AC + BC

- C(A+B) = CA + CB

- IEA = A

2. wyznacznik macierzy, obliczanie

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A=[a_ij] stopnia n nazywamy liczbę A lub det A.

Wyznacznik zależy od stopnia macierzy:

1) A=[a₁₁] detA= a₁₁

2) B=  b₁₁ b₁₂  detB = b₁₁ •b₂₂ - b₁₂ •b₂₁

 b₂₁ b₂₂

3) Macierze stopnia 3 - Metoda Sarrusa

1.przepisujemy 2 pierwsze wiersze pod wyznacznikiem

2.tworzymy 6 składników sumy

3.dodajemy 3 kolejne od drugie strony (z minusem)

4) Macierze stopnia 4 i wyższego - Rozwinięcie Laplace'a

Pojęcie MINORA: minorem nazywamy wyznacznik stopnia o 1 mniej otrzymany przez skreślenie dowolnie wybranej kolumny i dowolnego wiersza.

Wszystkie elementy wybranego wiersza mnożymy przez minory i (-1)^i+j

3. macierz odwrotna, jej wyznaczenie

Macierzą odwrotną A^-1 do macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy macierz, dla której prawdziwa jest równość :

A^-1• A = A• A^-1= IE

Gdzie IE jest macierzą jednostkową stopnia n.

1)Metoda operacji elementarnych na wierszach macierzy

[AIE] ∼ [IEB] - macierz B jest macierzą odwrotną macierzy A

2)Metoda dopełnień algebraicznych

Macierz odwrotna do danej macierzy jest równa transponowanej macierzy dopełnień algebraicznych pomnożonej przez odwrotność wyznacznika:

A^-1= 1/ detA • (A^*)^T

Dopełnienie algebraiczne dowolnego el. macierzy (A_ij) jest równe pomnożonemu minorowi M_ij (-1)^i+j

4. rząd macierzy i jego wyznaczanie

Rzędem macierzy nazywamy najwyższy stopień niezerowego wyznacznika wyjętego z tej macierzy.

Wyznaczenie rzędu macierzy odbywa się metodą operacji elementarnych na wierszach i kolumnach macierzy. Doprowadzamy macierz do postaci schodkowej.

Rząd macierzy jest równy liczbie wierszy niezerowych postaci schodkowej macierzy.

5. układy równań liniowych, metody rozwiązywania

1) Metoda macierzowa

A•X=B, gdzie A-macierz współczynników (macierz układu)

X- wektor niewiadomych

B- wektor wyrazów wolnych

2) Układ Cramera

Ukł. równań liniowych którego macierz współczynników A jest kwadratową macierzą nieosobliwą (det≠0) nazywamy układem Cramera.

Stosuje się wzory Cramera:

x₁=W₁/W

x₂=W₂/W

x_j=W_j/W

3) Metoda eliminacji Gaussa

Opiera się na operacjach elementarnych na ukł. równań liniowych:

1.można przestawić ze soba dwa różne równania

2. można pomnożyć równanie obustronnie przez dowolną liczbę różną od 0

3.można dodać wielokrotność jednego równania do innego równania

4.można wykreślić równanie składające się z samych 0

A⁺ = [AB] ∼ IED , [ IED] ,  IE , [IE]

 00   0 

6. twierdzenie Kroneckera - Capellego

Orzeka o istnieniu i ewentualnej liczbie rozwiązań dowolnego układu równań.

1. Układ równań posiada jedno rozwiązanie jeśli R (A) = R(A⁺)=n, gdzie n= liczba niewiadomych (układ oznaczony)

2. Układ równań posiada nieskończenie wiele rozwiązań jeśli R (A) = R(A⁺)< n (układ nieoznaczony)

3. Układ równań nie posiada rozwiązań jeśli R(A) ≠ R(A⁺) (układ sprzeczny)

7. statyczny model przepływów międzygałęziowych

Gospodarka dzieli się na szereg gałęzi (np. hutnictwo, rolnictwo) których produkcje są powiązane między sobą. Każdy produkt wytworzony w jednej gałęzi jest w części przeznaczony na zużycie prod. Własnej gałęzi, jak tez na potrzeby prod. Innych gałęzi.. Zarządzanie całością gospodarki wymaga ułożenia bilansu gosp. narodowej , ile dana gałąź gosp. produkuje na rzecz pozostałych gałęzi itd.

Y₁ ,Y₂ , .…..Y_n - produkcja globalna

x_ik - oznacza tę część produkcji globalnej i-tej gałęzi (Y_i) która jest zużywana na potrzeby produkcyjne k-tej gałęzi - są to przepływy międzygałęziowe.

Nadwyżkę produkcji i-tej gałęzi która pozostaje na konsumpcję, eksport, czy na zwiększenie rezerw i zapasów nazywamy produktem końcowym i-tej gałęzi i oznaczamy y_i.

x₁₁ + x₁₂ + x₁₃ + y₁ = Y₁

x₂₁ + x₂₂ + x₂₃ + y₂ = Y₂

x₃₁ + x₃₂ + x₃₃ + y₃ = Y₃

Model LEONTIEFA

a_{ik =} x_ik / Y_k - techniczny współczynnik produkcji

Macierz A nazywamy macierzą technicznych współczynników produkcji lub macierzą współczynników kosztów.

Przekształcając wzór mamy : x_ik = a_ik •Y_k

Po podstawieniu do układu równań otrzymamy wzór :

MODEL LEONTIEFA

IE - A=L → (IE - A) • Y = y → L•Y=y

Macierz L nazywamy macierzą Leontiefa. Jest ona różnicą macierzy jednostkowej i macierzy technicznych współczynników produkcji.

8. Optymalne planowanie

Przypuśćmy, że funkcją celu zmiennych x₁ i x₂ jest :

z = c₁ x₁+ c₂ x₂ (c₁>0 ; c₂ >0)

a układ warunków ma postać:

a₁₁ x₁+ a₁₂ x₂ ≤ b₁

a₂₁ x₁+ a₂₂ x₂ ≤ b₂

gdzie a_ik >0 i b₁ , b₂ > 0 oraz x₁≥ 0 , x₂≥ 0

Chodzi o znalezienie wartości zmiennych decyzyjnych x₁ i x₂ takich aby spełniony był podany układ warunków i aby f. celu :

z = c₁ x₁+ c₂ x₂ przyjmowała wartość największą.

Oznaczając przez l₁ i l₂ proste o równaniach :

l₁ : a₁₁ x₁+ a₁₂ x₂ = b₁ , l₂ : a₂₁ x₁+ a₂₂ x₂ = b₂

to na płaszczyźnie O x₁x₂ nierówność a₁₁ x₁+ a₁₂ x₂ ≤ b₁ spełniają współrzędne wszystkich punktów płaszczyzny znajdujących się na lub pod prostą l₁.Analogicznie jest z drugą nierównością. Przyjmując jeszcze warunki brzegowe x₁≥ 0 , x₂≥ 0 otrzymujemy, że obszar rozwiązań dopuszczalnych tworzą punkty pierwszej ćwiartki układu współrzędnych leżące równocześnie pod prostymi l₁ i l₂ lub na nich. Jeśli w f. celu zmienia się z ,to równanie to przedstawia pęk prostych w postaci kierunkowej.

Im większe jest z tym wyżej położona jest odpowiednia prosta z pęku prostych równoległych. Najwyżej położona spośród nich prosta przedstawia rozwiązanie optymalne.

9. pojęcie funkcji i jej podstawowe właśności

Mówimy że f jest funkcją (odwzorowaniem) zbioru X w zbiór Y, jeżeli każdemu elementowi x zbioru X przyporządkowano dokładnie jeden element y ze zbioru Y.

Zbiór X- dziedzina funkcji : D f , a jego elementy x argumentami tej funkcji.

Przeciwdziedzina : R f

• Jeśli R f =Y to jest to odwzorowanie f : X→Y(odwzorowanie „na”) f : R→R

• Jeśli R f nie wyczerpuje całego zbioru Y to jest to odwzorowanie „w” (f : R→R)

1) f. różnowartościowa ⇔ ∀ x₁ x₂∈X zachodzi x₁ ≠ x₂⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

2) f. odwrotna f^—1 - jest odwzorowaniem „na”

- jest różnowartościowa

np. f(x)=x²

3) f. złożona h(x)=g(f(x)) np. sin²x

Monotoniczność:

Rosnąca ⇔∀ x₁ x₂∈X : x₁ < x₂⇒ f(x₁) < f(x₂)

Malejąca ⇔∀ x₁ x₂∈X : x₁ < x₂⇒ f(x₁) > f(x₂)

Nierosnąca ⇔∀ x₁ x₂∈X : x₁ < x₂⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

Niemalejąca ⇔∀ x₁ x₂∈X : x₁ < x₂⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

Stała ⇔ ∀x∈X : f(x)=a ; ∀x₁ x₂∈X f(x₁) = f(x₂)

f (x) okresowa ⇔ ∃ T>0 ze dla każdego x∈X zachodzi: x+T∈X i f(x+T)= f(x)

f (x) parzysta ⇔ ∀x∈X zachodzi -x∈X i f (-x)= f (x) (symetryczne względem osi OY)

f (x) nieparzysta ⇔ ∀x∈X zachodzi -x∈X i f (-x)= - f (x) (symetryczne względem p.(0;0)

f (x) ograniczona z góry ⇔ ∃ M∈R ∀x∈X : f (x)≤ M

f (x) ograniczona z dołu ⇔ ∃ m∈R ∀x∈X : f (x)≥ m

Funkcja jest f. ograniczoną jeśli jest ograniczona z góry i z dołu.

10. Wielomiany

W (x)= a_n xⁿ+ a_n-1 x^n-1+…+ a₁ x+a₀, gdzie n∈N

n- stopień wielomianu; a_n współczynnik wielomianu; a₀ wyraz wolny wielomianu

Może mieć nieograniczoną liczbę miejsc zerowych

11. Funkcja wymierna

Jest to iloraz wielomianów.

f(x)= W(x) / G(x), gdzie W(x) i G(x) wielomiany i G(x) ≠ 0

12. funkcja potęgowa

f(x) =xⁿ

dziedzina f. potęgowej zależy od wykładnika

13. funkcja wykładnicza

f(x) =a^x , a>0 i a≠1

• jeśli a >1 t f. jest rosnąca w całej swej dziedzinie

• jeśli a ∈ (0;1) to f. jest malejąca w całej swej dziedzinie

• f. logarytmiczna jest różnowartościowa

14. Funkcja logarytmiczna

f(x) = log_a x , a>0 a≠1

• jeśli a >1 t f. jest rosnąca w całej swej dziedzinie

• jeśli a ∈ (0;1) to f. jest malejąca w całej swej dziedzinie

• f. logarytmiczna jest różnowartościowa

Odwrotną do funkcji logarytmicznej jest funkcja wykładnicza.

15. funkcje trygonometryczne

f(x)=sin x, f(x)=cos x → x∈R

f(x)=tg x → x ≠Π/2 + kΠ, gdzie k∈C

f(x)=ctg x → x ≠kΠ, gdzie k∈C

16. funkcje cyklometryczne

Są to funkcje odwrotne do trygonometrycznych.

1) f(x)= arc sin x X=<-Π/2; Π/2>

Y=<-1;1>

2) f(x)=arc cos x X=<0; Π>

Y=<-1;1>

3) f(x)=arc tg x X=<-Π/2; Π/2>

Y=<-∞;+∞>

4) f(x)=arc ctg x X=<0; Π>

Y=<-∞;+∞>

17. Ciągi liczbowe

Ciągiem nazywamy każdą funkcję określona na zbiorze liczb naturalnych N lub nieskończonym jego podzbiorze.

a_n= f(n)

Monotoniczność ciągów:

Rosnący ∀n∈N a_n+1 > a_n

Malejący ∀n∈N a_n+1 < a_n

Niemalejący ∀n∈N a_n+1 ≥ a_n

Nierosnący ∀n∈N a_n+1 ≤ a_n

18.Granica ciągu

Mówimy że ciąg liczbowy {a_n} ma właściwą granicę g, co zapisujemy : (n→∞ ) lim a_n = g

jeżeli: ∀_ε>0 ∃ n_ε ∀n> n_ε : a_n∈U (g,ε)

19. Granica funkcji

Funkcja f(x) posiada granicę właściwą g przy x→ x_o wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego ciągu x_n należącego do sąsiedztwa S(x_o;δ) i zbieżnego do x_o ciąg f(x_n) jest zbieżny do g . (lim f(x_n)=g)

20. ciągłość funkcji

Funkcja f(x) jest ciągła w p. x_o wtedy i tylko wtedy gdy

(x→x_o) lim f(x)=f(x_o) i :

x_o∈Df

(x→x_o-) lim f(x)= (x→x_o+) lim f(x)= f(x_o)

Def. Punkt nieciągłości, nazywamy punktem nieciągłości pierwszego rodzaju jeżeli istnieje skończona granica jednostronna.

Def. Punkt nieciągłości, nazywamy punktem nieciągłości drugiego rodzaju jeżeli choć jedna z granic jednostronnych nie istnieje lub jest granicą niewłaściwą.

Usuwalne: granica lew. = gr. praw. ≠ f (x_o)

Nieusuwalne: gr. lew. ≠ gr. praw. Bądź jedna lub obie są gr. niewłaściwymi.

21. pochodna funkcji i jej obliczanie

Jeśli istnieje granica ciągu ilorazów różnicowych przy h→0 g≠⁺_- ∞ to jest to pochodna funkcji w p. x_o

(h→0) lim f (x_o+h) - f (x_o)=g

h

Pochodna istnieje jeśli istnieje granica lewo- i prawostronna.

Można liczyć pochodną z definicji i z wzorów.

22. różniczka funkcji i jej zastosowanie

Różniczką funkcji w p. x_o nazywamy iloczyn f ` (x_o) • h i oznaczamy symbolem d f(x_o):

d f(x_o)= f ` (x_o) • h

h=dx

d f(x_o)= f ` (x_o) • dx

d f(x_o) = f ` (x_o)

dx

Różniczka jest wykorzystywana do liczenia przybliżonych wartości funkcji.

f (x_o)

f (x_o+h)= f (x_o)+ Δ f (x_o)

f (x_o+h)≈ f (x_o)+d f (x_o)]

23.Twierdzenie rolle'a i lagrange'a

Twierdzenie Rolle'a:

Jeżeli funkcja jest ciągła w <a,b>, różniczkowalna w (a,b), oraz f(a) = f(b), to istnieje c ∈ (a,b) taki, że f ` (c) = 0.

Twierdzenie Lagrange'a:

Jeżeli funkcja jest ciągła w <a,b>, różniczkowalna w (a,b), to istnieje c ∈ (a,b), taki, że:

24. twierdzenie de l'hospitala i przykłady zastosowań

Stosujemy tylko kiedy występuje symbol nieoznaczony

Tw. (Z: - założenie)

są określone i różniczkowalne w

sąsiedztwie punktu x₀ (Sx₀).

Teza (T) Istnieje

Przykład:

Przykład:

25. ekstremum

Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum lokalnego f(x)w p. x₀ jest zerowanie się pierwszej pochodnej: np. f(x)=x³ : f` (x)=2x²: f(0)=0

Warunkiem wystarczającym istnienia ekstremum lokalnego f(x)w p. x₀ jest zmiana znaku pochodne w tym punkcie.

Jeśli 1 pochodna zmienia znak :+ → - posiada maximum

- →+ posiada minimum

26. wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia

Funkcja jest wypukła jeśli :

- jej wykres leży nad styczną

- 2 pochodna jest dodatnia (+)

Funkcja jest wklęsła jeśli:

- jej wykres leży pod styczną

- 2 pochodna jest ujemna (-)

Punkt przegięcia jest wtedy, gdy wykres przechodzi z wklęsłego na wypukły i odwrotnie.

Punkt x₀ jest punktem przegięcia wtedy jeśli 2 pochodna zmienia znak.

27. asymptoty wykresu funkcji

Pionowe:

lewostronna

prawostronna

Poziome:

lewostronna (x→-∞) lim f(x)= g≠⁺_- ∞

prawostronna (x→+∞) lim f(x)= g≠⁺_- ∞

Ukośne:

Równanie asymptoty : (x→∞) lim [f(x) - (mx+b)]=0

Muszą być spełnione następujące warunki:

(x→⁺_- ∞) lim f(x)/x = m≠⁺_- ∞

(x→⁺_- ∞) lim [f(x)-mx]=b≠⁺_- ∞

28. funkcja pierwotna i całka nieoznaczona

Def: Funkcją pierwotną danej funkcji f(x) na przedziale X nazywamy każdą F(x)której pochodna F `(x)jest równa f(x)

Funkcja F(x) = sinx jest funkcją pierwotną funkcji f(x)=-cosx.

Każdą f(x) określoną na przedziale X posiadającą F(x)nazywamy funkcją całkowalną w sensie Newtona na tym przedziale.

Def: Jeśli mamy f(x) określoną na przedziale X to całką nieoznaczoną f(x) na przedziale X nazywamy zbiór wszystkich f. pierwotnych i tylko tych funkcji:

29. metody całkowania

Całkowanie przez podstawianie:

Jeżeli funkcja t=ϕ(x) jest różniczkowalna w przedziale (α,β) i odwzorowuje ten przedział na przedział (a,b), w którym funkcja f(t)jest całkowalna, to zachodzi wzór:

1) ∫ f[g(x)]•g'(x)dx= g(x)=t = ∫ f(

g'(x)dx=dt

2) ∫ f(x)dx= x=h(t) =∫ f [h(t)]h'(t)dt

dx= h'(t)dt

Całkowanie przez części:

∫ f(x) •g'(x)dx=f(x) •g(x) - ∫ f '(x)g(x)dx

30. całka oznaczona riemana

Def: Jeśli dla każdego normalnego ciągu podziałów {x_n} (lim dn = 0) przedziału <a,b> istnieje skończona granica

n→∞

ciągu sum całkowych niezależna od wyboru punktów pośrednich, to granicę tę nazywamy całką oznaczoną w sensie Riemanna funkcji f(x)

Każda funkcja ciągła w przedziale <a,b> jest całkowalna, posiada całkę oznaczoną.

Każda f. ograniczona przedziałem <a,b> i posiadająca skończoną liczbę nieciągłości, jest również całkowalna.

Całka oznaczona jest polem powierzchni ograniczonym z jednej strony wykresem funkcji, a z drugiej osią OX.

Własności

31.obliczanie całek oznaczonych - twierdzenie newtona - leibnitza

Pozwala na obliczanie całek oznaczonych.

Jeśli F(x) jest dowolną f. pierwotną funkcji f(x) to całka oznaczona f(x) w przedziale <a,b> jest równa różnicy wartości f. pierwotnej w p. b i wart. f. pierwotnej w p. a: F (b) - F (a)

32. Całki niewłaściwe

Całką niewłaściwą rodzaju I nazywamy całkę oznaczoną w której jedna bądź dwie granice całkowania są niewłaściwe czyli równe +∞ lub -∞

Ta całka niewłaściwa jest zbieżna jeżeli ta granica istnieje i jest skończona. W pozostałych przypadkach ta całka jest rozbieżna.

Całki niewłaściwe rodzaju II - wartość funkcji może dążyć do ∞ .Jeśli w granicach całkowania (a,b) całka nie jest ograniczona, to całkę nazywamy całką niewłaściwą rodzaju II.

33.Funkcja dwóch zmiennych

Def: Zbiór wszystkich uporządkowanych par (a,b) : [(a,b)=(b,a)] ⇔ [a=b], których poprzednik należy do zbioru A, zaś następnik do zbioru B, nazywamy iloczynem kartezjańskim zbiorów A, B i oznaczamy AxB:

AxB:={(a,b) : a∈A i b∈B}

Iloczyn kartezjański nie jest przemienny : AxB ≠ BxA

Def: Zbiór punktów nazywamy zbiorem płaskim, jeżeli wszystkie jego punkty leżą na płaszczyźnie

Def: Funkcję f której dziedziną D f jest zbiór płaski a przeciwdziedziną R f podzbiór liczb rzeczywistych nazywamy funkcją dwóch zmiennych.

F : Df ⊆ R²→ Rf⊆ R

z = f (x, y), (x, y) ∈D f gdzie z - zmienna zależna, x, y - zmienne niezależne

Def: Obszarem geometrycznym lub wykresem funkcji z = f (x, y) określonym w zbiorze D f , nazywamy zbiór wszystkich punktów o współrzędnych (x, y, z), gdzie x, y, z są współrzędnymi punktów zbioru D f , a z = f (x, y).

34. granica funkcji dwóch zmiennych

Def: Definicja Heinego Jeżeli każdej liczbie naturalnej n został w sposób jednoznaczny przyporządkowany punkt (x_n , y_n) ∈D ⊂ R, to mówimy, że w zbiorze D został określony ciąg punktów {(x_n , y_n)}.

Def: Liczbę g nazywamy granicą funkcji f (x, y) w punkcie (x₀ , y₀) i piszemy:

lim f (x, y) = g lub lim f (x, y) = g

(x,y)→( x₀ , y₀) x→ x₀ y→, y₀

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu punktów {( x_n , y_n)} o wyrazach należących do U(x₀ , y₀) i różnych od (x₀ , y₀) odpowiedni ciąg wartości funkcji {f(x_n , y_n)} dąży do liczby g.

Podobnie jest w przypadku granic niewłaściwych +∞ lub -∞:

Def: Jeżeli dla każdego ciągu {(x_n , y_n)} punktów spełniających warunki podane w def. Heinego granicy właściwej, odpowiadający mu ciąg wartości funkcji {f(x_n , y_n)} jest rozbieżny do +∞ (-∞), to mówimy, że rozważana funkcja ma w p. (x₀ , y₀) granicę niewłaściwą +∞ (-∞) i piszemy:

lim f (x, y) = +∞ (-∞)

(x,y)→( x₀ , y₀)

Def: Funkcję f (x, y) nazywamy ciągłą w punkcie (x₀ , y₀) jeżeli ma w tym punkcie granicą równą swojej wartości, tzn. jeśli : lim f (x, y) = f (x₀, y₀)

(x,y)→( x₀ , y₀)

35. pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych

Def: Jeżeli istnieje granica właściwa :

lim f(x₀+Δx, y₀) - f(x₀ , y₀)

Δx→0 Δx

to granicą nazywamy pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f(x, y) względem zmiennej x w p. (x₀ , y₀) i oznaczamy jednym z symboli:

f'_x (x₀ , y₀) lub ∂f (x₀ , y₀)

∂x

Def: Jeżeli istnieje granica właściwa:

lim f(x₀, y₀+Δy) - f(x₀ , y₀)

Δy→0 Δy

to granicę tę nazywamy pochodną cząstkową rzędu pierwszego funkcji f(x, y) względem zmiennej y w p. (x₀ , y₀) i oznaczamy jednym z symboli:

f'_y (x₀ , y₀) lub ∂f (x₀ , y₀)

∂y

Def: Pochodne cząstkowe pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego funkcji f(x, y) nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego tej funkcji:

36. Macierze operacje elementarne.

Operacją elementarną na macierzy nazywamy każde z następujących przekształceń:

-przestawienie (zamiana miejscami) dwóch dowolnych wierszy (kolumn)

-dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) odpowiednich elementów innego wiersza (kolumny), pomnożonych przez dowolną liczbę

-pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez dowolną liczbę różną od zera

37. Rozwinięcie Laplace'a

Wartość wyznacznika macierzy kwadratowej A jest równa sumie iloczynów elementów pewnego wiersza pomnożonych przez dopełnienia algebraiczne tego wiersza czyli:

Gdzie i oznacza numer dowolnie wybranego wiesza. Rozwinięć dokonujemy względem linii zawierających jak najwięcej elementów zerowych.

38. Układ równań liniowych. Układ jednorodny i niejednorodny, zapis macierzowy układu. Macierz rozsz.

Układem m równań liniowych o n niewiadomych x₁, x₂…. , nazywamy układem równań o postaci:

Układ jednorodny

Układ równań liniowych nazywamy jednorodnym, gdy wszystkie wyrazy wolne tego układu są równe zero.

Zapis macierzowy

Macierz

nazywa się macierzą współczynników lub macierzą układu

Macierz rozszerzona

powstaje z macierzy głównej przez dołączenie do niej kolumny wyrazów wolnych

ciąg dalszy pkt. 16 Funkcje cyklometryczne

Ciąg dalszy pkt. 13 Funkcja wykładnicza

Ciąg dalszy pkt. 14 Funkcja logarytmiczna

= F (b) - F (a)

---