Zadanie 1.

Wykonać następujące działania na liczbach zespolonych:

1. 
   

Najprościej zadanie można rozwiązać wykonując kolejno działania w liczniku i mianowniku:

Można również zadanie rozwiązać mnożąc i dzieląc podane wyrażenie przez liczby sprzężone do liczb występujących w mianowniku ułamka:

2. 
   

Do rozwiązania wykorzystano znane z algebry elementarnej zależności:

Zadanie 2.

Wykonać następujące działania na liczbach zespolonych:

1. 
   

Korzystając z uwag do zadania 1 a) przeprowadza się odpowiednie obliczenia:

lub:

2. 
   

Wykorzystano podstawowe wzory algebraiczne podane w zadaniu 1 b).

Zadanie 3.

Obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej:

z = 1 - 3i

Zadanie może być rozwiązane na dwa sposoby.

1. Pierwszy z nich polega na zastosowaniu postaci trygonometryczne liczby zespolonej i wzoru Moivre'a:

1 - 3i = r(cosϕ +isinϕ)

gdzie:

r =

a więc kąt ϕ leży w IV ćwiartce płaszczyzny, czyli spełnia układ nierówności:

270° < ϕ < 360° - wobec czego:

sin(360° - ϕ) =
⇒ 360° - ϕ = 71,565051° ⇒ ϕ = 288,43495°

Wyżej obliczony kąt stanowi tzw. argument główny - wszystkich argumentów jest nieskończenie wiele i różnią się od siebie o okres funkcji sinus, czyli o 360°.

Można więc napisać:

1 - 3i =

Należy zwrócić uwagę na sposób zapisu argumentów odpowiednich funkcji - wyniki egzaminów i kolokwiów wykazują, że studenci nieprawidłowo stosują nawiasy.

Dalej można napisać:

gdzie:

i ostatecznie:

Ponieważ istnieją dwa pierwiastki 2-go stopnia, to pierwszy z nich dostaniemy dla k = 0, a drugi dla k = 1:

To kończy rozwiązanie matematyczne zadania - można jeszcze obliczyć je numerycznie:

sin144,21747° ≈ 0,584710

cos144,21747° ≈ -0,811242

sin324,21747° ≈ -0,584710

cos324,21747° ≈ = 0,811242

i

Sprawdzenie:

2. Druga metoda rozwiązania zadania polega na wykorzystaniu definicji pierwiastkowania jako funkcji odwrotnej do potęgowania i nie wymaga sprowadzania liczby do postaci trygonometrycznej.

Poszukiwana liczba (pierwiastek) posiada część rzeczywistą x i część urojoną y. Po podniesieniu stronami do kwadratu wyjściowej zależności otrzymuje się równanie:

Dwie liczby zespolone są równe wtedy i tylko wtedy, kiedy mają równe odpowiednio części rzeczywiste i urojone. Dostajemy więc układ równań:

Ponieważ liczba pierwiastkowana jest różna od zera (z ≠ 0), to i jej pierwiastek musi być różny od zera (
), a więc musi być
- obie części nie mogą być jednocześnie zerami. Przyjmując, że x ≠ 0 można z drugiego równania napisać:

(gdyby było x = 0 to zawsze można napisać
)

Podstawiając ostatnią wartość do pierwszego równania otrzymuje się:

Otrzymujemy więc tzw. równanie dwukwadratowe:

Po podstawieniu:

otrzymuje się „zwykłe” równanie kwadratowe:

Pierwszy pierwiastek (z₁) należy odrzucić ponieważ nie spełnia założenia wyjściowego (z > 0) i ostatecznie:

Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy:

Łącznie dostajemy więc aż 4 kombinacje pierwiastków - wybieramy tylko te które spełniają warunek, że ich iloczyn ma znak taki jaki ma współczynnik części urojonej liczby pierwiastkowanej (dowód na wykładzie), a więc ostatecznie:

Ostanie wyrażenie kończy matematyczne rozwiązanie zadania. Można je jeszcze obliczyć numerycznie:

czyli:

a więc identyczne jak przy rozwiązaniu poprzednią metodą.

Zadanie 4.

Obliczyć pierwiastek kwadratowy z liczby zespolonej:

z = 1 + 3i

Wykorzystamy (tym razem już bez komentarzy) sposób postępowania z zadania 3.

1. 1 + 3i = r(cosϕ +isinϕ)

gdzie:

r =

a więc kąt ϕ leży w I ćwiartce płaszczyzny, czyli spełnia układ nierówności:

0° < ϕ < 90° - wobec czego:

sinϕ =
⇒ ϕ = 71,56505°

1 + 3i =

gdzie:

i ostatecznie:

To kończy rozwiązanie matematyczne zadania - można jeszcze obliczyć je numerycznie:

sin35,78253° ≈ 0,584710

cos35,78253° ≈ 0,811242

sin215,78253° ≈ -0,584710

cos324,21747° ≈ =- 0,811242

i

Sprawdzenie:

2. 
   

Dostajemy więc układ równań:

Podstawiając ostatnią wartość do pierwszego równania otrzymuje się:

Po podstawieniu:

Pierwszy pierwiastek (z₁) należy odrzucić ponieważ nie spełnia założenia wyjściowego (z > 0) i ostatecznie:

Po podstawieniu do pierwszego równania otrzymujemy:

Ostatnie wyrażenie kończy matematyczne rozwiązanie zadania. Można je jeszcze obliczyć numerycznie:

czyli:

a więc identyczne jak przy rozwiązaniu poprzednią metodą.

Zadanie 5.

Zapisać w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną:

z = -1 - 2i

-1 - 2i = r(cosϕ +isinϕ)

gdzie:

r =
moduł liczby zespolonej

Argument główny liczby zespolonej jest więc kątem w III ćwiartce, czyli:

sin(180° - ϕ) = -0,894427 ⇒ 180° - ϕ = -63,434949° ⇒ ϕ = 243,434949°

Ostatecznie więc:

-1 - 2i =

Zadanie 6.

Zapisać w postaci trygonometrycznej liczbę zespoloną:

z = -1 + 2i

Komentarz w zadaniu 5:

-1 + 2i = r(cosϕ +isinϕ)

r =

Argument główny liczby zespolonej jest więc kątem w IV ćwiartce, czyli:

270° < ϕ < 360°

sin(360° - ϕ) = 0,894427 ⇒ 360° - ϕ = 63,434949° ⇒ ϕ = 296,565051°

Ostatecznie więc:

-1 + 2i =

Zadanie 7.

Obliczyć czwarty pierwiastek z liczby zespolonej:

z = 1 - i

1. Najprościej powyższe zadanie można rozwiązać, sprowadzając liczbę pierwiastkowaną do postaci trygonometrycznej i stosując wzór Moivre'a:

a więc argument główny liczby pierwiastkowanej (z) jest kątem w IV ćwiartce płaszczyzny, czyli spełnia układ nierówności:

270° < ϕ < 360°

sin(360° - ϕ) = -(-
) ⇒ sin(360° - ϕ) =
⇒ 360° - ϕ = 45° ⇒ ϕ = 315°

Ostatecznie więc:

Na podstawie wzoru Moivre'a:

a wiec pierwiastek jest liczbą zespoloną postaci:

w =

Istnieją 4 pierwiastki 4-go stopnia z liczby zespolonej - otrzymamy je wstawiając kolejno do powyższego wzoru k = 0, 1, 2, 3;

2. Możliwe jest również rozwiązanie oparte na definicji pierwiastka i nie wymagające sprowadzenia liczby pierwiastkowanej do postaci trygonometrycznej.

Musi być spełniony układ równań:

Z drugiego równania:

Po wstawieniu do pierwszego równania:

Wykonajmy podstawienie:

Wówczas otrzymamy równanie kwadratowe ze względu na t:

Tylko pierwiastek t₂ odpowiada założeniu wyjściowemu, a więc:

Po wstawieniu do pierwszego równania:

Podstawiamy:

i otrzymujemy równanie kwadratowe ze względu na u:

Obydwa pierwiastki są dodatnie, a więc spełniają założenie wyjściowe (u > 0) i ostatecznie:

Mamy więc 8 kombinacji dla pierwiastków:

Wszystkie te liczby zespolone spełniają na pewno równanie pierwsze, ponieważ z niego zostały wyprowadzone - należy więc sprawdzić, które spełniają również równanie drugie.

Jak widać znak iloczynu obu pierwiastków (xy) musi być taki jak znak różnicy (
).

I tak dla:

Ostatecznie więc, odrzucając rozwiązania nie spełniające drugiego równania oraz ponownie numerując pierwiastki otrzymuje się:

Otrzymuje się więc te same pierwiastki co w rozwiązaniu a) - należy jednak zauważyć, ze poprzednie rozwiązanie (a) jest dużo prostsze.

Zadanie 8.

Obliczyć czwarty pierwiastek z liczby zespolonej:

z = 1 + i

Komentarze wg zadania 8.

1. Najprościej powyższe zadanie można rozwiązać, sprowadzając liczbę pierwiastkowaną do postaci trygonometrycznej i stosując wzór Moivre'a:

a więc argument główny liczby pierwiastkowanej (z) jest kątem w I ćwiartce płaszczyzny, czyli spełnia układ nierówności:

0° < ϕ < 90°

sin ϕ =
⇒ ϕ = 45°

Ostatecznie więc:

Na podstawie wzoru Moivre'a:

a wiec pierwiastek jest liczbą zespoloną postaci:

w =

Istnieją 4 pierwiastki 4-go stopnia z liczby zespolonej - otrzymamy je wstawiając kolejno do powyższego wzoru k = 0, 1, 2, 3;

2. Możliwe jest również rozwiązanie oparte na definicji pierwiastka i nie wymagające sprowadzenia liczby pierwiastkowanej do postaci trygonometrycznej.

Musi być spełniony układ równań:

Z drugiego równania:

Po wstawieniu do pierwszego równania:

Wykonajmy podstawienie:

Wówczas otrzymamy równanie kwadratowe ze względu na t:

Tylko pierwiastek t₂ odpowiada założeniu wyjściowemu, a więc:

Po wstawieniu do pierwszego równania:

Podstawiamy:

i otrzymujemy równanie kwadratowe ze względu na u:

Obydwa pierwiastki są dodatnie, a więc spełniają założenie wyjściowe (u > 0) i ostatecznie:

Mamy więc 8 kombinacji dla pierwiastków:

Wszystkie te liczby zespolone spełniają na pewno równanie pierwsze, ponieważ z niego zostały wyprowadzone - należy więc sprawdzić, które spełniają również równanie drugie.

Jak widać znak iloczynu obu pierwiastków (xy) musi być taki jak znak różnicy (
).

I tak dla:

Ostatecznie więc, odrzucając rozwiązania nie spełniające drugiego równania oraz ponownie numerując pierwiastki otrzymuje się:

Otrzymuje się więc te same pierwiastki co w rozwiązaniu a) - należy jednak zauważyć, ze poprzednie rozwiązanie (a) jest dużo prostsze.

Zadanie 9.

Obliczyć pierwiastki równania kwadratowego:

Wyróżnik trójmianu kwadratowego:

Zadanie 10.

Obliczyć pierwiastki równania kwadratowego:

Wyróżnik trójmianu kwadratowego:

---