ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI:

 

Egzamin ze statystyki - I termin

grupa wykładowa prof. M. Rószkiewicz

 

Zestaw I

Zada 1.

Wśród 100 studentów SGH przeprowadzono bada na temat czasu przygotowywania się do egzaminu z matematyki. Otrzymano następujące wyniki:

Liczba dni	0	1	2	3	4	5
Liczba studentów	25	35	23	11	4	2

Na podstawie powyższych informacji:

1. a)      wyznacz i zinterpretuje trzeci kwartyl.

2. b)      za pomocą miar klasycznych oceń zróżnicowanie rozkładu liczby dni poświęconych na naukę matematyki.

Odp.:

a) Q₃ = 2 + interpretacja

b)

= 1,4

S­^2(x) = 1,44

S(x) = 1,2

V(x) = 0,86

+ interpretacja V(x)

 

Zada 2.

W pewnym dużym przedsiębiorstwie związanym z handlem międzynarodowym zbadano wiek pracowników (cecha X w latach) wyjeżdżających w ciągu roku do krajów UE i otrzymano wyniki:

Wiek pracownika	<20-30>	(30-40>	(40-50>	(50-60>	(60-80>
Liczba pracowników	20	38	28	15	8

1. a)      przedstaw graficznie dystrybuantę empiryczną badanej cechy.

2. b)      wyznacz i zinterpretuj wartość dystrybuanty empirycznej dla x = 40.

3. c)      Oblicz i zinterpretuj wartość mediany.

a) tablica rozkładu skumulowanego + wykres

b) G(40) = 0,58 + interpretacja

c) M(x) = 35,95 + interpretacja

 

Zada 3.

Czas jaki poświęcają studenci pewnej uczelni na pracę podczas wakacji ma rozkład normalny z parametrami 240,0 godzin i 32,0 godziny.

1. a)      oblicz i przedstaw graficznie prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrany student poświęca na pracę w wakacje między 224,0 godzin a 272 godzin.

2. b)      Jaka jest wiarygodność próby 16-elementowej, pobranej z populacji studentów, dla której średni czas poświęcony na pracę podczas wakacji będzie krótszy niż 248,0 godzin.

Odp.:

a) P(224< X < 272) = F_u (1) - F_u(-0,5) = 0,5328 + rysunek

b)
~ N(240 ; 8) P(
< 248) = F_u(1,0) = 0,8413

 

Zada 4.

a) Określ przy jakim poziomie ufności wyznaczono przedział dla frakcji (częstości) studentów popierających wybór nowego ministra w pewnym ministerstwie wiedząc, że na 1000 losowo wybranych studentów wybór ten poparło 20 studentów, oraz że otrzymano przedział o krańcach (0,01132 ; 0,02868).

b) Ilu studentów należałoby dolosować do próby aby przy zmienionych pozostałych czynnikach wpływających na precyzję oszacowania zmniejszyć maksymalny błąd szacunku (połowa przedziału ufności) czterokrotnie?

Odp.:

a) wzór na przedział ufności dla frakcji u_ၡ = 1,96 ၡ = 0,05

b)
Ⴎ
liczebność nowej próby = 16 000

dolosować 15 000

 

Zada 5.

Zbadano losowe próby 500 osób zamieszkałych w mieście oraz 1500 osób zamieszkałych na wsi ze względu na poparcie dla partii „Samopomoc”. W mieście frakcja zwolenników partii „Samopomoc” wyniosła 20%, na wsi zaś zadeklarowało poparcie 350 osób. Przy jakim poziomie istotności można uznać, ze partia „Samopomoc” cieszy się mniejszym poparciem w mieście niż na wsi?

Odp.:

H₀: p_M = p_W

H₁: p_M < p_W

 

		uobl. Ⴛ -1,55	Fu(-1,55) = 0,06	+ interpretacja

 

Zada 6.

Jeśli rozkłady wydatków na usługi w maju 200 losowo wybranych gospodarstw domowych emerytów oraz 100 losowo wybranych gospodarstw domowych rencistów kształtowały się następująco:

Wydatki w zł	do 10	(10 - 15 >	(15 - 20 >	(20 - 25>	(25 - 30 >	(30 - 35>
frakcja gospodarstw emerytów	0,05	0,19	0,41	0,21	0,09	0,05
frakcja gospodarstw rencistów	0,05	0,15	0,40	0,3	0,05	0,05

to czy można uznać, że oba rozkłady są identyczne?

Odp.:

H₀: (może być słowami)

H₁:

 

G1(x)	G2(x)	| G1(x)- G2(x)|
0,05	0,05	0,00
0,24	0,20	0,04
0,65	0,60	0,05	Ⴎ
0,86	0,90	0,04		Dla ၡ = 0,05 ၬၡ = 1,35
0,95	0,95	0,00		ma podstaw do odrzucenia H0
1,00	1,00	0,00

 

Zestaw II

Zada 1.

Wśród 100 studentów UW przeprowadzono bada na temat czasu przygotowywania się do egzaminu z ekonomii. Otrzymano następujące wyniki:

Liczba dni	0	1	2	3	4
Liczba studentów	37	58	88	50	17

Na podstawie powyższych informacji:

1. a)      wyznacz i zinterpretuje drugi kwartyl.

2. b)      za pomocą miar klasycznych oceń zróżnicowanie rozkładu liczby dni poświęconych na naukę ekonomii.

Odp.:

a) M(x)= 2 + interpretacja

b)

= 1,81	S­^2(x) = 1,26	S(x) = 1,12	V(x) = 0, 26	+ interpretacja V(x)

Zada 2.

W pewnym dużym przedsiębiorstwie związanym z handlem międzynarodowym zbadano staż pracy pracowników (cecha X w latach) wyjeżdżających w ciągu roku do krajów Azji i otrzymano wyniki:

Wiek pracownika	<0-5)	<5-10)	<10-15)	<15-20)	<20-25>
Liczba pracowników	20	38	28	15	8

1. a)      przedstaw graficznie dystrybuantę empiryczną badanej cechy.

2. b)      wyznacz i zinterpretuj wartość dystrybuanty empirycznej dla x = 10.

3. c)      Oblicz i zinterpretuj wartość dominanty.

Odp.:

a) tablica rozkładu skumulowanego + wykres

b) G(10) = 0,65 + interpretacja

c) D(x) = 6,25 + interpretacja

 

Zada 3.

Czas jaki poświęcają studenci pewnej uczelni na pracę podczas wakacji ma rozkład normalny z parametrami 160,0 godzin i 32,0 godziny.

1. a)      oblicz i przedstaw graficznie prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrany student poświęca na pracę w wakacje między 176,0 godzin a 208,0 godzin.

2. b)      Jaka jest wiarygodność próby 25-elementowej, pobranej z populacji studentów, dla której średni czas poświęcony na pracę podczas wakacji będzie dłuższy niż 168,0 godzin.

Odp.:

a) P(176< X < 208) = F_u (1,5) - F_u(0,5) = 0,2417 + rysunek

b)
~ N(160 ; 6,4) P(
> 168) = 1-F_u(1,16) = 0,4364

 

 

 

Zada 4.

a) Określ przy jakim poziomie ufności wyznaczono przedział dla średniej miesięcznych zarobków piłkarzy zespołów klasy okręgowej, wiedząc, że w grupie losowo wybranych 100 piłkarzy średnia zarobków wyniosła 2000 zł z odchyleniem standardowym 800 zł, oraz że otrzymano przedział o krańcach ( 1868,8 zł ; 2131,2 zł).

3. c)      Ilu piłkarzy należałoby dolosować do próby aby przy zmienionych pozostałych czynnikach wpływających na precyzję oszacowania zmniejszyć maksymalny błąd szacunku (połowa przedziału ufności) trzykrotnie?

Odp.:

a) wzór na przedział ufności dla frakcji u_ၡ = 1,64 ၡ = 0,10

b)
Ⴎ
liczebność nowej próby = 900 dolosować 800

 

 

Zada 5.

Zbadano losowe próby 1000 osób zamieszkałych w mieście oraz 500 osób zamieszkałych na wsi ze względu na poparcie dla partii „Porządek i Spokój”. W mieście poparcie dla tej partii wyraziło 350 osób, na wsi zaś frakcja jej zwolenników wyniosła 20%. Przy jakim poziomie istotności można uznać, ze partia „Porządek i Spokój” cieszy się większym poparciem w mieście niż na wsi?

Odp.:

H₀: p_M = p_W

H₁: p_M > p_W

 

		uobl. Ⴛ 5,9	Fu(5,9) Ⴛ 1	+ interpretacja

 

Zada 6.

Jeśli rozkłady wydatków na usługi w kwietniu 200 losowo wybranych gospodarstw domowych emerytów oraz 100 losowo wybranych gospodarstw domowych rencistów kształtowały się następująco:

Wydatki w zł	do 10	(10 - 15 >	(15 - 20 >	(20 - 25>	(25 - 30 >	(30 - 35>
frakcja gospodarstw emerytów	0,05	0,2	0,4	0,20	0,1	0,05
frakcja gospodarstw rencistów	0,05	0,16	0,39	0,31	0,04	0,05

to czy można uznać, że oba rozkłady są identyczne?

Odp.:

 

H₀: (może być słowami)

H₁: (0,5 p.)

 

G1(x)	G2(x)	| G1(x)- G2(x)|
0,05	0,05	0,00
0,25	0,21	0,04
0,65	0,60	0,05	Ⴎ
0,85	0,91	0,04		Dla ၡ = 0,05 ၬၡ = 1,35
0,95	0,95	0,00		ma podstaw do odrzucenia H0
1,00	1,00	0,00

---