Kombinatoryka

Wariacje – bez powtórze

(

)

!

!

k

n

n

V

k

n

=

– z powtórzeniami

k

k

n

n

V

=

Wariacje bez powtórze - ze zbioru n ró nych elementów tworzymy

uporz dkowany zbiór sk adaj cy si z k ró nych elementów.

Wariacje z powtórzeniami - ze zbioru n ró nych elementów tworzymy

uporz dkowany zbiór sk adaj cy si z k elementów ró nych lub nie
ró ni cych si mi dzy sob .

Permutacje

– bez powtórze

n

n

n

V

n

P

=

= !

– z powtórzeniami

!

!...

!

!

2

1

...

,

2

1

k

n

n

n

n

n

n

n

n

P

k

=

Permutacje bez powtórze

– liczba mo liwych ustawie (kolejno%&)

zbioru sk adaj cego si

z n ró nych elementów, liczba ró nych

zbiorów sk adaj cych si z takich samych n ró nych elementów
ustawionych w ró nej kolejno%ci.

Permutacje z powtórzeniami – liczba mo liwych ustawie (kolejno%&)

zbioru sk adaj cego si z n elementów w%ród których pewne elementy
powtarzaj si n

1

, n

2

...n

k

razy, liczba takich zbiorów ró ni cych si

jedynie kolejno%ci ustawienia.

Kombinacje – bez powtórze

(

)

!

!

!

k

n

k

n

k

n

C

k

n

=

=

– z powtórzeniami

(

)

(

)

!

1

!

!

1

1

+

=

+

=

n

k

k

n

k

k

n

C

k

n

n

k

Losowanie bez zwracania

n

k

Losowanie ze zwracaniem

Kombinacje bez powtórze – zbiór sk adaj cy si z k ró nych elementów

wybranych spo%ród n ró nych elementów, utworzony zbiór nie jest
uporz dkowany.

Kombinacje z powtórzeniami – zbiór sk adaj cy si z k, ró nych lub nie,

elementów wybranych spo%ród n ró nych elementów, utworzony zbiór
nie jest uporz dkowany.

ZADANIA

Ile mo na wykona& ró nych trójkolorowych chor giewek z 6 ró nych

barw?

Kolejno%& kolorów odgrywa rol

(

)

120

6

5

4

!

3

!

6

!

3

6

!

6

3

6

=

=

=

=

V

Obliczy& ile jest liczb czterocyfrowych, w których nie powtarza si

adna cyfra.

Uk ady 4 cyfrowe, te z 0 na pocz tku

5040

10

9

8

7

!

6

!

10

4

10

=

=

=

V

Uk ady 4 cyfrowe z 0 na pocz tku

504

9

8

7

!

6

!

9

3

9

=

=

=

V

4536

504

5040

3

9

4

10

=

=

V

V

Na ile sposobów mo na ustawi& zbiór

}

,

,

,

{

D

C

B

A

?

24

!

4

4

=

=

P

Na ile sposobów mo na ustawi& zbiór

}

,

,

,

{

C

C

B

A

?

12

!

2

!

4

2

4

=

=

P

Ile nast pi powita gdy jednocze%nie spotka si 6 znajomych?

15

2

1

5

6

!

4

!

2

!

6

2

6

e

przywitani

2

osób

h

wszystkic

liczba

6

2

6

=

=

=

=

=

=

C

k

n

Malarz ma pomalowa& trzy przedmioty maj c do dyspozycji farby w

5 kolorach. Ile uk adów farb mo e malarz otrzyma& je eli ka dy przedmiot
jest malowany na jeden kolor?

3

!

4

!

3

!

7

3

7

3

1

3

5

razy

3

losujemy

3

kolorów

5

spo%po%

wybieramy

5

3

5

=

=

=

+

=

=

=

C

k

n

Rachunek prawdopodobie stwa

{

}

N

,...

,

,

3

2

1

=

• przestrze zdarze elementarnych
• zbiór sko czony

( ) ( )

( )

N

P

P

P

=

=

=

...

2

1

• adne ze zdarze nie jest
wyró nione

• równe prawdopodob. zdarze

elementarnych

{

}

=

A

A

n

i

i

i

i

oraz

,...

,

,

3

2

1

Prawdopodobie stwo zdarzenia

A

( )

N

n

A

P

=

Je eli jest obszarem w R

n

o sko czonej mierze np.

• odcinek w R

1

• obszar ograniczony w R

2

Prawdopodobie stwo trafienia w obszar

A

zale y tylko od miary

obszaru

A

i nie nale y od po o enia obszaru

A

wewn trz obszaru .

( )

( )

( )

=

miara

A

miara

A

P

Prawdopodobie stwo warunkowe

Je eli :

( )

( )

(

)

( )

B

P

B

A

P

B

A

P

B

P

=

0

P(A B) – prawdopodobie stwo warunkowe zdarzenia A liczone przy

za o eniu (warunku), e zdarzenie B nast pi o.

P(A B) – prawdopodobie stwo jednoczesnego zaj%cia zdarze A i B.
Zdarzenia niezale$ne

Zdarzenia A

1

, A

2

,...A

n

s niezale ne, je%li dla dowolnych wskaBników

i

1

, i

2

,...i

k

1 i

1

i

k

n

(

) ( ) ( )

( )

k

k

i

i

i

i

i

i

A

P

A

P

A

P

A

A

A

P

=

K

K

2

1

2

1

Prawdopodobie stwo ca'kowite
Zdarzenia

n

A

A K

1

s parami roz czne, przy czym

=

n

A

A

A

K

2

1

Oraz dla

( )

0

,

2

,

1

>

=

i

A

P

n

i

K

, to dla dowolnego zdarzenia B

( )

( )

( )

=

=

n

i

i

i

A

B

P

A

P

B

P

1

Wzór Bayesa

Je eli P(B)>0, to

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

=

=

=

n

i

i

i

j

j

j

j

j

A

B

P

A

P

A

B

P

A

P

B

P

A

B

P

A

P

B

A

P

1

Prawdopodobie stwo iloczynu dwóch zdarze

(

)

( )

( )

A

B

P

A

P

B

A

P

=

Prawdopodobie stwo sumy dwóch zdarze

(

) ( ) ( ) (

)

B

A

P

B

P

A

P

B

A

P

+

=

ZADANIA

Obliczy& prawdopodobie stwo tego, e wybrany przypadkowo punkt

kwadratu

1

1

<

<

y

x

jest punktem le cym wewn trz okr gu o równaniu

1

2

2

=

+ y

x

.

( )

4

1

4

2

2

2

2

2

=

=

=

=

=

=

=

=

kw

okr

okr

kw

S

S

A

P

r

S

a

S

Fabryka wyrabia %ruby na trzech maszynach

udzia w produkcji
ca kowitej

ilo%& braków

A

1

25% 5%

A

2

35% 4%

A

3

40% 2%

Wybrano losowo %rub , obliczy& prawdopodobie stwo tego, e:

a. wyprodukowa a j maszyna A

1

,

b. jest brakiem,
c. nie jest brakiem,
d. wyprodukowa a j maszyna A

1

je eli stwierdzono, ze %ruba jest wadliwa

(prawdopodobie stwo warunkowe).

ad. a. P(a)=0,25
ad. b. P(b)=P(A

1

)P(b A

1

) + P(A

2

)P(b A

2

) + P(A

3

)P(b A

3

)

=0,25 0,05+0,35 0,04+0,40 0,02=0,0345

ad. c. P(c)=1- P(b)=1-0,0345=0,9655

ad. d.

( )

( )

3623

,

0

0345

,

0

0125

,

0

0345

,

0

05

,

0

25

,

0

)

(

)

(

)

(

1

1

1

=

=

=

=

=

b

P

A

b

P

A

P

b

A

P

d

P