dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

1



Dokończenie Wykładu 2. Zmienna losowa i jej charakterystyki (str. 9 – 15)

3. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych

3.1. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu

dyskretnego

1. Zmienna losowa X ma rozkład jednopunktowy, skoncentrowany w punkcie

𝑥

0

,

oznaczany przez

𝛿(𝑥

0

), jeżeli

𝑃(𝑋 = 𝑥

0

) = 1.

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑥

0

, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 0.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

2

2. Zmienna losowa X ma rozkład dyskretny jednostajny (równomierny) na zbiorze

{𝑥

1

, 𝑥

2

, … , 𝑥

𝑛

}, jeżeli

𝑃(𝑋 = 𝑥

𝑖

) =

1

𝑛

, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

Wartość oczekiwana i wariancja:

𝐸𝑋 =

1

𝑛

∑

𝑥

𝑖

𝑛

𝑖=1

, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =

1

𝑛

∑

(𝑥

𝑖

− 𝐸𝑋)

2

=

1

𝑛

∑

𝑥

𝑖

2

− (𝐸𝑋)

2

𝑛

𝑖=1

𝑛

𝑖=1

.

3. Zmienna losowa X ma rozkład dwupunktowy z parametrem p,

0 < 𝑝 < 1, jeżeli

𝑃(𝑋 = 𝑥

1

) = 𝑝, 𝑃(𝑋 = 𝑥

2

) = 𝑞 = 1 − 𝑝, 𝑥

1

≠ 𝑥

2

.

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑝𝑥

1

+ 𝑞𝑥

2

, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑝𝑞(𝑥

1

− 𝑥

2

)

2

.

W przypadku, gdy

𝑥

1

= 1 i 𝑥

2

= 0 rozkład dwupunktowy nazywamy rozkładem

zerojedynkowym lub rozkładem Bernoulliego, oznaczany przez

𝐵𝑒(𝑝). Wartość

oczekiwana i wariancja:

𝐸𝑋 = 𝑝, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑝𝑞.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

3

4. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n, p (

𝑛 ∈ ℕ, 0 < 𝑝 < 1)

oznaczany przez

𝐵(𝑛, 𝑝), jeżeli

𝑃(𝑋 = 𝑘) = (

𝑛
𝑘

) 𝑝

𝑘

𝑞

𝑛−𝑘

, 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛, 𝑞 = 1 − 𝑝.

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑛𝑝, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑛𝑝𝑞.

Jeżeli 𝑋

𝑖

, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie

zerojedynkowym:

𝑃(𝑋

𝑖

= 1) = 𝑝, 𝑃(𝑋

𝑖

= 0) = 𝑞 = 1 − 𝑝, to zmienna losowa

𝑋 = ∑

𝑋

𝑖

𝑛

𝑖=1

ma rozkład

𝐵(𝑛, 𝑝).

5. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem

𝜆 (𝜆 > 0), oznaczany przez

𝑃𝑜(𝜆), jeżeli

𝑃(𝑋 = 𝑘) =

𝜆

𝑘

𝑘!

𝑒

−𝜆

, 𝑘 = 0, 1, 2, …

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝜆, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝜆.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

4

6. Zmienna losowa X ma rozkład geometryczny z parametrem p,

0 < 𝑝 < 1, oznaczany

przez

𝐺𝑒(𝑝), jeżeli

𝑃(𝑋 = 𝑘) = 𝑝𝑞

𝑘

, 𝑘 = 0, 1, 2, …, 𝑞 = 1 − 𝑝

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 =

𝑞
𝑝

, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =

𝑝

𝑞

2

.

7. Zmienna losowa X ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami n, p

(𝑛 ∈ ℕ, 0 < 𝑝 < 1), oznaczany przez 𝑁𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝), jeżeli

𝑃(𝑋 = 𝑘) = (

𝑛 + 𝑘 − 1

𝑘

) 𝑝

𝑛

𝑞

𝑘

, 𝑘 = 0, 1, … , 𝑛, 𝑞 = 1 − 𝑝.

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 =

𝑛𝑞

𝑝

, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =

𝑛𝑞

𝑝

2

.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

5

3.2. Podstawowe rozkłady zmiennych losowych typu absolutnie

ciągłego

Oznaczenia:



Indykator zbioru (zdarzenia) 𝐴:

𝐼

𝐴

(𝑥) = {

1, gdy 𝑥 ∈ 𝐴,
0, gdy 𝑥 ∉ 𝐴.



Funkcja gamma:

Γ(𝑝) = ∫ 𝑥

𝑝−1

𝑒

−𝑥

𝑑𝑥,

+∞

0

𝑝 > 0,

Γ(𝑝 + 1) = 𝑝Γ(𝑝),

Γ(𝑛 + 1) = 𝑛!, 𝑛 ∈ ℕ,

Γ (

1
2

) = √𝜋.



Funkcja beta:

𝛽(𝑎, 𝑏) = ∫ 𝑥

𝑎−1

(1 − 𝑥)

𝑏−1

𝑑𝑥, 𝑎 > 0, 𝑏 > 0,

1

0

𝛽(𝑎, 𝑏) =

Γ(𝑎)Γ(𝑏)

Γ(𝑎+𝑏)

.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

6

8. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny (prostokątny) na odcinku (

𝑎, 𝑏), oznaczany

przez

𝑈(𝑎, 𝑏), jeżeli jej gęstość ma postać

𝑓(𝑥) =

1

𝑏 − 𝑎

𝐼

(𝑎,𝑏)

(𝑥) = {

1

𝑏 − 𝑎

, gdy 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),

0,

gdy 𝑥 ∉ (𝑎, 𝑏).

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 =

𝑎+𝑏

2

, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =

(𝑏−𝑎)

2

12

.

Dla zmiennej losowej

𝑋 o rozkładzie 𝑈(0,1) mamy 𝐸𝑋 =

1
2

, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =

1

12

.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

7

9. Zmienna losowa X ma rozkład gamma z parametrami

𝑝, 𝜆 (𝑝 > 0, 𝜆 > 0 ), oznaczany

przez

Γ(𝑝, 𝜆), jeżeli jej gęstość ma postać

𝑓(𝑥) =

1

𝜆

𝑝

Γ(𝑝)

𝑥

𝑝−1

𝑒

−

𝑥
𝜆

𝐼

(0,+∞)

(𝑥).

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑝𝜆, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝑝𝜆

2

.

10. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem

𝜆 ( 𝜆 > 0 ), oznaczany

przez

𝐸𝑥𝑝(𝜆), jeżeli jej gęstość wyraża się wzorem

𝑓(𝑥) =

1
𝜆

𝑒

−

𝑥
𝜆

𝐼

(0,+∞)

(𝑥).

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝜆, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝜆

2

.

Rozkład

Exp(𝜆) jest rozkładem Γ(1, 𝜆).

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

8

11. Zmienna losowa X ma rozkład Laplace’a (podwójny wykładniczy) z parametrem

𝜆

( 𝜆 > 0 ), oznaczany przez 𝐿𝑎(𝜆), jeżeli jej gęstość ma postać

𝑓(𝑥) =

1

2𝜆

𝑒

−

|𝑥|

𝜆

, 𝑥 ∈ ℝ.

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 0, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 2𝜆

2

.

12. Zmienna losowa X ma rozkład beta z parametrami

𝑎, 𝑏 ( 𝑎 > 0, 𝑏 > 0 ), oznaczany

przez

𝛽(𝑎, 𝑏), jeżeli jej gęstość ma postać

𝑓(𝑥) =

1

𝛽(𝑎,𝑏)

𝑥

𝑎−1

(1 − 𝑥)

𝑏−1

𝐼

(𝑎,𝑏)

(𝑥).

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 =

𝑎

𝑎+𝑏

, 𝑉𝑎𝑟𝑋 =

𝑎𝑏

(𝑎+𝑏)

2

(𝑎+𝑏+1)

.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

9

13. Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy’ego z parametrami

𝑚, 𝜆 (𝑚 ∈ ℝ, 𝜆 > 0),

oznaczany przez

𝐶(𝑚, 𝜆), jeżeli jej gęstość ma postać

𝑓(𝑥) =

1

𝜋

𝜆

2

𝜆

2

+(𝑥−𝑚)

2

,

𝑥 ∈ ℝ.

Wartość oczekiwana i wariancja tego rozkładu nie istnieją.

Standardowy rozkład Cauchy’ego 𝐶(0,1) ma gęstość postaci 𝑓(𝑥) =

1

𝜋

1

1+𝑥

2

,

𝑥 ∈ ℝ.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

10

14. Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami

𝜇, 𝜎 (𝜇 ∈ ℝ, 𝜎 > 0),

oznaczany przez

𝑁(𝜇, 𝜎), jeżeli jej gęstość ma postać

𝑓(𝑥) =

1

√2𝜋𝜎

𝑒

−

(𝑥−𝜇)2

2𝜎2

,

𝑥 ∈ ℝ.

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝜇, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 𝜎

2

.

Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład 𝑁(𝜇, 𝜎), to zmienna losowa 𝑌 =

𝑋−𝜇

𝜎

ma

standardowy rozkład normalny 𝑁(0,1) o dystrybuancie

Φ(𝑥) =

1

√2𝜋

∫

𝑒

−

𝑡2

2

𝑥

−∞

𝑑𝑡,

której wartości są stablicowane dla 𝑥 ≥ 0. Dla 𝑥 < 0 korzystamy ze wzoru

Φ(−𝑥) = 1 − Φ(𝑥).

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

11

15. Zmienna losowa X ma rozkład logarytmiczno-normalny z parametrami

𝜇, 𝜎

(𝜇 ∈ ℝ, 𝜎 > 0), oznaczany przez ℒ𝑁(𝜇, 𝜎), jeżeli jej gęstość jest postaci

𝑓(𝑥) =

1

√2𝜋𝜎𝑥

𝑒

−

(𝑙𝑛𝑥−𝜇)2

2𝜎2

𝐼

(0,+∞)

(𝑥).

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑒

𝜇+

𝜎2

2

, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = (𝑒

𝜎

2

− 1)𝑒

2𝜇+𝜎

2

.

Zmienna losowa X ma rozkład

ℒ𝑁(𝜇, 𝜎), jeżeli zmienna losowa 𝑙𝑛𝑋 ma rozkład

𝑁(𝜇, 𝜎).

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

12

16. Zmienna losowa X ma rozkład t-Studenta z n stopniami swobody (

𝑛 ∈ ℕ

+

),

oznaczany przez

𝑡(𝑛), jeżeli jej gęstość ma postać

𝑓(𝑥) =

Γ(

𝑛+1

2

)

√𝜋𝑛Γ(

𝑛

2

)

1

(1+

𝑥2

𝑛

)

𝑛+1

2

, 𝑥 ∈ ℝ.

Wartość oczekiwana i wariancja:

𝐸𝑋 = 0, określona dla 𝑛 > 1,

𝑉𝑎𝑟𝑋 =

𝑛

𝑛−2

, określona dla 𝑛 > 2.

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

13

17. Zmienna losowa X ma rozkład

𝝌

𝟐

(

𝜒 − kwadrat) z n stopniami swobody (𝑛 ∈ ℕ

+

),

oznaczany przez

𝜒

2

(𝑛), jeżeli jej gęstość ma postać

𝑓(𝑥) =

1

2

𝑛

2

Γ(

𝑛

2

)

𝑥

𝑛

2

−1

𝑒

−

𝑥
2

𝐼

(0,+∞)

(𝑥).

Wartość oczekiwana i wariancja: 𝐸𝑋 = 𝑛, 𝑉𝑎𝑟𝑋 = 2𝑛.

Rozkład 𝜒

2

(𝑛) jest rozkładem Γ (

𝑛

2

, 2).

Jeżeli 𝑋

1

, 𝑋

2

, … , 𝑋

𝑛

są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie

𝑁(0,1), to zmienna losowa 𝑋 = ∑

𝑋

𝑖

2

𝑛

𝑖=1

ma rozkład

𝜒

2

(𝑛).

dr Tomasz Walczyński –

Statystyka

(I rok Chemii, specjalności ChK, ChPiS, ACh) - Wykład 3. (05.03.2014 r.)

14

18. Zmienna losowa X ma rozkład F (Snedecora, Fishera) z m i n stopniami swobody

(

𝑚 ∈ ℕ

+,

𝑛 ∈ ℕ

+

), oznaczany przez

𝐹(𝑚, 𝑛), jeżeli jej gęstość ma postać

𝑓(𝑥) =

(

𝑚

𝑛

)

𝑚

2

𝑥

𝑚

2 −1

β(

𝑚

2

,

𝑛

2

)

(1 +

𝑚

𝑛

𝑥)

−

𝑚+𝑛

2

𝐼

(0,+∞)

(𝑥).

Wartość oczekiwana i wariancja:

𝐸𝑋 =

𝑛

𝑛−2

, określona dla 𝑛 > 2,

𝑉𝑎𝑟𝑋 =

2𝑛

2

(𝑚+𝑛−2)

𝑚(𝑛−2)

2

(𝑛−4)

, określona dla 𝑛 > 4.

Rozkład 𝜒

2

(𝑛) jest rozkładem Γ (

𝑛

2

, 2).

Jeżeli 𝑌 i 𝑍 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach 𝜒

2

(𝑚) i 𝜒

2

(𝑛)

odpowiednio, to zmienna losowa

𝑋 =

𝑌

𝑚

𝑍
𝑛

ma rozkład

𝐹(𝑚, 𝑛).