Metoda Bessela zadanie odwrotne

Na elipsoidzie obrotowej o parametrach a, e

2

mamy dane współrzędne geodezyjne punktu

P

1

(B

1

,L

1

) oraz punktu P

2

(B

2

,L

2

). Obliczyć musimy długość linii geodezyjnej s oraz jej

azymuty w punkcie P

1

i P

2

, czyli azymuty wprost A

12

oraz odwrotny A

21.

Kolejność wykonywania zadania wygląda następująco:

1.

Przeliczamy szerokość geodezyjną B

1

i B

2

na szerokość zredukowaną

u

1

i

u

2

,

,

gdzie:

e – pierwszy mimośród elipsoidy

2.

Obliczamy różnicę długości, szerokości oraz szerokość średnią

3.

Obliczamy różnicę długości na kuli

(pierwsze przybliżenie)

gdzie:

4.

Następnie wyliczamy

5.

Obliczamy azymut wprost A

12

i azymut odwrotny A

21

linii geodezyjnej

6.

Obliczamy też długość linii geodezyjnej s

gdzie:

Metoda Clarke’a (zadanie odwrotne)

W zadaniach tego typu dane mamy na elipsoidzie punkty P

1

(B

1

, L

1

) i P

2

(B

2

, L

2

). Znamy więc

i

. Szukamy natomiast azymutów A

12

, A

21

oraz długości ortodromy s. Podobnie jak w

zadaniu wprost wykorzystamy rozważania i obliczenia wykonane na kuli pomocniczej.
Pomocniczy bok trójkąta obliczymy przekształcając równanie:

Kolejność wykonywania zadania wygląda następująco:

1.

∆ ∙

∙ tan

∙ ∆ ∙ sin ∙ cos

B

e

a

N

2

2

sin

1

−

=

(

)

(

)

3

2

2

2

sin

1

1

B

e

e

a

M

−

−

=

2.

∆ ∙ cos

∆

∙ cos

∙ sin

′

3.

∙

′

∙ !

"

#∙$

∙%

&

∙'

&

4.

(

arctan

$

#∙* +

,-

.∙/&∙0&

1

2

3
4

(

( 5 6 2 7

7 ∆ ∙ sin 8 2

4

∙ 9 ∆ ∙ sin 8 ′

4

∙ 9

:

∙ *1

′

6 ∙ ! ∙ 1

cos 8(

39

Metoda średniej szerokości Gaussa (zadanie odwrotne)

1.

Obliczamy średnią szerokość dla naszych punktów a następnie dla średniej szerokości
promienie krzywizn:

2

2

1

B

B

B

+

=

B

e

a

N

2

2

sin

1

−

=

(

)

(

)

3

2

2

2

sin

1

1

B

e

e

a

M

−

−

=

2.

Obliczamy parametry do obliczeń końcowych:

1

2

B

B

b

−

=

1

2

L

L

l

−

=

B

e

2

2

2

cos

'

=

η

B

t

tan

=

B

e

v

2

2

cos

'

1

+

=

(

)

(

)

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

4

1

8

1

2

3

2

cos

24

1

t

t

v

b

t

B

l

η

η

η

η

+

+

−

−

+

+

=

∆Φ

(

)

2

2

2

4

2

2

2

9

1

24

1

sin

24

1

t

v

b

B

l

η

η

−

+

−

=

∆Λ

3.

Obliczamy średni azymut:













∆Λ

+

∆Φ

+

−

−

=

B

v

B

B

L

L

A

cos

1

1

arctan

2

1

2

1

2

4.

Obliczamy długość linni:

(

)

(

)

(

)

(

)

A

B

N

L

L

A

v

N

B

B

s

sin

1

cos

cos

1

1

2

2

1

2

∆Λ

+

−

=

∆Φ

+

−

=

5.

I jeszcze ostateczne azymuty:

(

)

4

2

4

2

2

2

2

5

8

3

24

1

cos

12

1

η

η

α

+

+

+

=

∆

v

b

B

l

v

(

)

(

)

α

∆

+

−

=

−

1

sin

1

2

1

2

B

L

L

A

A

(

)

1

2

1

2

1

A

A

A

A

−

−

=

(

)

1

2

2

2

1

A

A

A

A

−

+

=