8 calki nieoznaczone id 46865 Nieznany (2)

background image

Rachunek całkowy

Całka nieoznaczona

1. Funkcja pierwotna

Definicja 1. Funkcja F (x) jest funkcją pierwotną dla funkcji f (x) w przedziale

I = (a, b), jeżeli dla każdego x ∈ I zachodzi

F

0

(x) = f (x).

Przykłady.
a) f (x) = cos x, x ∈ R. Wtedy funkcja F (x) = sin x jest funkcją pierwotną

dla f (x).

b) g(x) = 3x

2

, x ∈ R. Wtedy G(x) = x

3

jest funkcją pierwotną dla g(x), ale

także G

1

(x) = x

3

+ 3 jest funkcją pierwotną dla g(x).

Twierdzenie 1. 1. Jeżeli F (x) jest funkcją pierwotną dla f (x) na przedziale

I, to F (x) + C, gdzie C ∈ R jest także funkcją pierwotną dla f (x).

2. Jeżeli F (x) i G(x) są funkcjami pierwotnymi dla f (x) przedziale I, to

G(x) = F (x) + C, gdzie C ∈ R na przedziale I.

Wniosek.
Jeżeli f (x) ma funkcję pierwotną na przedziale I, to ma ich nieskończenie

wiele i różnią sie one o stałą.

Twierdzenie 2. Jeżeli f (x) jest ciągła na przedziale I, to f ma funkcję pier-

wotną na przedziale I.

2. Pojęcie całki nieoznaczonej.

Definicja 2. Całką nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór

funkcji piewotnych F (x) dla f (x) na I i oznaczamy

R

f (x) dx; tj.

Z

f (x) dx = F (x) + C,

x ∈ I,

C ∈ R.

Własności

1.

µZ

f (x) dx

0

= f (x),

x ∈ I.

2.

Z

f

0

(x) dx = f (x) + C,

x ∈ I,

C ∈ R.

Twierdzenie 3. Jeżeli funkcje f i g mają funkcje pierwotne, to

1.

Z

(f (x) ± g(x)) dx =

Z

f (x) dx ±

Z

g(x) dx;

2.

Z

af (x) dx = a

Z

f (x) dx,

a ∈ R.

1

background image

Uwaga
Całka z iloczynu nie jest równa iloczynowi całek.
Przykład

Z

x · x

2

dx6=

Z

x dx ·

Z

x

2

dx

3. Podstawowe wzory całkowania
4. Metody całkowania
Całkowanie przez części

Twierdzenie 4. Jeżeli funkcje f (x) i g(x) mają w pewnym przedziale I ciągłe

pochodne f

0

(x) oraz g

0

(x), to dla x ∈ I zachodzi:

Z

f (x) · g

0

(x) dx = f (x) · g(x)

Z

f

0

(x) · g(x)) dx

Przykłady

Z

x

2

sin x dx = −x

2

cos x + 2x sin x + 2 cos x + C,

Z

xe

x

dx = (x − 1)e

x

+ C,

Z

ln x dx = x ln x − x + C.

Tą metodą policzymy całki typu:

R

x

n

sin x dx,

R

x

n

cos x dx,

R

x

n

e

x

dx,

R

e

x

sin x dx,

R

e

x

cos x dx oraz, gdy α 6= 1,

R

x

α

ln x dx.

Całkowanie przez podstawianie

Twierdzenie 5. Jeżeli

1. funkcja t = ϕ(x), gdzie ϕ : I 7→ T jest ciągła i ma ciągłą pochodną ϕ

0

w I;

2. funkcja f jest ciągła w przedziale T ,
to

Z

f [ϕ(x)] ϕ

0

(x) dx =

Z

f (t) dt = F [ϕ(x)] + C.

Przykład

Z

x

(x

2

+ 1)

2

dx.

2

background image

3. Podstawowe wzory całkowania

R

0 dx = C

R

x

α

dx =

x

α+1

α+1

+ C, α 6= 1

R

1

x

dx = ln |x| + C

R

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C

R

e

x

dx = e

x

+ C

R

sin x dx = cos x + C

R

cos x dx = sin x + C

R

1

(sin x)

2

dx = −ctg x + C

R

1

(cos x)

2

dx = tg x + C

R

1

x

2

+1

dx = arctg x + C

R

1

1−x

2

dx = arcsin x + C

R

sh x dx = ch x + C

R

ch x dx = sh x + C

R

1

ch

2

x

dx = th x + C

R

1

sh

2

x

dx = −cth x + C

3


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
calki podwojne id 287910 Nieznany
Calki podwojne id 108020 Nieznany
calki 10 id 107947 Nieznany
CALKI NIEWLASCIWE2008 id 107240 Nieznany
Calki oznaczone id 108017 Nieznany
calki wzory id 108848 Nieznany
calki nieoznaczone, wyklad id 1 Nieznany
Odpowiedzi calki biegunowe id Nieznany
Calki, IB i IS, 2011 12 id 1073 Nieznany
CALKI id 107236 Nieznany
ZiIP calki id 590338 Nieznany
calki 6 id 107964 Nieznany
Calki 5 id 107317 Nieznany
am przyklady calki lista10 id 5 Nieznany (2)
Calki 5 id 107962 Nieznany
3 calki podwojne, teoria id 33 Nieznany (2)
2wyklad 4 Calka nieoznaczona id Nieznany (2)

więcej podobnych podstron