Calki oznaczone id 108017 Nieznany

background image

1

Józef Szymczak

CAŁKI OZNACZONE (notatki z wykładu)

Niech

)

(x

f

będzie określona na przedziale

b

a;

. Rozbijemy przedział

b

a;

na

n dowolnych części punktami

b

x

x

x

x

a

n

n

1

1

1

0

...

.

Wybierzemy w każdym elementarnym odcinku

k

k

x

x

;

1

dowolny punkt

k

i określimy

długość tego odcinka

1

k

k

k

x

x

x

oraz obliczymy wartość funkcji w punkcie

)

(

k

f

.

Sumą całkową dla funkcji

)

(x

f

na przedziale

b

a;

nazywamy sumę postaci

n

k

k

k

x

f

1

)

(

=

n

n

x

f

x

f

x

f

)

(

)

(

)

(

...

2

2

1

1

Przez

k

x

max

oznaczmy długość najdłuższego przedziału cząstkowego przy danym

podziale przedziału

b

a;

.

Definicja całki oznaczonej.

Całką oznaczoną funkcji

)

(x

f

na przedziale

b

a;

nazywamy granicę (jeśli

istnieje) ciągu sum całkowych, pod warunkiem, że granica ta nie zależy od sposobu
podziału przedziału

b

a;

, podział ten jest normalny, tzn.

0

max

lim

k

x

n

oraz

granica ta nie zależy od wyboru punktów pośrednich

k

. Zapisujemy ten fakt

symbolicznie:

(*)

n

k

k

k

b

a

x

f

dx

x

f

k

x

n

1

)

(

lim

)

(

0

max

Całka oznaczona jest więc pewną liczbą rzeczywistą.

Jeśli funkcja

)

(x

f

jest ciągła w przedziale

b

a;

, to spełnia wymienione w definicji

warunki, a więc istnieje dla niej całka (*).

Jeśli dla funkcji

)

(x

f

istnieje całka (*), to mówimy, że funkcja ta jest całkowalna w

przedziale

b

a;

(w sensie Riemanna).

Można wykazać, że funkcja ograniczona w przedziale

b

a;

, mająca skończony zbiór

punktów nieciągłości, jest całkowalna.

background image

2

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Jeżeli

0

)

(

x

f

na przedziale

b

a;

, to

b

a

dx

x

f

)

(

geometrycznie

oznacza

pole

obszaru ograniczonego liniami:

)

(x

f

y

,

a

x

,

b

x

,

0

y

.

Podstawowe własności całki oznaczonej.

1.

b

a

a

b

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

,

2.

0

)

(

a

a

dx

x

f

,

3.

b

c

c

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

b

a

c

)

(

)

(

)

(

:

)

;

(

,

4.

b

a

b

a

b

a

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

)

(

)

(

)]

(

)

(

[

,

5.

b

a

b

a

dx

x

f

dx

x

f

)

(

)

(

,

R

,

6. Jeśli

M

m

x

f

)

(

na przedziale

b

a;

, to

)

(

)

(

)

(

a

b

M

a

b

m

b

a

dx

x

f

(oszacowanie wartości całki oznaczonej).

Zadanie. Oszacować wartość całki

2

/

0

2

cos

5

x

dx

(odp.:

10

cos

5

12

2

/

0

2

x

dx

)

Sposoby obliczania całki oznaczonej.

(1) Twierdzenie (Newtona-Leibniza)

Jeżeli funkcja

)

(x

f

jest ciągła w przedziale

b

a;

, a

)

(x

F

jest jakąkolwiek jej

funkcją pierwotną, to

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

dx

x

f

b

a

.


Uwaga. Stosujemy zwykle zapis pośredni:

)

(

)

(

)

(

)

(

a

F

b

F

x

F

dx

x

f

b
a

b

a

.

background image

3

Przykład 1.

.

2

)

4

(

4

)

1

(

1

1

1

1

1

2

1

1

arctg

arctg

arctgx

x

dx

Obliczyliśmy w ten sposób pole figury
przedstawionej na rysunku obok.


(2) Całkowanie przez części.

 

b

a

b
a

b

a

udv

uv

udv

Przykład 2.

dx

x

xe

1

0

dx

e

dv

x

u

x

x

e

v

dx

du

=

1

0

x

xe

+

dx

x

e

1

0

=

1

e

+

 

1

0

x

e

=

=

e

e

e

e

e

2

2

1

1

1

1

.

Całkując przez części całkę oznaczoną wygodnie jest wyznaczyć najpierw całkę nieoznaczoną.

(3) Całkowanie przez podstawianie

)

(

)

(

)

(

)

(

))

(

(

b

g

a

g

b

a

dt

t

f

dx

x

g

x

g

f

Przykład 3.

dx

x

x

e

1

2

ln





1

0

1

1

ln

e

t

x

dt

dx

x

t

x

=

dt

t

1

0

2

=

 

1

0

3

3

1 t

=

0

3

1

=

3

1

.

Przykład 4.

dx

x

0

3

sin

=

dx

x

x sin

sin

0

2

=

dx

x

x sin

)

cos

1

(

0

2

1

1

0

sin

cos

t

x

dt

xdx

t

x

=

=

dt

t )

1

(

1

1

2

=

dt

t )

1

(

1

1

2

=

1

1

3

3

1

t

t

= 1 –

3

1

– (–1

+

3

1

) =

3

4

.

Z przeprowadzonego rachunku

wynika, że całki

dx

x

0

3

sin

oraz

dt

t )

1

(

1

1

2

są równe. Ich wartości przedsta-
wiają pola pewnych figur. Figury
te mają zatem jednakowe pola.


background image

4

Uwaga.

(a) Jeżeli

)

(x

f

jest funkcją parzystą (tzn.

)

(

)

(

x

f

x

f

), wtedy

a

a

dx

x

f

)

(

=

a

dx

x

f

0

)

(

2

.

(b) Jeżeli

)

(x

f

jest funkcją nieparzystą (tzn.

)

(

)

(

x

f

x

f

), wtedy

a

a

dx

x

f

)

(

= 0.

Na przykład a)

 

18

3

0

3

0

3

3

3

2

2

3

1

2

2

x

dx

x

dx

x

; b)

0

sin

3

3

2

xdx

x

.



Pole S figury płaskiej ograniczonej liniami

)

(

1

x

f

y

,

)

(

2

x

f

y

))

(

)

(

(

2

1

x

f

x

f

,

a

x

,

b

x

obliczamy wg wzoru

b

a

dx

x

f

x

f

S

))

(

)

(

(

1

2



Przykład 5. Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej
liniami:

2

x

y

,

x

y

.

1

0

)

(

2

dx

x

x

=

1

0

3

3

1

3

2

2

3





x

x

=

3

1

3

2

=

3

1

.



Przykład 6. Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej
liniami:

x

e

y

,

1

x

,

e

y

.

1

1

)

(

dx

e

e

x

=

1

1

x

e

ex

=

)

(

1

e

e

e

e

=

1

e

e

=

e

e

1

2

.

Zadanie.

a) Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej liniami:

x

y

sin

,

x

y

cos

dla



4

4

5

;

x

.

background image

5

b) Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej liniami:

2

4

x

y

i

x

y

3

.

c) Obliczyć pole figury płaskiej ograniczonej liniami:

2

y

x

i

x

y

2

.


Jeśli linia krzywa opisana jest równaniami parametrycznymi

)

(

)

(

t

y

y

t

x

x

, to pole obszaru

ograniczonego tą krzywą, prostymi

a

x

,

b

x

i odcinkiem

b

a

;

osi Ox obliczamy

według wzoru:

2

1

)

(

)

(

t

t

dt

t

x

t

y

S

,

gdzie

1

t i

2

t wyznaczamy z równań:

)

(

1

t

x

a

,

)

(

2

t

x

b

, pod warunkiem, że

0

)

(

t

y

dla

2

1

t

t

t

, a

)

(t

x

jest funkcją rosnącą na tym przedziale.


Przykład 7. Obliczyć pole figury ograniczonej jedną pętlą cykloidy

)

cos

1

(

2

)

sin

(

2

t

y

t

t

x

i osią

odciętych Ox.


Mamy w tym przypadku, że

2

0

t

oraz

)

cos

1

(

2

)

(

t

t

x

. Zatem

2

0

)

cos

1

(

2

)

cos

1

(

2

dt

t

t

S

=

2

0

2

)

cos

1

(

4

dt

t

=

2

0

)

cos

cos

2

1

(

4

2

dt

t

t

=

=

2

0

2

sin

4

1

2

sin

2

4

t

t

t

t

=

)

0

0

2

(

4

=

12

.


W wielu sytuacjach dotyczących opisu linii i figur na

płaszczyźnie

wygodnie

jest

posługiwać

się

współrzędnymi biegunowymi.

Związek pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi i

współrzędnymi biegunowymi (jeśli biegun pokrywa się
ze środkiem układu współrzędnych kartezjańskich, a oś
biegunowa pokrywa się z półosią Ox):

sin

cos

r

y

r

x



background image

6

Pole krzywoliniowego sektora ograniczonego krzywą

opisaną w układzie biegunowym związkiem

)

(

r

r

i

dwoma biegunowymi promieniami

i

)

(

obliczamy według wzoru

d

r

S

2

2

1


Przykład 8. Znaleźć pole figury ograniczonej

lemniskatą

)

2

cos(

2

2

r

.

Zauważmy, że

4

1

pola odpowiada zakresowi parametru

od 0 do

4

, dlatego

4

/

0

)

2

cos(

2

4

2

1

d

S

=

4

0

)

2

sin(

4

2

1

=

2

1

4

= 2.

Zadanie.
Wyznaczyć pole figury ograniczone kardioidą opisaną związkiem

)

cos

1

(

a

r

,



2

;

0

.


Obliczanie długości łuków płaskich.

1. Jeżeli krzywa

)

(x

f

y

jest na przedziale

b

a;

gładka (tzn. ma ciągłą pochodną),

to długość l odpowiedniego łuku tej krzywej obliczamy według wzoru

b

a

dx

y

l

2

)

(

1

(wyrażenie

dx

y

dl

2

)

(

1

nazywamy różniczką łuku; piszemy też

b

a

dl

l

).

2. Jeżeli krzywa dana jest równaniami parametrycznymi

)

(

),

(

t

y

y

t

x

x

, przy czym

obie te funkcje mają ciągłe pochodne w przedziale

2

1

t

t

t

, to długość odpowiedniego

łuku wyraża się wzorem

2

1

2

2

))

(

(

))

(

(

t

t

dt

t

y

t

x

l

(wtedy

dt

y

x

dl

2

2

)

(

)

(

).

3. Jeżeli krzywa dana jest równaniem

)

(

r

r

we współrzędnych biegunowych, przy

czym

)

(

r

ma w przedziale

ciągłą pochodną i łuk nie ma części wielokrotnych,

to długość odpowiedniego łuku tej krzywej dana jest wzorem

d

r

l

d

dr

2

2

)

(

.

background image

7

Przykład 9.

Znaleźć długość łuku krzywej

3

2

x

y

w zakresie od

0

x

do

1

x

0)

(

y

.

Mamy tutaj

3

x

y

, skąd

x

y

2

3

i

x

y

4

9

2

)

(

.

1

0

1

4

9

dx

l

x





4

13

1

1

0

9

4

4

9

1

t

x

dt

dx

t

x

=

4

/

13

1

9

4

dt

t

=

4

13

2

3

1

3

2

9

4





t

=

)

(

1

2

13

4

13

27

8

=

27

8

13

13

.


Obliczanie objętości brył obrotowych i pola ich powierzchni bocznej

Jeżeli trapez krzywoliniowy ograniczony krzywą

)

(x

f

y

i prostymi

0

y

,

a

x

,

b

x

obraca się wokół osi

Ox

, to objętość powstałej w ten sposób bryły obrotowej wyraża

się wzorem:

b

a

dx

y

V

2

,

a pole powierzchni bocznej tej bryły wzorem:

b

a

b

a

dx

y

y

ydl

S

2

)

(

1

2

2


(w przypadku krzywej danej równaniami parametrycznymi

)

(

),

(

t

y

y

t

x

x

dla

2

1

t

t

t

mamy odpowiednio:

2

1

)

(

2

t

t

dt

t

x

y

V

,

2

1

2

2

)

(

)

(

2

t

t

dt

y

x

y

S

).

Przykład 10. Obliczyć objętość bryły obrotowej otrzymanej przez
obrót wokół osi Ox obszaru ograniczonego fragmentem sinusoidy
oraz odcinkiem osi Ox w zakresie od 0 do

.

dx

x

V

0

2

)

(sin

=

0

]

2

sin

[

4

1

2

1

x

x

=

2

1

=

2

2

1

.


background image

8

Całki niewłaściwe


Całkami niewłaściwymi nazywamy:

1) całki w przedziałach nieskończonych,
2) całki z funkcji nieograniczonych.


Ad 1. Całką niewłaściwą z funkcji

)

(x

f

w przedziale

)

;

a

określamy równością

b

a

a

dx

x

f

dx

x

f

b

)

(

lim

)

(

.

Jeśli określona granica istnieje, to mówimy, że dana całka jest zbieżna, jeśli nie istnieje lub
jest niewłaściwa, to mówimy, że dana całka jest rozbieżna.
Analogicznie określamy:



b

a

b

dx

x

f

dx

x

f

a

)

(

lim

)

(

.

Przykład 11.

1

2

1

dx

x

=

b

dx

x

b

1

2

1

lim

=

b

b

x

1

]

[

lim

1

=

)

(

lim

1

1

1

b

b

= 0+1 = 1.

Przykład 12.

dx

x

1

1

2

=

0

2

1

1

2

dx

x

= 2

b

dx

x

b

0

2

1

1

lim

=

b

b

x

0

]

[arctan

lim

2

=

=

b

b

arctan

lim

2



=

2

2

.



Ad 2. Jeżeli funkcja

)

(x

f

ma w punkcie

)

;

(

b

a

c

punkt nieciągłości drugiego rodzaju i jest

ciągła dla



b

c

c

a

x

;

(

)

;

oraz jeśli istnieją granice:

b

c

c

a

dx

x

f

dx

x

f

)

(

lim

i

)

(

lim

0

0

,

to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji

)

(x

f

przedziale

b

a

;

. Jeśli

któraś z tych granic jest niewłaściwa, to mówimy, że całka

b

a

dx

x

f

)

(

jest rozbieżna (chodzi tu

o funkcje, które w dowolnym otoczeniu

)

;

(

c

c

punktu c są nieograniczone).

Przykład 13.

1

1

2

1

dx

x

=

1

2

0

1

lim

2

c

dx

x

c

=

1

0

]

[

lim

2

1

c

c

x

=

)

(

lim

1

1

0

c

c

=

Całka ta jest rozbieżna. Interpretując ją geometrycznie, powiemy, że
zaznaczony nieograniczony obszar ma nieskończone pole.


background image

9

Przykład 14.

4

0

1

dx

x

=

1

1

0

lim

a

a

dx

x

=

4

0

]

[

lim

2

a

a

x

=

)

2

4

2

(

0

lim

a

a

= 4

Ta całka niewłaściwa jest zbieżna. Interpretując ją geometrycznie,
powiemy, że zaznaczony nieograniczony obszar ma skończone pole
równe 4 [j

2

].



Zadanie. Wyznaczyć objętość nieograniczonej bryły obrotowej otrzymanej przez obrót wokół

osi Ox nieograniczonego obszaru zawartego między liniami

x

y

1

,

1

x

,

0

y

(dla

1

x

).


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
calki podwojne id 287910 Nieznany
oznaczenia 2 id 343343 Nieznany
Calki podwojne id 108020 Nieznany
calki 10 id 107947 Nieznany
CALKI NIEWLASCIWE2008 id 107240 Nieznany
8 calki nieoznaczone id 46865 Nieznany (2)
2wyklad 5 Calka oznaczona id 60 Nieznany (2)
BUD WODA OZNACZENIA id 93914 Nieznany
calki wzory id 108848 Nieznany
Oznaczenia id 343339 Nieznany
Odpowiedzi calki biegunowe id Nieznany
Kolorymetr oznaczanie Fe id 241 Nieznany
Calki, IB i IS, 2011 12 id 1073 Nieznany
calka oznaczona Wronicz id 1079 Nieznany
CALKI id 107236 Nieznany
Oznaczenia Samochodow id 343374 Nieznany
ZiIP calki id 590338 Nieznany
calki 6 id 107964 Nieznany
Oznaczenia PSP id 343373 Nieznany

więcej podobnych podstron