Praca domowa nr 6 z przedmiotu „Rachunek prawdopodobieństwa i Statystyka”

Zad. 1. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest dana wzorem:

 





































.

4

gdy

,

4

2

gdy

,

2

2

gdy

,

2

gdy

,

1

0,6,

,

1

,

0

,

0

t

t

t

t

t

F

Wyznaczyć:

a) rozkład zmiennej losowej X , b)





4

2







X

P

, c) prawdopodobieństwo, że w pięciu niezależnych

doświadczeniach zmienna losowa X co najmniej raz przyjmie wartość z przedziału



4

,

2



.

Zad. 2. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa postaci:

i

x

2

/

1



3

/

1



3

/

1

2

/

1





i

i

x

X

P

p





2

,

0

4

,

0

3

,

0

1

,

0

Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y , jeśli: a)

5

6





X

Y

, b)

4

X

Y



.

Zad. 3. Wyznaczyć c , dla której funkcja f , dana wzorem: a)

 





 

 

x

I

x

cx

x

f

1

,

0

2

1





,

b)

 





 

x

I

cxe

x

f

x







,

0

4

2

, jest gęstością zmiennej losowej.

Wskazówka do a):









3

2

2

2

1

x

x

x

c

x

cx









;

Wskazówka do b): przy wyznaczaniu całki

dx

xe

x





2

4

, należy zastosować podstawienie

t

x





2

4

.

Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości

 

































tym.

poza

,

0

,

4

0

gdy

,

12

3

1

,

0

2

gdy

,

3

1

6

x

x

x

x

x

f

Wyznaczyć:

a) dystrybuantę zmiennej losowej X , b)





3

,

1



X

P

, c) prawdopodobieństwo zdarzenia, że

w czterech niezależnych doświadczeniach co najmniej dwa razy zmienna losowa X przyjmie wartość
z przedziału

3

,

1

.

Zad. 5. Wyznaczyć





1

2





X

P

, gdy zmienna losowa

X

ma rozkład o gęstości

 

































tym.

poza

,

0

,

4

2

gdy

,

6

3

2

,

2

2

gdy

,

6

1

12

x

x

x

x

x

f

Odpowiedzi:

Zad. 1: a)



 

 







4

,

0

;

4

,

5

,

0

;

2

,

1

,

0

;

2



, b) 9

,

0

, c)

 

5

1

,

0

1



;

Zad. 2: a)



 

 

 







1

,

0

;

2

,

3

,

0

;

3

,

4

,

0

;

7

,

2

,

0

;

8









, b)



 







3

,

0

;

16

/

1

,

7

,

0

;

81

/

1

;

Zad. 3: a) 12 , b)

8

; Zad. 4: a)

 

























































,

,

4

gdy

,

4

,

0

gdy

,

0

,

2

-

gdy

,

2

,

gdy

,

1

,

3

1

3

24

3

/

1

3

/

12

,

0

2

2

t

t

t

t

/

t/

/

-t

,

t

/

t

t

F

b)

3

1

, c)

27

11

; Zad. 5:

24

13

.