Elementy analizy wektorowej

Caªki krzywoliniowe niezorientowane



Zadanie

1.1

Obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe niezorientowane po wskazanych ªukach:
a)

Z

,

dl

p

x

2

+ y

2

, , { odcinek ª¡cz¡cy punkty (0;

,

1), (2;0);

b)

Z

,

xy dl, , { cz¦±¢ okr¦gu x

2

+ y

2

= R

2

le»¡ca w I ¢wiartce ukªadu;

c*)

Z

,

(x + y)dl, , { ¢wiartka okr¦gu x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

, y = x le»¡ca w pierwszym oktancie ukªadu wspóªrz¦dnych.



Zadanie

1.2

Obliczy¢ dªugo±ci podanych ªuków:

a) , : x = a(t

,

sint); y = a(1

,

cos t), gdzie 0

¬

t

¬

2 oraz a > 0;

b) , : jeden zwój linii ±rubowej o skoku h nawini¦tej na walec o promieniu r;

c) , : x = e

,

t cost; y = e

,

t sint; z = e

,

t, gdzie 0

¬

t <

1

.



Zadanie

1.3

Obliczy¢ pole cz¦±ci powierzchni bocznej walca x

2

+ y

2

= 1 ograniczonej pªaszczyznami z =

,

x; z = 5 + y.



Zadanie

1.4

Obliczy¢ masy podanych ªuków o wskazanych g¦sto±ciach liniowych:

a) , : x = acos t; y = bsint, gdzie 1

¬

t

¬

2; (x;y) =

j

y

j

oraz a > 0, b > 0;

b) , : x = t; y = t

2

2 ; z =

t

3

3 , gdzie 0

¬

t

¬

1; (x;y;z) =

p

2y;

c) , : x = r cos t; y = r sint; z = bt, gdzie 0

¬

t

¬

2; (x;y;z) = x

2

+ y

2

+ z

2

oraz b > 0.



Zadanie

1.5

Okre±li¢ wspóªrz¦dne ±rodków masy podanych ªuków jednorodnych:

a) linia ªa«cuchowa y = a2



e

x=a

+ e

,x=a



, gdzie

,

a

¬

x

¬

a;

b) linia ±rubowa x = r cos t; y = r sint; z = bt, gdzie 0

¬

t

¬

2;

c) brzeg trójk¡ta sferycznego x

2

+ y

2

+ z

2

= 1, gdzie x

­

0, y

­

0, z

­

0;



Zadanie

1.6

Obliczy¢ momenty bezwªadno±ci podanych ªuków jednorodnych wzgl¦dem wskazanych osi, przyj¡¢ 

0

= 1:

a) brzeg kwadratu o boku a, wzgl¦dem przek¡tnej;

b) odcinek AB, gdzie A = (1;2;3), B = (3;5;4), wzgl¦dem osi Oz;

c) linia ±rubowa x = acos t; y = acos t; z = bt, gdzie x

¬

t

¬

2:



Zadanie

1.7

Obliczy¢ nat¦»enie pola elektrycznego pochodz¡cego od ªadunku Q rozªo»onego równomiernie na brzegu kwadratu o boku

a: Nat¦»enie pola obliczy¢ w punkcie poªo»onym w odlegªo±ci d nad jednym z wierzchoªków kwadratu.



Zadanie

1.8

Obliczy¢ siª¦, z jak¡ póªokr¡g o masie M i promieniu R przyci¡ga mas¦ punktow¡ m poªo»on¡ w ±rodku póªokr¦gu.

1

Caªki krzywoliniowe zorientowane



Zadanie

2.1

Obliczy¢ caªki krzywoliniowe zorientowane z podanych pól wektorowych po wskazanych ªukach (zorientowanych zgodnie

ze swoj¡ parametryzacj¡):

a)

~

F

(x;y) =

,

x

2

+ y

2

;xy

; , : x = t; y = e

t

, gdzie t

2

[0;1];

b)

~

F

(x;y;z) = (yz;xz;xy) , : x = cost; y = sint; z = t, gdzie t

2

[0;2];

c)

~

F

(x;y;z) = (y;z;x); , { odcinek AB, gdzie A = (1;

,

1;2), B = (0;2;3):



Zadanie

2.2

Obliczy¢ caªki krzywoliniowe z podanych pól wektorowych po ªukach okre±lonych wskazanymi równaniami (orientacja

ªuku jest zgodna ze wzrostem parametru x):

a)

~

F

(x;y) = (x

,

y;x + y), , : y = sinx, gdzie 0

¬

x

¬

;

b)

~

F

(x;y) = (lnx;lny), , : y = x

2

, gdzie 1

¬

x

¬

e:



Zadanie

2.3

Obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe zorientowane po wskazanych ªukach zamkni¦tych:
a)

Z

,

xy dx + x

2

dy, , { brzeg trójk¡ta o wierzchoªkach A = (0;0), B = (1;2), C = (

,

1;4); zorientowany dodatnio;

b)

Z

,

x

2

y dx + xy(y + 1)dy, , { okr¡g x

2

+ y

2

+ 2y = 0; zorientowany dodatnio;

c)

Z

,

(3x + 5z)dx + (x + 4y)dy + (6x

,

z)dz, , { brzeg trójk¡ta o wierzchoªkach

A = (2;0;0), B = (0;2;0), C = (0;0;2); obiegany w kolejno±ci ABCA:



Zadanie

2.4

Obliczy¢ caªki krzywoliniowe zorientowane z podanych potencjalnych pól wektorowych

~

F

po dowolnym ªuku o pocz¡tku

A i ko«cu B:

a)

~

F

(x;y) = (x;y), A = (1;1), B = (

,

1;

,

2);

b)

~

F

(x;y) = (sinxcosy;cos xsiny), A =





2;



2



, B = (;);

c)

~

F

(x;y;z) =

,

x

2

,

2yz;y

2

,

2xz;z

2

,

2xy

, A = (0;0;0), B = (1;1;1):



Zadanie

2.5

Sprawdzi¢, »e podane caªki krzywoliniowe nie zale»¡ od ksztaªtu krzywej caªkowania i nast¦pnie obliczy¢ je:

a)

(

1;



2

)

Z

(0;0)

e

x

cosy dx

,

e

x

siny dy;

b)

(1;2)

Z

(2;1)

y

x

2

dx

,

1

x dy; wzdªu» ªuku nie przechodz¡cego przez o± Oy;

c)

(2;3;4)

Z

(1;1;1)

,

x

2

,

2yz

dx +

,

y

2

,

2xz

dy +

,

z

2

,

2xy

dz:



Zadanie

2.6

Wykorzystuj¡c twierdzenie Greena obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe zorientowane. Sprawdzi¢ wynik obliczaj¡c te caªki

bezpo±rednio:

2

a)

Z

,

,

1

,

x

2

y dx + x

,

1 + y

2

dy, , { okr¡g x

2

+ y

2

= R

2

; zorientowany dodatnio;

b)

Z

,

,

x + y

2

dx +

,

x

2

+ y

2

dy, , { brzeg trójk¡ta o wierzchoªkach A = (1;1), B = (3;2), C = (2;5); zorientowany

dodatnio;

c)

Z

,

e

x

(1

,

cos y) dx

,

e

x

(y

,

siny)dy, , { brzeg obszaru 0

¬

x

¬

, 0

¬

y

¬

sinx; zorientowany dodatnio.



Zadanie

2.7

Za pomoc¡ caªki krzywoliniowej zorientowanej obliczy¢ pola obszarów ograniczonych podanymi ªukami zamkni¦tymi:

a) elipsa , : x = acos t; y = bsint, gdzie t

2

[0;2];

b) kardioida , : x = 2cost

,

cos2t; y = 2sint

,

sin2t, gdzie t

2

[0;2]:



Zadanie

2.8

Obliczy¢ prac¦ w podanych polach wektorowych podczas ruchu po wskazanych ªukach zorientowanych:

a)

~

F

(x;y) =

,

2xy;x

2

, dowolny ªuk , ª¡cz¡cy punkty A = (1;0);B = (0;3);

b)

~

F

(x;y;z) = (xy;y+z;z); wzdªu» ªuku , : x = cos t; y = sint; z = t od punktu A = (1;0;0) do punktu B = (

,

1;0;);

c)

~

F

(x;y;z) = (

,

x;

,

y;

,

z) wzdªu» dowolnego ªuku , ª¡cz¡cego punkt A = (x

1

;y

1

;z

1

) nale»¡cy do sfery x

2

+y

2

+z

2

= r

2

z punktem B = (x

2

;y

2

;z

2

) nale»¡cym do sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

:

Caªki powierzchniowe niezorientowane



Zadanie

3.1

Obliczy¢ podane caªki powierzchniowe niezorientowane po wskazanych pªatach:
a)

Z

Z



,

x

2

+ y

2

dS,  { sfera x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

;

b)

Z

Z



(x + y + z)dS,  { cz¦±¢ pªaszczyzny x + y + z = 1 poªo»ona w pierwszym oktancie ukªadu wspóªrz¦dnych;

c)

Z

Z



p

x

2

+ y

2

dS,  { powierzchnia boczna sto»ka z =

p

x

2

+ y

2

, z

¬

3:



Zadanie

3.2

Obliczy¢ pola powierzchni podanych pªatów:

a)  | cz¦±¢ pªaszczyzny 2x + 3y + z

,

6 = 0 wyci¦ta przez walec x

2

+ y

2

= 4;

b)  | cz¦±¢ paraboloidy z = x

2

+ y

2

odci¦ta przez pªaszczyzn¦ z = h, gdzie h > 0;

c)  | powierzchnia boczna sto»ka ±ci¦tego o promieniach podstaw r;R i wysoko±ci h, gdzie r < R;

d*)  | cz¦±¢ powierzchni Ziemi zawarta mi¦dzy poªudnikami 45



i 60



W

oraz równole»nikami 60



i 80



N

. Przyj¡¢, »e

promie« Ziemi jest równy 6370 km.



Zadanie

3.3

Obliczy¢ masy podanych pªatów o wskazanych g¦sto±ciach powierzchniowych:

a) powierzchnia sze±cianu 0

¬

x

¬

1; 0

¬

y

¬

1; 0

¬

z

¬

1; (x;y;z) = xyz;

b) powierzchnia póªsfery z =

p

R

2

,

x

2

,

y

2

; (x;y;z) = z;

c) powierzchnia stó»ka z =

p

x

2

+ y

2

; z

¬

1; (x;y;z) =

p

x

2

+ y

2

+ z

2

.



Zadanie

3.4

Znale¹¢ poªo»enia ±rodków masy podanych jednorodnych pªatów materialnych:

3

a) x + y + z = 4; x

2

+ y

2

¬

1;

b) z = 2

p

x

2

+ y

2

; 2

¬

z

¬

6;

b) z = x

2

+ y

2

; x

­

0; z

¬

1;

d) sze±cienne pudeªko o kraw¦dzi a (otwarte od góry).



Zadanie

3.5

Obliczy¢ momenty bezwªadno±ci podanych jednorodnych pªatów materialnych wzgl¦dem wskazanych osi:

a) sfera o promieniu R i masie M, wzgl¦dem ±rednicy;

b) paraboloida z = x

2

+ y

2

; z

¬

h; o g¦sto±ci powierzchniowej masy  = 

0

, wzgl¦dem osi Oz;

c) powierzchnia o±mio±cianu

j

x

j

+

j

y

j

+

j

z

j

= a o masie M; wzgl¦dem osi Oz;

d) powierzchnia boczna walca x

2

+ y

2

= R

2

;

,

H

¬

z

¬

H, o masie M; wzgl¦dem osi Ox:



Zadanie

3.6

Znale¹¢ siª¦, z jak¡ powierzchnia boczna sto»ka o promieniu podstawy r i wysoko±ci h; naªadowana równomiernie ªadun-

kiem Q; przyci¡ga ªadunek punktowy q umieszczony w ±rodku jej podstawy.



Zadanie

3.7

Obliczy¢ nat¦»enie pola grawitacyjnego, jakie wytwarza powierzchnia jednorodnej póªsfery o masie M i promieniu R; w

jej ±rodku.

Caªki powierzchniowe zorientowane i elementy analizy wektorowej



Zadanie

4.1

Obliczy¢ podane caªki powierzchniowe zorientowane:
a)

Z

Z







xy dydz + yz dzdx + xz dxdy,  { zewn¦trzna strona powierzchni czworo±cianu ograniczonego pªaszczyznami

x = 0, y = 0, z = 0, x + y + z = 1;

b)

Z

Z







xdydz + yz dzdx + z dxdy ,  { zewn¦trzna strona powierzchni sze±cianu 0

¬

x

¬

1, 0

¬

y

¬

1, 0

¬

z

¬

1;

c)

Z

Z



x

2

dydz + y

2

dzdx + z

2

dxdy ;  { górna strona powierzchni sto»ka z =

p

x

2

+ y

2

, z

¬

1;

d)

Z

Z







z

2

dxdy ,  { zewn¦trzna strona sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= 4:



Zadanie

4.2

Niech funkcje f; g maj¡ wszystkie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du na obszarze V



R

3

: Uzasadni¢ wzory:

a)

grad



f

g



= g

grad

f

,

f

grad

g

g

2

;

b)

grad

h(f) = h

0

(f)

grad

f, gdzie h jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ na pewnym przedziale.



Zadanie

4.3

Uzasadni¢ podane wzory:

a)

rot

(

grad

U) =

~

O

, gdzie U jest funkcj¡ maj¡c¡ ci¡gªe wszystkie pochodne cz¡stkowe drugiego rz¦du na obszarze

V



R

3

;

b)

rot

(f

~

c

) =

grad

f



~

c

, gdzie f jest funkcj¡ maj¡c¡ wszystkie pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du na obszarze

V



R

3

; a

~

c

jest ustalonym wektorem.

4



Zadanie

4.4

Uzasadni¢ podane wzory:

a) div



~

F



~

G



=

~

G



rot

~

F

,

~

F



rot

~

G

, gdzie pola wektorowe

~

F

i

~

G

s¡ ró»niczkowalne na obszarze V



R

3

;

b) div



rot

~

F



= 0, gdzie pole wektorowe

~

F

ma skªadowe dwukrotnie ró»niczkowalne w sposób ci¡gªy na obszarze

V



R

3

:



Zadanie

4.5

Przy pomocy twierdzenia Gaussa{Ostrogradskiego obliczy¢ podane caªki powierzchniowe. Sprawdzi¢ otrzymane wyniki

obliczaj¡c te caªki bezpo±rednio:
a)

Z

Z







2xy dydz

,

y

2

dzdx + 2z dxdy ,  { zewn¦trzna strona brzegu obszaru

V : x

2

+ y

2

+ z

2

¬

9, x

­

0, y

­

0, z

­

0;

b)

Z

Z







(x + z)dydz + (x + y)dzdx + (y + z)dxdy,  { zewn¦trzna strona

brzegu obszaru V : x

2

+ y

2

¬

R

2

, x + y + z

¬

R, z

­

0;

c)

Z

Z







x

3

dydz + y

3

dzdx + z

3

dxdy ,  { wewn¦trzna strona powierzchni walca V : x

2

+ y

2

¬

R

2

; 0

¬

z

¬

H:



Zadanie

4.6

Korzystaj¡c z twierdzenia Stokesa obliczy¢ podane caªki krzywoliniowe. Sprawdzi¢ otrzymane wyniki obliczaj¡c te caªki

bezpo±rednio:
a)

Z

,

x

2

y

3

dx + dy + z dz, , { okr¡g x

2

+ y

2

= R

2

, z = 0; zorientowany dodatnio;

b)

Z

,

x dx + (x + y) dy + (x + y + z) dz, , : x = sint; y = cos t; z = sint + cost, gdzie t

2

[0;2];

c)

Z

,

(y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz, , { okr¡g x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

, x = y:



Zadanie

4.7

Obliczy¢ strumienie podanych pól wektorowych przez wskazane pªaty:
a)

~

F

(x;y;z) =



x

3;z

2

,

x

2

; 2z3



,  { powierzchnia caªkowita walca z = x

2

+ y

2

¬

R

2

, 0

¬

z

¬

H;

b)

~

F

(x;y;z) =

,

x

p

x

2

+ y

2

+ z

2

;

,

y

p

x

2

+ y

2

+ z

2

;

,

z

p

x

2

+ y

2

+ z

2

!

,

 { powierzchnia zewn¦trzna sfery x

2

+ y

2

+ z

2

= R

2

;

c)

~

F

(x;y;z) = (5x + z;x

,

3y;4y

,

2z),  { górna cz¦±¢ pªaszczyzny x + y + z = 2 odci¦ta pªaszczyznami ukªadu

wspóªrz¦dnych.



Zadanie*

4.8

Wyprowadzi¢ prawo Archimedesa.



Zadanie

4.9

Obliczy¢ cyrkulacje podanych pól wektorowych wzdªu» wskazanych ªuków zamkni¦tych:

a)

~

F

(x;y;z) =

,

y

2

;(x + y)

2

;z

; , { ªamana zamkni¦ta ª¡cz¡c¡ punkty A = (1;0;0), B = (0;1;0), C = (0;0;1);

b)

~

F

(x;y;z) = (y;1

,

x;

,

z); , { ªuk zamkni¦ty otrzymany w wyniku przeci¦cia powierzchni walca (x

,

1)

2

+ y

2

= 1 z

póªsfer¡ (x

,

2)

2

+ y

2

+ z

2

= 4, z

­

0:

5