Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu

Laboratorium

Rozkład normalny, niepewność
standardowa typu A

Instrukcja do ćwiczenia nr 1

Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery

Wrocław, listopad 2010 r.

2

Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu

Ćwiczenie laboratoryjne nr 1

R

OZKŁAD NORMALNY, NIEPEWNOŚĆ STANDARDOWA TYPU A

1. C

EL ĆWICZENIA

Celem ćwiczenia jest sporządzenie histogramu wartości wielkości mierzonych, a następnie

analityczne wyznaczenie parametrów funkcji Gaussa dla pojedynczego

pomiaru i średniej oraz

graficzne przedstawienie wyników w raz z ich interpretacją.

2. POJEDYNCZY POMIAR [1,2,3]

Na rysunkach 1 i 2 przedstawiono

[1] histogram 100 i 1000 pomiarów tej samej wielkości

fizycznej. Po wykonaniu 1000 pomiarów histogram staje się dość gładki i regularny. Gdy ilość

pomiarów dąży do nieskończoności ich rozkład zbliża się do tzw. krzywej granicznej, która

przypomina swoim kształtem dzwon i jest symetryczna względem wartości prawdziwej X wielkości
mierzonej.

Rys.1. Histogram

przedstawiający 100 pomiarów pewnej wielkości fizycznej [1]

Wartość prawdziwa X

Rys.2. Histogram przedstawiający 1000 pomiarów wielkości fizycznej z rysunku 1 [1]

Taka sytuacja występuje jeżeli wynik pomiaru jest narażony na wpływ błędów przypadkowych , a

błędy systematyczne są zaniedbywalne. Błędy przypadkowe z równym prawdopodobieństwem

zaniżają i zawyżają otrzymane wartości. Jeżeli wszystkie błędy są przypadkowe to powinniśmy z

takim samym prawdopodobieństwem uzyskać tyle samo wyników poniżej jak i powyżej wartości

prawdziwej. Błędy systematyczne przesuwają wszystkie mierzone wartości w jednym kierunku i

powodują, że środek rozkładu oddala się od wartości prawdziwej.[1]

krzywa
graniczna

Cz

ęst

ość

Cz

ęst

ość

3

Krzywa graniczna nazywa się funkcją Gaussa i ma postać:

f

X,σ

(x) =

1

σ√2π

e

−(x−X)

2

/2σ

2

(1)

gdzie:
X –

wartość prawdziwa (środek rozkładu)

σ – szerokość rozkładu

Pomiary, których rozkładem jest funkcja Gaussa są to pomiary, które mają rozkład normalny.
Funkcja f

X,σ

–

nazywa się funkcją gęstości prawdopodobieństwa, a jej znaczenie przedstawia

rysunek 3.

f(x)dx= częstość pomiarów w ∫ f(x)

b

a

-

częstość pomiarów w przedziale od

przedziale od x do x+dx x = a do x = b

Rys.3. Interpretacja rozkładu granicznego

Rozkład graniczny f(x) pomiarów pewnej wielkości fizycznej oznacza również prawdopodobieństwo
uzyskania wyniku pojedynczego pomiaru w przedziale a

≤x≤b.

Co to jest wartość X ora z σ ?
Wartość średnia pomiarów przy nieskończonej ilości powtórzeń wyraża się równaniem:

x� = ∫ xf(x)dx

+∞

−∞

(2)

Wstawiając do tego równania wartość f(x) z równania (1) otrzymamy:

x� = ∫ xf

X,σ

(x)dx

+∞

−∞

=

1

σ√2π

∫ x

+∞

−∞

e

−

(x−X)2

2σ2

dx

(3)

Podstawiając y = x-X otrzymujemy dx=dy oraz

x� =

1

σ√2π

∫ (y + X)

+∞

−∞

e

−

(y)2

2σ2

dy

(4)

i dalej

x� =

1

σ√2π

�∫ y

+∞

−∞

e

−

(y)2

2σ2

dy + ∫ X

+∞

−∞

e

−

(y)2

2σ2

dy�

(5)

0

x� =

1

σ√2π

�X ∫ e

−

(y)2

2σ2

+∞

−∞

dy�

(6)

𝜎√2𝜋

Stąd 𝒙� = 𝑿

Wyn ika z tego , że wartość prawdziwa wielkości mierzonej dla nieskończonej liczby powtórzeń

równa się wartości średniej.

x

x+dx

x

f(x)

x

a

b

4

Odchylenie standardowe przy nieskończonej liczbie powtórzeń wyraża się równaniem:

σ

x

2

= ∫ (x − x �)

2

+∞

−∞

f

X,σ

(x)dx

(7)

Ponieważ X = x � oraz podstawiając x - X= y i y/σ = z , a następnie całkując przez części
otrzymamy:

σ

x

2

= σ

2

.

(8)

O

znacza, że dla nieskończonej ilości pomiarów szerokość funkcji Gaussa jest równa odchyleniu

standardowemu.
Równania 2 i 7 oznacza

ją również to, że znając funkcję f(x) potrafimy obliczyć średnią x � oraz

odchylenie standardowe σ

x

dla nieskończenie długiej serii pomiarów, czyli poznalibyśmy wartość

prawdziwą X.

W rzeczywistości dysponujemy skończoną liczbą pomiarów: x

1

, x

2,

..., x

N.

Jak

określić zatem

najlepsze przybliżenie wartości prawdziwej X oraz szerokości rozkładu σ?

Jeżeli wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu f

X,

σ

(x) to możemy określić

prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu x

1,

mieszczącego się w przedziale dx

1.

Wynosi

ono [1]:

P(x w przedziale od x

1

do x

1

+dx

1

)=

1

σ√2π

e

−

(x1−X)2

2σ2

dx

1

(9)

Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu x

2

wynosi:

P(x w przedziale od x

2

do x

2

+dx

2

)=

1

σ√2π

e

−

(x2−X)2

2σ2

dx

2

(10)

Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku w pobliżu x

N

wynosi:

P(x w przedziale od x

N

do x

N

+dx

N

)=

1

σ√2π

e

−

�xN−X�

2

2σ2

dx

N

(11)

Prawdopodobieństwo, że otrzymamy cały zbiór N wartości jest iloczynem poszczególnych
prawdo

podobieństw i wyraża się równaniem:

P

X,σ

(x1,…,x

N

)= P(x

1

)P(x

2

)…P(x

N

).

(12)

Można zatem napisać, że :

P

X,σ

(x1,…,x

N

)~

1

σ

N

e

− ∑(x

i

−X)

2

/2σ

2

(13)

Za najlepsze przyb

liżenie X i σ przyjmujemy takie , które daje największe prawdopodobieństwo

wynikające z równania (13).

Równanie to osiąga maksimum gdy ∑(x

i

− X)

2

/2σ

2

ma wa

rtość minimalną. Po obliczeniu

pochodnej po X i przyrównaniu jej do 0 otrzymamy:

1

2σ

2

�∑ x

i

N

i=1

− NX� = 0

(14)

i dalej

X =

∑

x

i

N

i=1

N

(15)

5

Oznacza to, że najlepszym przybliżeniem wartości prawdziwej X jest średnia z N pomiarów.

W celu znalezienia najlepszego przybliżenia

σ należy dokonać operacji pochodnej równania

13

względem σ i przyrównania ją do zera,. Po obliczeniach otrzymamy:

σ = �

1

N−1

∑ (x

i

− x�)

2

N

i=1

(16)

Szerokość rozkładu określa, zatem odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru.

Podsumowując, jeżeli dysponujemy zbiorem N mierzonych wartości x

1,

x

2

,…x

N

najlepszym

przybliżeniem wartości prawdziwej jest średnia wyników, a najlepszym przybliżeniem

szerokości rozkładu Gaussa jest odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru.

Obliczmy dalej jakie jest prawdopodobieństwo, że wynik pojedynczego pomiaru leży w przedziale

jednego odchylenia standardowego σ od wartości prawdziwej X jeżeli rozkładem granicznym jest
funkcja Gaussa f

X,σ

(x).

Prawdopodobieństwo to wyraża równanie:

P(w promieniu σ) = ∫

f

X,σ

(x)

X+σ

X−σ

=

1

σ√2π

∫

e

−(x−X)

2

/2σ

2

X+σ

X−σ

dx

(17)

Graficzną interpretację całki z równania (17) pokazuje rysunek 4.

f(x)

X-

σ X X+σ

Rys.4. Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku pomiaru w przedziale X±σ

Podstawiając z = (x-X)/σ otrzymamy dz = dx/σ oraz:

P(w promieniu σ) = =

1

√2π

∫ e

−z

2

/2

1

−1

dz

(18)

Ogólnie

prawdopodobieństwa znalezienia się pojedynczego wyniku pomiaru w promieniu tσ, gdzie t

jest dowolną liczbą stała przedstawia równanie:

P(w promieniu tσ) =

1

√2π

∫ e

−z

2

/2

t

−t

dz ,

(19)

którego i

nterpretację przedstawia rysunek 5.

f(x)

x

X-

tσ X X+tσ

Rys.5.

Prawdopodobieństwo otrzymania wyniku pomiaru w przedziale X±σ

x

6

Całka w równaniu (19) nazywa się funkcją błędu i nie można ją obliczyć arytmetyczne. Graficzne
jej r

ozwiązanie jej przedstawia rysunek 6 oraz zamieszczona po nim tabela.

t

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1,5

1,75

2

2,5

3

3,5

4

P,%

0

20

38

55

68

79

87

92

95,4 98,8 99,7 99,95 99,99

Rys.

6. Rozwiązanie równania (19) [1]

Z rysunku 6

wynika, że prawdopodobieństwo uzyskania wyniku pojedynczego pomiaru w przedziale

o promieniu

σ wynosi 68% a o promieniu 3σ wynosi 99,7%. Inaczej mówiąc, jeżeli wykonamy na

przykład 10 pomiarów pewnej wielkości fizycznej i obliczymy wartość średnią i odchylenie
standardowe, a

następnie wykonamy 11 pomiar to możemy stwierdzić z prawdopodobieństwem

równym 68%,

że znajdzie się on w przedziale wartość średnia ± σ albo z prawdopodobieństwem

99,7%, że znajdzie się on w przedziale wartość średnia ± 3σ.

3. R

OZKŁAD GAUSSA DLA ŚREDNIEJ [1,2,3]

Zakładamy, że wykonujemy wielokrotnie serię N pomiarów tej samej wielkości fizycznej ,

tzn. otrzymamy zbiory wyników pomiarów:

{x

11

, x

12

, x

13,

…,x

1N

}

{x

21

, x

22

, x

23,

…,x

2N

}

{x

31

, x

32

, x

33,

…,x

3N

}

……………………………….

{x

M1

, x

M2

, x

M3,

…,x

MN

}

Każda seria opisana jest przez rozkład normalny o wartości prawdziwej X i szerokości rozkładu σ.
Obliczymy ile wynosi

średnia x �oraz odchylenie standardowe sredniej σ

x�

.

Średnia z tak przeprowadzonych pomiarów wyraża się równaniem:

x� =

x�

1

+x�

2

+x�

3

+⋯+x�

N

N

=

NX

N

= X

(20)

w którym:

x�

i

– srednia dla i-tej serii pomiarowej.

Odchylenie standardowe

średniej σ

x�

,

zgodnie z regułą kwadratowego przenoszenia błędów, wyraża

się ogólnym równaniem:

σ

x�

= ��

∂x

∂x

11

σ

x

11

�

2

+ �

∂x

∂x

12

σ

x

12

�

2

+ ⋯ + �

∂x

∂x

1N

σ

x

1N

�

2

(21)

100%

68%

50%

1

2

3

4

95,4%

99,7%

t

0,67

P

7

w którym:

σ

x

1i

– odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru.

Po przekształceniach otrzymamy:

σ

x�

= ��

1

N

σ

x

11

�

2

+ �

1

N

σ

x

12

�

2

+ ⋯ + �

1

N

σ

x

1N

�

2

(22)

Ponieważ szerokości rozkładów są takie same: σ

x

11

=

σ

x

12

=

σ

x

13

=…=

σ

x

1N

= σ to otrzymamy:

σ

x�

= ��

1

N

σ�

2

+ �

1

N

σ�

2

+ ⋯ + �

1

N

σ�

2

(23)

i dalej:

σ

x�

= �N �

1

N

σ�

2

=

σ

√N

(24)

Oznacza to, że w wyniku wielokrotnego powtarzania pomiaru wartości średniej podlegają
rozkładowi normalnemu z wartością prawdziwą X i szerokością rozkładu

σ

√N

, w którym

σ

wyznaczone jest równaniem (17).
Równanie Gaussa

dla średniej ma zatem postać:

f

X,σ

(x) =

1

σ√2π

e

−(x−X)

2

/2�

σ

√N

�

2

(25)

I

nterpretację którego przedstawia rysunek 7 dla N=10 [1]

Rys.7. Funkcje Gaussa dla pojedynczego pomiaru i

średniej z 10 pomiarów [1]

Jeżeli zatem wielokrotnie obliczymy średnią z 10 pomiarów do średniej opisane będą przez

rozkład normalny wokół X z szerokością 𝛔

𝐱�

=

𝛔

√𝐍

. Albo i inaczej

jeżeli znamy rozkład

średniej i następnie jednokrotnie wyznaczymy średnią na podstawie N pomiarów to możemy z

68% prawdopodobieństwem stwierdzić, że średnia znajduje się w przedziale X±𝛔

𝐱�

.

4. N

IEPEWNOŚĆ STANDARDOWA TYPU A u

A

Jeżeli wyniki pomiarów podlegają rozkładowi normalnemu to niepewność standardowa tupu

A jest odchyleniem standardowe średniej i wyznacza je równanie:

u

A

=

σ

√N

= �

1

N(N−1)

∑ (x

i

− x�)

2

N

i=1

(26)

W którym: N- liczba pomiarów, x

i

– pojedynczy pomiar,

x�- wartość średnia N pomiarów

8

5. S

POSÓB REALIZACJI ĆWICZENIA

1. Z

mierzyć za pomocą stopera 30 razy czas wyłączenia świecącej lampy za pomocą, stopera

2.

Narysować histogram otrzymanych wyników pomiarowych przyjmując przedział na osi

czasu δt= 0,2 s.

3.

Policzyć średnią oraz odchylenie standardowe średniej oraz pojedynczego pomiaru.

4.

Narysować funkcję Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej oraz przedstawić
analitycznie równanie Gaussa

5. Z

aznaczyć obszar wewnątrz którego znajduje się 95% wszystkich wyników dla

pojedynczego pomiaru i

średniej i zapisać poprawnie wynik.

6. P

RZYKŁADOWE PYTANIA SPRAWDZAJĄCE

1. Równanie Gaussa

dla pojedynczego pomiaru i znaczenie wielkości wchodzących w skład

tego równania

2. Naryso

wać przykładową funkcje Gaussa i zaznaczyć częstość pomiarów w przedziale <a b>

3. Interpretacja fizyczna równania Gaussa
4.

Różnica miedzy krzywą Gaussa dla pojedynczego pomiaru i średniej

5. Interpretacja fizyczna równania Gaussa dla

średniej

6. Co oznacza odchyleni

e standardowe σ, 2σ, 3σ dla pojedynczego pomiaru

7.

Co to jest niepewność standardowa typu A

7. LITERATURA

1. John.R. Taylor:

Wstęp do analizy błędu pomiarowego, PWN, Warszawa 1999

2. Danuta Turzeniecka:

Ocena niepewności wyniku pomiaru, Wydawnictwo Politechniki

Poznańskiej 1977
3. Jerzy Arendarski:

Niepewność pomiarów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 2006

Data wykonania instrukcji:

18.10.2010