45

VI. FUNKCJA WIELU ZMIENNYCH

6.1 Pochodna cząstkowa.

Niech dana będzie funkcja

(

)

z

x

x

x

f

n

=

,...,

,

2

1

; wówczas symbolami:

( )

( )

( )

y

x

f

x

f

y

x

f

x

f

y

x

f

x

f

n

x

n

x

x

,

...

,

,

'

'

2

'

1

2

1

≡

∂

∂

≡

∂

∂

≡

∂

∂

określamy tzw. pochodne cząstkowe

funkcji „f” względem odpowiedniej zmiennej x

1

, x

2

,…,x

n

.

Sposób obliczania funkcji pochodnych jest analogiczny do przypadku funkcji jednej
zmiennej; chcąc wyznaczyć funkcję pochodną do danej funkcji względem i – tej zmiennej,
pozostałe zmienne traktujemy jako „stałe”.

Rozpatrzmy funkcję dwóch zmiennych:

( )

z

y

x

f

=

,

; np.

( )

4

4

,

2

2

y

x

y

x

f

+

=

(poniższy

wykres)

y

x

x

x

≡

≡

2

1

;

:

Rozpatrzmy pochodne cząstkowe tej funkcji:

ƒ

x

x

f

2

1

=

∂

∂

, np. wybierzmy

1

0

=

y

(tutaj można wybrać dowolną wartość), wówczas

otrzymamy wzór funkcji jednej zmiennej „x” – jest to krawędź powstała przez
przecięcie naszej funkcji

( )

z

y

x

f

=

,

płaszczyzną równoległą do płaszczyzny XZ w

1

0

=

y

(wykres poniżej)

46

wykres

(

)

4

1

4

1

1

,

2

+

=

=

x

y

x

f

interpretacja geometryczna jest analogiczna jak dla funkcji jednej zmiennej; tzn.

x

x

f

2

1

=

∂

∂

jest „przepisem” na tangens kąta zawartego pomiędzy styczną do krzywej

„

(

)

4

4

,

2

0

2

0

y

x

y

x

f

+

=

” (krzywą wyznaczamy poprzez ustalenie - wybranie wartości „y

0

”, np.

tutaj 1

0

=

y

) w punkcie

(

)

0

0

; z

x

, a dodatnią półosią osi X;

ƒ

y

y

f

2

1

=

∂

∂

np. wybierzmy

1

0

=

x

(tutaj można wybrać dowolną wartość), wówczas

otrzymamy wzór funkcji jednej zmiennej „y” – jest to krawędź powstała przez
przecięcie naszej funkcji

( )

z

y

x

f

=

,

płaszczyzną równoległą do płaszczyzny YZ w

1

0

=

x

(wykres poniżej)

wykres

(

)

2

4

1

4

1

,

1

y

y

x

f

+

=

=

X

(

)

1

;

=

y

x

f

Y

(

)

y

x

f

;

1

=

x

dx

df

tg

2

1

=

=

α

α

y

dy

df

tg

2

1

=

=

β

β

47

interpretacja geometryczna jest analogiczna jak dla funkcji jednej zmiennej; tzn.

y

y

f

2

1

=

∂

∂

jest „przepisem” na tangens kąta zawartego pomiędzy styczną do krzywej

„

(

)

4

4

,

2

2

0

0

y

x

y

x

f

+

=

” ( krzywą wyznaczamy poprzez ustalenie - wybranie wartości „x

0

”, np.

tutaj 1

0

=

x

) w punkcie

(

)

0

0

; z

y

, a dodatnią półosią osi Y;

Ćwiczenia:

Określ wzór pochodnych cząstkowych do poniższych funkcji:

( )

( )

( )

( )

2

2

;

cos

sin

;

sin

cos

;

;

y

x

e

y

x

f

y

x

y

x

f

x

y

y

x

y

x

f

y

x

xy

y

x

f

xy

⋅

=

⋅

=

⋅

−

⋅

=

+

=

6.2 Pochodna cząstkowa wyższych rzędów.

Pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu funkcji

( )

z

y

x

f

=

,

nazywamy funkcje określone

nst.:

x

y

f

y

x

f

y

f

x

f

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

2

2

2

2

2

2

;

;

;

; dwie ostatnie nazywa się również pochodnymi

mieszanymi.
Np.:

( )

2

;

xy

e

y

x

f

=

⇒

⋅

=

∂

∂

2

2

y

e

x

f

xy

4

2

2

2

2

2

2

2

0

y

e

e

y

y

e

x

f

x

x

f

xy

xy

xy

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

=

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

⇒

⋅

=

∂

∂

xy

e

y

f

xy

2

2

2

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

xy

xy

xy

xy

e

x

y

x

e

x

e

xy

xy

e

y

f

y

y

f

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

=

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

=

∂

∂

∂

y

x

f

y

e

xy

e

y

e

y

xy

e

x

f

y

xy

xy

xy

xy

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

=

∂

∂

∂

∂

y

e

xy

e

y

e

xy

y

e

y

f

x

x

y

f

xy

xy

xy

xy

2

2

2

2

2

2

2

2

3

2

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

⋅

=

∂

∂

∂

∂

=

∂

∂

∂

Ćwiczenia:

Oblicz pochodne drugiego rzędu (wszystkie) nst. funkcji:

( )

(

)

( )

xy

y

x

f

y

x

y

x

f

sin

;

;

;

3

2

2

=

+

=

6.3 Ekstremum lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Warunek konieczny:
Jeżeli funkcja

( )

z

y

x

f

=

;

ma w punkcie

(

)

0

0

0

; y

x

P

=

ekstremum lokalne i istnieją w tym

punkcie obie pochodne cząstkowe pierwszego rzędu, to:

( )

( )

0

0

0

=

∂

∂

=

∂

∂

P

P

y

f

x

f

; przy czym punkt

(

)

0

0

0

; y

x

P

=

nazywamy punktem stacjonarnym.

48

Warunek dostateczny (wystarczający):

Jeżeli istnieją drugie pochodne funkcji

( )

z

y

x

f

=

;

oraz

( )

0

0

0

0

0

2

2

2

2

2

2

0

>

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

=

P

P

P

P

y

f

x

y

f

y

x

f

x

f

P

W

, to

funkcja

( )

z

y

x

f

=

;

ma w punkcie

(

)

0

0

0

; y

x

P

=

ekstremum lokalne.

ƒ

Jeżeli

0

2

2

<

∂

∂

x

f

, to funkcja

( )

z

y

x

f

=

;

ma w punkcie

(

)

0

0

0

; y

x

P

=

maksimum

ƒ

Jeżeli

0

2

2

>

∂

∂

x

f

, to funkcja

( )

z

y

x

f

=

;

ma w punkcie

(

)

0

0

0

; y

x

P

=

minimum

ƒ

Jeżeli

( )

0

0

<

P

W

, to ekstremum nie istnieje

ƒ

Jeżeli

( )

0

0

=

P

W

, to sytuacja jest nierozstrzygnięta

Przykład

: zbadać ekstremum lokalne funkcji

( )

x

y

x

y

x

f

4

;

2

4

−

+

=

1. stosujemy warunek konieczny istnienia ekstremum:

0

4

4

3

=

−

=

∂

∂

x

x

f

i

0

2

=

=

∂

∂

y

y

f

(

) ( )

0

;

1

;

0

2

0

4

4

0

0

0

3

=

=

⇒







=

=

−

⇒

y

x

P

y

x

2. stosujemy warunek dostateczny istnienia ekstremum:

( )

( )

12

12

0

;

1

2

2

2

0

=

=

∂

∂

x

x

f

P

( )

( )

2

2

0

;

1

2

2

0

=

=

∂

∂

P

y

f

( )

( )

0

0

0

;

1

2

0

=

=

∂

∂

∂

P

y

x

f

( )

( )

0

0

0

;

1

2

0

=

=

∂

∂

∂

P

x

y

f

( )

( )

0

24

2

0

0

12

0

;

1

0

>

=

=

= W

P

W

, zatem w punkcie

( )

0

;

1

0

=

P

istnieje ekstremum lokalne.

( )

( )

12

12

0

;

1

2

2

2

0

=

=

∂

∂

x

x

f

P

>0, czyli jest to minimum lokalne.

Ćwiczenia:

Zbadaj czy istnieją ekstrema lokalne oraz podaj ich charakter nst. funkcji:

( )

2

2

4

4

2

4

2

;

y

xy

x

y

x

y

x

f

−

+

−

+

=

( )

(

)

( )
( )
( )

y

x

xy

x

y

x

f

y

x

xy

y

x

f

x

xy

y

x

y

x

f

y

x

e

y

x

f

x

12

15

3

;

20

50

;

48

6

;

;

2

3

2

3

2

−

−

+

=

+

+

=

−

−

+

=

+

=

−