Matematyka A, kolokwium, 5 stycznia 2011, 18:05 – 19:55

Rozwia

,

zania r´o˙znych zada´

n maja

,

znale´z´c sie

,

na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be

,

da

,

r´o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elek-

tronicznych; je´sli kto´s ma, musi wy la

,

czy´

c i schowa´

c! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.

Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie

,

na twierdzenia, kt´ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´c

CAÃLE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. (10 pt.) Znale´z´c liczbe

,

r´o˙znych pierwiast´ow rzeczywistych r´ownania x

3

+ 3ax + a

3

= 0 w za-

le˙zno´sci od parametru a ∈ R .

2. (10 pt.) Znale´z´c granice

,

lim

x→0

(

√

1 − x

2

− cos x)e

sin(2x)−tg(3x)

ln(1 + 5x)(tg x − x) cos(tg x)

.

3. Niech f (x) =

(x+1)(x+7)

x−1

dla x 6= 1 . Wiadomo, ˙ze f

0

(x) =

(x+3)(x−5)

(x−1)

2

oraz f

00

(x) =

32

(x−1)

3

.

(2 pt.) Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest rosna

,

ca i te, na kt´orych jest maleja

,

ca.

(2 pt.) Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja f jest wypuk la i te na kt´orych jest wkle

,

s la,

znale´z´c punkty przegie

,

cia funkcji f .

(2 pt.) Znale´z´c asymptoty funkcji f .
(4 pt.) W oparciu o uzyskane informacje naszkicowa´c wykres funkcji f .

4. Niech ϕ(x) =

3

q

(x+1)(x+7)

x−1

dla x 6= 1 . Wiadomo, ˙ze dla x /

∈ {−1, 1, 5, −7} zachodza

,

wzory

ϕ

0

(x) =

1
3

(x + 3)(x − 5)

3

p

(x − 1)

−4

(x + 1)

−2

(x + 7)

−2

oraz

ϕ

00

(x) =

2
9

(111+324x+74x

2

+4x

3

−x

4

)

3

p

(x − 1)

−7

(x + 1)

−5

(x + 7)

−5

przy czym ϕ

00

(x) = 0 ⇔

x = x

1

≈ −0,3738 lub x = x

2

≈ 12,2555 , ϕ

(3)

(x

1

) 6= 0 6= ϕ

(3)

(x

2

) .

(1 pt.) Znale´z´c ϕ

0

(−1) oraz ϕ

0

(−7) lub wykaza´c, ˙ze te pochodne nie istnieja

,

.

(1 pt.) Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja ϕ ro´snie i te, na kt´orych maleje.
(2 pt.) Znale´z´c te przedzia ly, na kt´orych funkcja ϕ jest wypuk la i te na kt´orych jest wkle

,

s la,

znale´z´c punkty przegie

,

cia funkcji ϕ .

(2 pt.) Wykaza´c, ˙ze je´sli 13 < s < t , to ϕ

4
7

s +

3
7

t

>

4
7

ϕ(s) +

3
7

ϕ(t) .

(4 pt.) W oparciu o uzyskane informacje naszkicowa´c wykres funkcji ϕ .

5. (10 pt.) Z helikoptera znajduja

,

cego sie

,

na wysoko´sci 60 m nad powierzchnia morza wys lano

promie´

n ´swiat la do nurka znajduja

,

cego sie

,

na g le

,

boko´sci 40 m pod powierzchnia

,

wody. Odleg lo´s´c

w poziomie mie

,

dzy helikopterem i nurkiem jest r´owna 110 m. Przyjmujemy, ˙ze pre

,

dko´s´c

´swiat la w powietrzu to 300 000 km/s a — w wodzie to 225 000 km/s. Wiedza

,

c, ˙ze ´swiat lo

„wybiera” taka

,

droge

,

, na przebycie kt´orej potrzeba najmniej czasu, znale´z´c punkt, w kt´orym

promie´

n wszed l do wody, tzn. znale´z´c odleg lo´s´c tego punktu od punktu na powierzchni wody,

nad kt´orym znajduje sie

,

helikopter.

Mo˙ze warto co´s narysowa´c?

Wygodna

,

jednostka

,

w tym zadaniu jest 1 dam = 10 m (dekametr).

Pomno˙zy´c zawsze sie

,

zda

,

˙zy, a pomy´sle´c?

W dekametrach szukana odleg lo´s´c to niedu˙za ca lkowita.

Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie

,

mo˙ze przyda´c): (1 + x)

a

= 1 + ax +

a
2

x

2

+

a
3

x

3

+ · · · =

P

∞
n=0

a

n

x

n

,

sin x = x −

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+ · · · =

P

∞
n=0

(−1)

n x

2n+1

(2n+1)!

,

cos x

0

= − sin x

tg x = x +

1
3

x

3

+

2

15

x

5

+

17

315

x

7

+ · · · .