1

CAŁKI NIEOZNACZONE

Funkcją pierwotną funkcji

)

(x

f

w przedziale

b

x

a

≤

≤

nazywamy każdą funkcję

)

(x

F

taką, że )

(

)

(

x

f

x

F

=

′

dla każdego x z przedziału

b

x

a

≤

≤

.

Dwie funkcje mające w danym przedziale tę samą skończoną pochodną mogą się różnić co najwyżej o stałą.

Całką nieoznaczoną

funkcji

)

(x

f

oznaczaną symbolem

∫

,

)

( dx

x

f

nazywamy wyrażenie

C

x

F

+

)

(

, gdzie

)

(x

F

jest funkcją pierwotną funkcji

)

(x

f

, a C jest dowolną stałą.

Mamy więc

∫

+

=

C

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

, gdzie

).

(

)

(

x

f

x

F

=

′

Podstawowe wzory rachunku całkowego

1

.

.

1

,

1

1

∫

−

≠

+

+

=

+

a

C

a

x

dx

x

a

a

2.

∫

≠

+

=

0

,

ln

x

C

x

x

dx

Kilka szczególnych przypadków z różnym a to:

• dla

0

=

a

:

∫

+

=

C

x

dx

;

• dla

2

1

−

=

a

:

∫

>

+

=

0

2

x

C

x

x

dx

;

• dla

2

−

=

a

:

∫

≠

+

−

=

0

1

2

x

C

x

x

dx

.

3.

∫

+

=

.

C

e

dx

e

x

x

4.

∫

≠

>

+

=

1

,

0

,

ln

a

a

C

a

a

dx

a

x

x

. 5.

∫

+

=

.

sin

cos

C

x

xdx

6.

∫

+

−

=

.

cos

sin

C

x

xdx

7.

∫

≠

+

=

.

0

cos

cos

2

x

C

tgx

x

dx

8.

∫

≠

+

−

=

.

0

sin

,

sin

2

x

C

ctgx

x

dx

9.

∫

<

<

−

+

−

=

+

=

−

.

1

1

,'

arccos

arcsin

1

2

x

C

x

C

x

x

dx

10.

∫

+

−

=

+

=

+

'.

1

2

C

arcctgx

C

arctgx

x

dx

Własności całek nieoznaczonych:

1. Całka sumy równa się sumie całek, (addytywność całki względem sumy podcałkowej) tzn.

(

)

∫

∫

∫

+

=

+

.

)

(

)

(

)

(

)

(

dx

x

g

dx

x

f

dx

x

g

x

f

(podobnie jest z różnicą)

2. Stały czynnik można wynieść przed znak całki, tzn.:

∫

∫

≠

=

.

0

,

)

(

)

(

k

dx

x

f

k

dx

x

kf

Metody całkowania

1. (Całkowanie przez części ) Jeżeli

v

u, są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to

'

'

∫

∫

⋅

−

⋅

=

⋅

v

u

v

u

v

u

2. (Całkowanie przez podstawienie) Jeżeli dla

u

x

g

b

x

a

=

≤

≤

)

(

,

jest funkcją mającą ciągłą pochodną oraz

B

x

g

A

≤

≤

)

(

, a funkcja

)

(u

f

jest ciągła w przedziale

[ ]

B

A,

, to

∫

∫

=

′

,

)

(

)

(

))

(

(

du

u

f

dx

x

g

x

g

f

przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić

)

(x

g

u

=

Jeśli

∫

+

=

C

x

F

dx

x

f

)

(

)

(

to

∫

+

+

=

+

C

a

x

F

dx

a

x

f

)

(

)

(

2

CAŁKA OZNACZONA

Całkę oznaczoną funkcji f w przedziale

]

,

[ b

a

oznaczamy symbolem :

∫

b

a

dx

x

f

)

(

.

INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAŁKI OZNACZONEJ

Jeżeli w przedziale

]

,

[ b

a

jest

0

)

(

≥

x

f

to pole obszaru ograniczonego krzywą

)

((x

f

y

=

, odcinkiem osi Ox oraz

prostymi

b

x

a

x

=

= ,

równa się całce oznaczonej

∫

b

a

dx

x

f

)

(

. Jeżeli zaś w przedziale

]

,

[ b

a

jest

0

)

(

≤

x

f

, to

analogiczne pole równa się -

∫

b

a

dx

x

f

)

(

.

Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną. (Twierdzenie Newtona-Leibniza)

Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f , ciągłej w przedziale

]

,

[ b

a

, tzn. jeśli )

(

)

(

'

x

f

x

F

=

, to zachodzi wzór:

∫

−

=

b

a

a

F

b

F

dx

x

f

)

(

)

(

)

(

=

b
a

x

F )]

(

[

.

DŁUGOŚĆ ŁUKU KRZYWEJ
Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci

)

(x

f

y

=

, przy czym funkcja f ma w przedziale

b

x

a

≤

≤

ciągłą

pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:

dx

x

f

L

b

a

∫

+

=

2

)]

(

'

[

1

.

OBJĘTOŚĆ I POLE POWIERZCHNI BRYŁ OBROTOWYCH
Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu

)

(x

f

y

=

gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale

b

x

a

≤

≤

. Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą w wyniku obrotu łuku AB

dookoła osi Ox wyraża się wzorem:

∫

=

b

a

dx

x

f

V

2

)]

(

[

π

, gdy obrót wokół osi Oy:

dx

x

xf

V

b

a

∫

=

)

(

2

π

Pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB wokół osi Ox obliczamy według wzoru:

dx

x

f

x

f

S

b

a

∫

+

=

2

)]

(

'

[

1

|

)

(

|

2

π

.

.

CAŁKI NIEWŁAŚCIWE

CAŁKI FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH
Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale

h

c

x

a

−

≤

≤

,

0

>

h

oraz w każdym przedziale

0

,

>

≤

≤

+

k

b

x

k

c

i jeżeli istnieją granice:

0

lim

→

h

∫

−h

c

a

dx

x

f

)

(

oraz

∫

+

→

b

k

c

k

dx

x

f

)

(

lim

0

,

to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale

]

,

[ b

a

i oznaczamy symbolem

∫

b

a

dx

x

f

)

(

.

Jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.

CAŁKI OZNACZONE W PRZEDZIALE NIESKOŃCZONYM.

Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym

,

v

x

a

≤

≤

( a - ustalone, v -

dowolne ) oraz istnieje granica

∫

∞

→

v

a

v

dx

x

f

)

(

lim

, to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale

+∞

≤

≤ x

a

i oznaczamy symbolem

∫

+∞

a

dx

x

f

)

(

.

Analogicznie określa się znaczenie symbolu :

∫

∞

−

b

dx

x

f

)

(

jako granicę

∫

−∞

→

b

u

u

dx

x

f

)

(

lim

.