Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy
zredukowanej wierszowo
W. Kubacka, J. Brzozowski
18 grudnia 2012
Plan prezentacji
1
Sprowadzanie macierzy w postaci wierszowej schodkowej
2
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
3
Wyznaczanie rozwiązania szczególnego Ax = b
4
Wyznaczanie rozwiązań specjalnych Ax = 0
5
6
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
7
Rozwiązania równania Ax = b. Analiza przypadków.
8
Przykładowe zadania z rozwiązaniami
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
2 / 30
Macierz w postaci wierszowej schodkowej
Macierz schodkowa
Macierz schodkowa to macierz, której pierwsze niezerowe elementy kolejnych
niezerowych wierszy, znajdują się w coraz dalszych kolumnach. Powstałe wiersze
zerowe umieszcza się jako ostatnie. Każda macierz może zostać przekształcona do
postaci schodkowej za pomocą operacji elementarnych. Poniżej znajduje się
przykład macierzy schodkowej.
A =
4
3
0
2
0
2
2
7
0
0
−1
2
0
0
0
8
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
3 / 30
Równanie Ax = b. Przykład.
Przykład
Zapiszmy poniższy układ równań w postaci macierzy.
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= b
1
2x
1
+ 4x
2
+ 6x
3
+ 8x
4
= b
2
3x
1
+ 6x
2
+ 8x
3
+ 10x
4
= b
3
Wiersze po lewej stronie macierzy odpowiadają kolejnym lewym stronom równań.
Po prawej stronie zapisujemy kolumnę, której współczynnikami są wyrazy wolne
tudzież rozwiązania równań. Macierz w takiej postaci nazywamy macierzą
rozszerzoną.
[A|b] =
1
2
2
2
b
1
2
4
6
8
b
2
3
6
8
10
b
3
Należy zwrócić uwagę, że ostatni wiersz tej macierzy jest sumą dwóch
poprzednich wierszy. Dwie pierwsze kolumny określają ten sam kierunek.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
4 / 30
Równanie Ax = b. Przykład.
Przykład
Zapiszmy poniższy układ równań w postaci macierzy.
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= b
1
2x
1
+ 4x
2
+ 6x
3
+ 8x
4
= b
2
3x
1
+ 6x
2
+ 8x
3
+ 10x
4
= b
3
Wiersze po lewej stronie macierzy odpowiadają kolejnym lewym stronom równań.
Po prawej stronie zapisujemy kolumnę, której współczynnikami są wyrazy wolne
tudzież rozwiązania równań. Macierz w takiej postaci nazywamy macierzą
rozszerzoną.
[A|b] =
1
2
2
2
b
1
2
4
6
8
b
2
3
6
8
10
b
3
Należy zwrócić uwagę, że ostatni wiersz tej macierzy jest sumą dwóch
poprzednich wierszy. Dwie pierwsze kolumny określają ten sam kierunek.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
4 / 30
Równanie Ax = b. Przykład.
Przykład
Zapiszmy poniższy układ równań w postaci macierzy.
x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
= b
1
2x
1
+ 4x
2
+ 6x
3
+ 8x
4
= b
2
3x
1
+ 6x
2
+ 8x
3
+ 10x
4
= b
3
Wiersze po lewej stronie macierzy odpowiadają kolejnym lewym stronom równań.
Po prawej stronie zapisujemy kolumnę, której współczynnikami są wyrazy wolne
tudzież rozwiązania równań. Macierz w takiej postaci nazywamy macierzą
rozszerzoną.
[A|b] =
1
2
2
2
b
1
2
4
6
8
b
2
3
6
8
10
b
3
Należy zwrócić uwagę, że ostatni wiersz tej macierzy jest sumą dwóch
poprzednich wierszy. Dwie pierwsze kolumny określają ten sam kierunek.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
4 / 30
Korzystając z metody Gaussa eliminujemy tę macierz. Elementy osiowe zostały
oznaczone
niebieskim
kolorem.
[A|b] =
1
2
2
2
b
1
2
4
6
8
b
2
3
6
8
10
b
3
−→
1
2
2
2
b
1
0
0
2
4
b
2
− 2b
1
0
0
2
4
b
3
− 3b
1
−→
−→
1
2
2
2
b
1
0
0
2
4
b
2
− 2b
1
0
0
0
0
b
3
− b
2
− b
1
= U
Macierz została doprowadzona do formy schodkowej.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
5 / 30
Korzystając z metody Gaussa eliminujemy tę macierz. Elementy osiowe zostały
oznaczone
niebieskim
kolorem.
[A|b] =
1
2
2
2
b
1
2
4
6
8
b
2
3
6
8
10
b
3
−→
1
2
2
2
b
1
0
0
2
4
b
2
− 2b
1
0
0
2
4
b
3
− 3b
1
−→
−→
1
2
2
2
b
1
0
0
2
4
b
2
− 2b
1
0
0
0
0
b
3
− b
2
− b
1
= U
Macierz została doprowadzona do formy schodkowej.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
5 / 30
Korzystając z metody Gaussa eliminujemy tę macierz. Elementy osiowe zostały
oznaczone
niebieskim
kolorem.
[A|b] =
1
2
2
2
b
1
2
4
6
8
b
2
3
6
8
10
b
3
−→
1
2
2
2
b
1
0
0
2
4
b
2
− 2b
1
0
0
2
4
b
3
− 3b
1
−→
−→
1
2
2
2
b
1
0
0
2
4
b
2
− 2b
1
0
0
0
0
b
3
− b
2
− b
1
= U
Macierz została doprowadzona do formy schodkowej.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
5 / 30
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
b =
b
1
b
2
b
3
=
1
5
17
NIE!
Podstawiając go do naszej macierzy U otrzymamy sprzeczne ostatnie
równanie:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
11
Taki wektor b nie może być rozwiązniem tego układu.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
6 / 30
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
b =
b
1
b
2
b
3
=
1
5
17
NIE!
Podstawiając go do naszej macierzy U otrzymamy sprzeczne ostatnie
równanie:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
11
Taki wektor b nie może być rozwiązniem tego układu.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
6 / 30
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
b =
b
1
b
2
b
3
=
1
5
17
NIE!
Podstawiając go do naszej macierzy U otrzymamy sprzeczne ostatnie
równanie:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
11
Taki wektor b nie może być rozwiązniem tego układu.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
6 / 30
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
b =
b
1
b
2
b
3
=
1
5
17
NIE!
Podstawiając go do naszej macierzy U otrzymamy sprzeczne ostatnie
równanie:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
11
Taki wektor b nie może być rozwiązniem tego układu.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
6 / 30
Rozwiązywalność równania Ax = b ze względu na b
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
b =
b
1
b
2
b
3
=
1
5
17
NIE!
Podstawiając go do naszej macierzy U otrzymamy sprzeczne ostatnie
równanie:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
11
Taki wektor b nie może być rozwiązniem tego układu.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
6 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
b =
b
1
b
2
b
3
=
1
5
6
TAK!
Podstawiając go do zredukowanej macierzy U otrzymujemy prawdziwe
ostatnie równanie:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Taki wektor b może być rozwiązaniem równania macierzowego Ax = b. Wniosek:
Rozwiązywalność Ax = b
Ax = b jest rozwiązywalne wtedy i tylko wtedy, gdy wektor b należy do
przestrzeni kolumnowej C (A) macierzy A, innymi słowy: wektor b jest kombinacją
liniową kolumn macierzy A.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
7 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
b =
b
1
b
2
b
3
=
1
5
6
TAK!
Podstawiając go do zredukowanej macierzy U otrzymujemy prawdziwe
ostatnie równanie:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Taki wektor b może być rozwiązaniem równania macierzowego Ax = b. Wniosek:
Rozwiązywalność Ax = b
Ax = b jest rozwiązywalne wtedy i tylko wtedy, gdy wektor b należy do
przestrzeni kolumnowej C (A) macierzy A, innymi słowy: wektor b jest kombinacją
liniową kolumn macierzy A.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
7 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
b =
b
1
b
2
b
3
=
1
5
6
TAK!
Podstawiając go do zredukowanej macierzy U otrzymujemy prawdziwe
ostatnie równanie:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Taki wektor b może być rozwiązaniem równania macierzowego Ax = b. Wniosek:
Rozwiązywalność Ax = b
Ax = b jest rozwiązywalne wtedy i tylko wtedy, gdy wektor b należy do
przestrzeni kolumnowej C (A) macierzy A, innymi słowy: wektor b jest kombinacją
liniową kolumn macierzy A.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
7 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
b =
b
1
b
2
b
3
=
1
5
6
TAK!
Podstawiając go do zredukowanej macierzy U otrzymujemy prawdziwe
ostatnie równanie:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Taki wektor b może być rozwiązaniem równania macierzowego Ax = b. Wniosek:
Rozwiązywalność Ax = b
Ax = b jest rozwiązywalne wtedy i tylko wtedy, gdy wektor b należy do
przestrzeni kolumnowej C (A) macierzy A, innymi słowy: wektor b jest kombinacją
liniową kolumn macierzy A.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
7 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
b =
b
1
b
2
b
3
=
1
5
6
TAK!
Podstawiając go do zredukowanej macierzy U otrzymujemy prawdziwe
ostatnie równanie:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Taki wektor b może być rozwiązaniem równania macierzowego Ax = b. Wniosek:
Rozwiązywalność Ax = b
Ax = b jest rozwiązywalne wtedy i tylko wtedy, gdy wektor b należy do
przestrzeni kolumnowej C (A) macierzy A, innymi słowy: wektor b jest kombinacją
liniową kolumn macierzy A.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
7 / 30
Pytanie
Czy rozwiązaniem Ax = b może być poniższy wektor b?
b =
b
1
b
2
b
3
=
1
5
6
TAK!
Podstawiając go do zredukowanej macierzy U otrzymujemy prawdziwe
ostatnie równanie:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Taki wektor b może być rozwiązaniem równania macierzowego Ax = b. Wniosek:
Rozwiązywalność Ax = b
Ax = b jest rozwiązywalne wtedy i tylko wtedy, gdy wektor b należy do
przestrzeni kolumnowej C (A) macierzy A, innymi słowy: wektor b jest kombinacją
liniową kolumn macierzy A.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
7 / 30
Rodzaje kolumn
Wróćmy do zredukowanej macierzy z przykładu:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Kolumny zaznaczone kolorem
niebieskim
nazywamy kolumnami osiowymi,
ponieważ zawarte są w nich elementy osiowe.Kolumny zaznaczone kolorem
czerwonym
nazywamy kolumnami swobodnymi, ponieważ nie zawierają
elementów osiowych.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
8 / 30
Rodzaje kolumn
Wróćmy do zredukowanej macierzy z przykładu:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Kolumny zaznaczone kolorem
niebieskim
nazywamy kolumnami osiowymi,
ponieważ zawarte są w nich elementy osiowe.
Kolumny zaznaczone kolorem
czerwonym
nazywamy kolumnami swobodnymi, ponieważ nie zawierają
elementów osiowych.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
8 / 30
Rodzaje kolumn
Wróćmy do zredukowanej macierzy z przykładu:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Kolumny zaznaczone kolorem
niebieskim
nazywamy kolumnami osiowymi,
ponieważ zawarte są w nich elementy osiowe.Kolumny zaznaczone kolorem
czerwonym
nazywamy kolumnami swobodnymi, ponieważ nie zawierają
elementów osiowych.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
8 / 30
Wyznaczanie rozwiązania szczególnego
Żeby uzyskać rozwiązanie szczególne x
p
rozwiązujemy Ax = b podstawiając za
swobodne zmienne dowolną liczbę. Najwygodniejszym i najszybszym rozwiązaniem
będzie podstawienie za zmienne swobodne liczbę 0.
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Zmiennymi swobodnymi w powyższej macierzy są elementy x
2
i x
4
, ponieważ
znajdują się w kolumnach swobodnych. Można sformułować wniosek:
Zmienne swobodne i osiowe
Zmienne, które odpowiadają kolumnom osiowym nazywamy zmiennymi osiowymi.
Zmienne, które odpowiadają kolumnom swobodnym definiujemy jako zmienne
swobodne i są dowolnymi liczbami.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
9 / 30
Wyznaczanie rozwiązania szczególnego
Żeby uzyskać rozwiązanie szczególne x
p
rozwiązujemy Ax = b podstawiając za
swobodne zmienne dowolną liczbę. Najwygodniejszym i najszybszym rozwiązaniem
będzie podstawienie za zmienne swobodne liczbę 0.
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Zmiennymi swobodnymi w powyższej macierzy są elementy x
2
i x
4
, ponieważ
znajdują się w kolumnach swobodnych. Można sformułować wniosek:
Zmienne swobodne i osiowe
Zmienne, które odpowiadają kolumnom osiowym nazywamy zmiennymi osiowymi.
Zmienne, które odpowiadają kolumnom swobodnym definiujemy jako zmienne
swobodne i są dowolnymi liczbami.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
9 / 30
Wyznaczanie rozwiązania szczególnego
Żeby uzyskać rozwiązanie szczególne x
p
rozwiązujemy Ax = b podstawiając za
swobodne zmienne dowolną liczbę. Najwygodniejszym i najszybszym rozwiązaniem
będzie podstawienie za zmienne swobodne liczbę 0.
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Zmiennymi swobodnymi w powyższej macierzy są elementy x
2
i x
4
, ponieważ
znajdują się w kolumnach swobodnych. Można sformułować wniosek:
Zmienne swobodne i osiowe
Zmienne, które odpowiadają kolumnom osiowym nazywamy zmiennymi osiowymi.
Zmienne, które odpowiadają kolumnom swobodnym definiujemy jako zmienne
swobodne i są dowolnymi liczbami.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
9 / 30
Zatem zapisujemy, że:
x
2
= 0
x
4
= 0
Dzięki temu możemy sformułować następujący układ równań:
x
1
+ 2x
3
= 1
2x
3
= 3
Z tego z łatwością obliczamy, że:
x
1
= −2
x
3
=
3
2
Mając wyliczone wszystkie zmienne możemy zapisać wektor x
p
:
x
p
=
x
1
x
2
x
3
x
4
=
−2
0
3
2
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
10 / 30
Zatem zapisujemy, że:
x
2
= 0
x
4
= 0
Dzięki temu możemy sformułować następujący układ równań:
x
1
+ 2x
3
= 1
2x
3
= 3
Z tego z łatwością obliczamy, że:
x
1
= −2
x
3
=
3
2
Mając wyliczone wszystkie zmienne możemy zapisać wektor x
p
:
x
p
=
x
1
x
2
x
3
x
4
=
−2
0
3
2
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
10 / 30
Zatem zapisujemy, że:
x
2
= 0
x
4
= 0
Dzięki temu możemy sformułować następujący układ równań:
x
1
+ 2x
3
= 1
2x
3
= 3
Z tego z łatwością obliczamy, że:
x
1
= −2
x
3
=
3
2
Mając wyliczone wszystkie zmienne możemy zapisać wektor x
p
:
x
p
=
x
1
x
2
x
3
x
4
=
−2
0
3
2
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
10 / 30
Zatem zapisujemy, że:
x
2
= 0
x
4
= 0
Dzięki temu możemy sformułować następujący układ równań:
x
1
+ 2x
3
= 1
2x
3
= 3
Z tego z łatwością obliczamy, że:
x
1
= −2
x
3
=
3
2
Mając wyliczone wszystkie zmienne możemy zapisać wektor x
p
:
x
p
=
x
1
x
2
x
3
x
4
=
−2
0
3
2
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
10 / 30
Przestrzeń zerowa macierzy
Wróćmy do zredukowanej postaci macierzy z pierwszego przykładu:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Mając macierz w tej postaci możemy określić przestrzeń zerową tej macierzy.
Będzie ona płaszczyzną w przestrzeni R
4
. Ma ona 2 wymiary, ponieważ tyle jest
zmiennych swobodnych.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
11 / 30
Przestrzeń zerowa macierzy
Wróćmy do zredukowanej postaci macierzy z pierwszego przykładu:
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Mając macierz w tej postaci możemy określić przestrzeń zerową tej macierzy.
Będzie ona płaszczyzną w przestrzeni R
4
. Ma ona 2 wymiary, ponieważ tyle jest
zmiennych swobodnych.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
11 / 30
Wyznaczanie rozwiązań specjalnych
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Rozważmy teraz równanie Ax = 0. Jak wiadomo z poprzednich slajdów za
zmienne swobodne (w tym wypadku x
2
, x
4
) można podstawić dowolne liczby.
Rozważymy dwa specjalne przypadki. W pierwszym x
2
= 1, x
4
= 0, w drugim, na
odwrót: x
2
= 0, x
4
= 1. Tym przypadkom odpowiadają rozwiązania specjalne
(oznaczone przez x
s
), które uzyskujemy dzięki metodzie podstawiania wstecz.
x
s1
=
−2
1
0
0
x
s2
=
2
0
−2
1
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
12 / 30
Wyznaczanie rozwiązań specjalnych
U =
1
2
2
2
1
0
0
2
4
3
0
0
0
0
0
Rozważmy teraz równanie Ax = 0. Jak wiadomo z poprzednich slajdów za
zmienne swobodne (w tym wypadku x
2
, x
4
) można podstawić dowolne liczby.
Rozważymy dwa specjalne przypadki. W pierwszym x
2
= 1, x
4
= 0, w drugim, na
odwrót: x
2
= 0, x
4
= 1. Tym przypadkom odpowiadają rozwiązania specjalne
(oznaczone przez x
s
), które uzyskujemy dzięki metodzie podstawiania wstecz.
x
s1
=
−2
1
0
0
x
s2
=
2
0
−2
1
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
12 / 30
Pełne rozwiązanie Ax = b
Znaleźliśmy już szczególne rozwiązanie równania Ax = b oraz dwa rozwiązania
specjalne. Żeby obliczyć pełne rozwiązanie (oznaczymy je literą x) równania
Ax = b wystarczy dodać do siebie rozwiązanie szczególne oraz rozwiązania
specjalne pomnożone przez dowolny skalar - wtedy do rozwiązania szczególnego
dodamy wszystkie wektory z przestrzeni zerowej.
Ax
p
= b
+Ax
n
= 0
A(x
p
+ x
n
) = b
Powyższy układ równań jest dowodem na to, że dodanie czegokolwiek z
przestrzeni zerowej nie zmieni wyniku. Zatem pełne rozwiązanie macierzy z
przykładu będzie miało postać:
x =
−2
0
3
2
0
+ c
1
−2
1
0
0
+ c
2
2
0
−2
1
|
{z
}
x
n
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
13 / 30
Pełne rozwiązanie Ax = b
Znaleźliśmy już szczególne rozwiązanie równania Ax = b oraz dwa rozwiązania
specjalne. Żeby obliczyć pełne rozwiązanie (oznaczymy je literą x) równania
Ax = b wystarczy dodać do siebie rozwiązanie szczególne oraz rozwiązania
specjalne pomnożone przez dowolny skalar - wtedy do rozwiązania szczególnego
dodamy wszystkie wektory z przestrzeni zerowej.
Ax
p
= b
+Ax
n
= 0
A(x
p
+ x
n
) = b
Powyższy układ równań jest dowodem na to, że dodanie czegokolwiek z
przestrzeni zerowej nie zmieni wyniku. Zatem pełne rozwiązanie macierzy z
przykładu będzie miało postać:
x =
−2
0
3
2
0
+ c
1
−2
1
0
0
+ c
2
2
0
−2
1
|
{z
}
x
n
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
13 / 30
Pełne rozwiązanie Ax = b
Znaleźliśmy już szczególne rozwiązanie równania Ax = b oraz dwa rozwiązania
specjalne. Żeby obliczyć pełne rozwiązanie (oznaczymy je literą x) równania
Ax = b wystarczy dodać do siebie rozwiązanie szczególne oraz rozwiązania
specjalne pomnożone przez dowolny skalar - wtedy do rozwiązania szczególnego
dodamy wszystkie wektory z przestrzeni zerowej.
Ax
p
= b
+Ax
n
= 0
A(x
p
+ x
n
) = b
Powyższy układ równań jest dowodem na to, że dodanie czegokolwiek z
przestrzeni zerowej nie zmieni wyniku. Zatem pełne rozwiązanie macierzy z
przykładu będzie miało postać:
x =
−2
0
3
2
0
+ c
1
−2
1
0
0
+ c
2
2
0
−2
1
|
{z
}
x
n
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
13 / 30
Pełne rozwiązanie Ax = b
Znaleźliśmy już szczególne rozwiązanie równania Ax = b oraz dwa rozwiązania
specjalne. Żeby obliczyć pełne rozwiązanie (oznaczymy je literą x) równania
Ax = b wystarczy dodać do siebie rozwiązanie szczególne oraz rozwiązania
specjalne pomnożone przez dowolny skalar - wtedy do rozwiązania szczególnego
dodamy wszystkie wektory z przestrzeni zerowej.
Ax
p
= b
+Ax
n
= 0
A(x
p
+ x
n
) = b
Powyższy układ równań jest dowodem na to, że dodanie czegokolwiek z
przestrzeni zerowej nie zmieni wyniku. Zatem pełne rozwiązanie macierzy z
przykładu będzie miało postać:
x =
−2
0
3
2
0
+ c
1
−2
1
0
0
+ c
2
2
0
−2
1
|
{z
}
x
n
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
13 / 30
Graficzne przedstawienie rozwiązań Ax = b w R
4
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
14 / 30
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
W pierwszym przykładzie eliminowaliśmy metodą Gaussa macierz A
doprowadzając ją do postaci schodkowej górnotrójkątnej U.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Możemy kontynuować tę eliminację korzystając z metody Jordana.
U =
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
2
2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Macierz w takiej postaci nazywamy macierzą schodkową wierszowo
zredukowaną.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
15 / 30
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
W pierwszym przykładzie eliminowaliśmy metodą Gaussa macierz A
doprowadzając ją do postaci schodkowej górnotrójkątnej U.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Możemy kontynuować tę eliminację korzystając z metody Jordana.
U =
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
2
2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Macierz w takiej postaci nazywamy macierzą schodkową wierszowo
zredukowaną.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
15 / 30
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
W pierwszym przykładzie eliminowaliśmy metodą Gaussa macierz A
doprowadzając ją do postaci schodkowej górnotrójkątnej U.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Możemy kontynuować tę eliminację korzystając z metody Jordana.
U =
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
2
2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Macierz w takiej postaci nazywamy macierzą schodkową wierszowo
zredukowaną.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
15 / 30
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
W pierwszym przykładzie eliminowaliśmy metodą Gaussa macierz A
doprowadzając ją do postaci schodkowej górnotrójkątnej U.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Możemy kontynuować tę eliminację korzystając z metody Jordana.
U =
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
2
2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Macierz w takiej postaci nazywamy macierzą schodkową wierszowo
zredukowaną.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
15 / 30
Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
W pierwszym przykładzie eliminowaliśmy metodą Gaussa macierz A
doprowadzając ją do postaci schodkowej górnotrójkątnej U.
A =
1
2
2
2
2
4
6
8
3
6
8
10
−→
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
= U
Możemy kontynuować tę eliminację korzystając z metody Jordana.
U =
1
2
2
2
0
0
2
4
0
0
0
0
−→
1
2
2
2
0
0
1
2
0
0
0
0
−→
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
= R
Macierz w takiej postaci nazywamy macierzą schodkową wierszowo
zredukowaną.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
15 / 30
Macierz schodkowa wierszowo zredukowana
To macierz schodkowa, która spełnia następujące warunki:
jej pierwszym niezerowym elementem kolejnych wierszy (współczynnikiem
wiodącym) jest jedynka,
jeśli wyraz a
ij
znajduje się w tej samej kolumnie, co pewien współczynnik
wiodący i w wierszu powyżej tego współczynnika, to a
ij
= 0.
Przykład takiej macierzy zamieszczony jest poniżej:
R =
1
0
0
5
0
0
1
0
1
3
0
0
1
2
4
0
0
0
0
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
16 / 30
Określanie rzędu macierzy schodkowej
Rząd macierzy schodkowej
Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie jej schodków, czyli niezerowych
wierszy.
Przykładowo, rząd macierzy R będzie wynosił 2, ponieważ ma 2 niezerowe wiersze.
R =
1
2
0
−2
0
0
1
2
0
0
0
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
17 / 30
Rozwiązania Ax = b - analiza przypadków
Ilość rozwiązań jakie możemy znaleźć w macierzy jest uzależniona od m x n oraz
od rzędu r macierzy. Wniosek z tego jest następujący: możemy ocenić ile
rozwiązań otrzymamy bez wykonywania żadnych rachunków, wystarczy
przeanalizować kształt i rząd macierzy. Przeanalizujemy 4 przypadki.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
18 / 30
Macierz typu r = m = n
Rozważmy macierz typu r = m = n. Literą r oznaczamy rząd macierzy, m liczbę
kolumn, a n liczbę wierszy. Kolumny i wiersze są liniowo niezależne. Weźmy
przykład:
A =
1
2
3
1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa na tej macierzy uzyskamy macierz
identycznościową I.
R = I =
1
0
0
1
Taka macierz ma element osiowy w każdej kolumnie, więc tym samym nie posiada
zmiennych swobodnych. Tym samym równanie typu Ax = b będzie miało w takim
przypadku zawsze jedno rozwiązanie.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
19 / 30
Macierz typu r = m = n
Rozważmy macierz typu r = m = n. Literą r oznaczamy rząd macierzy, m liczbę
kolumn, a n liczbę wierszy. Kolumny i wiersze są liniowo niezależne. Weźmy
przykład:
A =
1
2
3
1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa na tej macierzy uzyskamy macierz
identycznościową I.
R = I =
1
0
0
1
Taka macierz ma element osiowy w każdej kolumnie, więc tym samym nie posiada
zmiennych swobodnych. Tym samym równanie typu Ax = b będzie miało w takim
przypadku zawsze jedno rozwiązanie.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
19 / 30
Macierz typu r = m = n
Rozważmy macierz typu r = m = n. Literą r oznaczamy rząd macierzy, m liczbę
kolumn, a n liczbę wierszy. Kolumny i wiersze są liniowo niezależne. Weźmy
przykład:
A =
1
2
3
1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa na tej macierzy uzyskamy macierz
identycznościową I.
R = I =
1
0
0
1
Taka macierz ma element osiowy w każdej kolumnie, więc tym samym nie posiada
zmiennych swobodnych. Tym samym równanie typu Ax = b będzie miało w takim
przypadku zawsze jedno rozwiązanie.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
19 / 30
Macierz typu r = n < m
Rozważmy przykład macierzy typu r = n < m. Kolumny są liniowo niezależne:
A =
1
3
2
1
6
1
5
1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa otrzymujemy macierz, która w górnej
części posiada macierz identycznościową I, a w dolnej same zera:
R =
1
0
0
1
0
0
0
0
=
I
0
Taka macierz ma element osiowy w każdej kolumnie, więc tym samym nie posiada
zmiennych swobodnych. Równanie typu Ax = b będzie miało w takim przypadku
zero lub jedno rozwiązanie.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
20 / 30
Macierz typu r = n < m
Rozważmy przykład macierzy typu r = n < m. Kolumny są liniowo niezależne:
A =
1
3
2
1
6
1
5
1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa otrzymujemy macierz, która w górnej
części posiada macierz identycznościową I, a w dolnej same zera:
R =
1
0
0
1
0
0
0
0
=
I
0
Taka macierz ma element osiowy w każdej kolumnie, więc tym samym nie posiada
zmiennych swobodnych. Równanie typu Ax = b będzie miało w takim przypadku
zero lub jedno rozwiązanie.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
20 / 30
Macierz typu r = n < m
Rozważmy przykład macierzy typu r = n < m. Kolumny są liniowo niezależne:
A =
1
3
2
1
6
1
5
1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa otrzymujemy macierz, która w górnej
części posiada macierz identycznościową I, a w dolnej same zera:
R =
1
0
0
1
0
0
0
0
=
I
0
Taka macierz ma element osiowy w każdej kolumnie, więc tym samym nie posiada
zmiennych swobodnych. Równanie typu Ax = b będzie miało w takim przypadku
zero lub jedno rozwiązanie.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
20 / 30
Macierz typu r = m < n
Rozważmy przykład macierzy typu r = m < n. Wiersze liniowo niezależne:
A =
1
2
6
5
3
1
1
1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa otrzymujemy macierz, której kolumny
oraz wiersze osiowe zawierają macierz identycznościową I, a kolumny swobodne
macierz składającą się z pewnych liczb - tzw. macierz swobodną oznaczoną literą
F.
R =
1
0
−4
5
−3
5
0
1
17
5
14
5
=
I
F
Równanie typu Ax = b przy takiej macierzy A będzie miało nieskończenie wiele
rozwiązań.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
21 / 30
Macierz typu r = m < n
Rozważmy przykład macierzy typu r = m < n. Wiersze liniowo niezależne:
A =
1
2
6
5
3
1
1
1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa otrzymujemy macierz, której kolumny
oraz wiersze osiowe zawierają macierz identycznościową I, a kolumny swobodne
macierz składającą się z pewnych liczb - tzw. macierz swobodną oznaczoną literą
F.
R =
1
0
−4
5
−3
5
0
1
17
5
14
5
=
I
F
Równanie typu Ax = b przy takiej macierzy A będzie miało nieskończenie wiele
rozwiązań.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
21 / 30
Macierz typu r = m < n
Rozważmy przykład macierzy typu r = m < n. Wiersze liniowo niezależne:
A =
1
2
6
5
3
1
1
1
Po dokonaniu eliminacji Jordana-Gaussa otrzymujemy macierz, której kolumny
oraz wiersze osiowe zawierają macierz identycznościową I, a kolumny swobodne
macierz składającą się z pewnych liczb - tzw. macierz swobodną oznaczoną literą
F.
R =
1
0
−4
5
−3
5
0
1
17
5
14
5
=
I
F
Równanie typu Ax = b przy takiej macierzy A będzie miało nieskończenie wiele
rozwiązań.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
21 / 30
Macierz typu r < m, r < n
Rozpatrzmy macierz, której rząd jest mniejszy zarówno od ilości kolumn jak i ilości
wierszy i której wiersze i kolumny są liniowo zależne:
A =
1
1
3
1
2
1
0
−1
3
2
3
0
Po dokonaniu elimacji metodą Jordana-Gaussa uzyskaliśmy macierz, której
kolumny oraz wiersze osiowe zawierają macierz identycznościową, a kolumny
swobodne macierz swobodną, a ostatni wiersz jest zerowy:
R =
1
0
−3
−2
0
1
6
3
0
0
0
0
=
I
F
0
0
Równanie Ax = b z macierzą takiego typu nie będzie miało rozwiązań w ogóle
lub będzie miało ich nieskończenie wiele.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
22 / 30
Macierz typu r < m, r < n
Rozpatrzmy macierz, której rząd jest mniejszy zarówno od ilości kolumn jak i ilości
wierszy i której wiersze i kolumny są liniowo zależne:
A =
1
1
3
1
2
1
0
−1
3
2
3
0
Po dokonaniu elimacji metodą Jordana-Gaussa uzyskaliśmy macierz, której
kolumny oraz wiersze osiowe zawierają macierz identycznościową, a kolumny
swobodne macierz swobodną, a ostatni wiersz jest zerowy:
R =
1
0
−3
−2
0
1
6
3
0
0
0
0
=
I
F
0
0
Równanie Ax = b z macierzą takiego typu nie będzie miało rozwiązań w ogóle
lub będzie miało ich nieskończenie wiele.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
22 / 30
Macierz typu r < m, r < n
Rozpatrzmy macierz, której rząd jest mniejszy zarówno od ilości kolumn jak i ilości
wierszy i której wiersze i kolumny są liniowo zależne:
A =
1
1
3
1
2
1
0
−1
3
2
3
0
Po dokonaniu elimacji metodą Jordana-Gaussa uzyskaliśmy macierz, której
kolumny oraz wiersze osiowe zawierają macierz identycznościową, a kolumny
swobodne macierz swobodną, a ostatni wiersz jest zerowy:
R =
1
0
−3
−2
0
1
6
3
0
0
0
0
=
I
F
0
0
Równanie Ax = b z macierzą takiego typu nie będzie miało rozwiązań w ogóle
lub będzie miało ich nieskończenie wiele.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
22 / 30
Zadanie 1
Znajdź wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ x
4
= 2
x
1
− 2x
2
+ x
3
− x
4
= −1
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 3x
4
= 5
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
[A|b] =
1
−2
1
1
2
1
−2
1
−1
−1
1
−2
1
3
5
−→
1
−2
1
1
2
0
0
0
−2
−3
0
0
0
2
3
−→
−→
1
−2
1
1
2
0
0
0
−2
−3
0
0
0
0
0
= U
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
23 / 30
Zadanie 1
Znajdź wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ x
4
= 2
x
1
− 2x
2
+ x
3
− x
4
= −1
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 3x
4
= 5
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
[A|b] =
1
−2
1
1
2
1
−2
1
−1
−1
1
−2
1
3
5
−→
1
−2
1
1
2
0
0
0
−2
−3
0
0
0
2
3
−→
−→
1
−2
1
1
2
0
0
0
−2
−3
0
0
0
0
0
= U
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
23 / 30
Zadanie 1
Znajdź wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ x
4
= 2
x
1
− 2x
2
+ x
3
− x
4
= −1
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 3x
4
= 5
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
[A|b] =
1
−2
1
1
2
1
−2
1
−1
−1
1
−2
1
3
5
−→
1
−2
1
1
2
0
0
0
−2
−3
0
0
0
2
3
−→
−→
1
−2
1
1
2
0
0
0
−2
−3
0
0
0
0
0
= U
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
23 / 30
Zadanie 1
Znajdź wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ x
4
= 2
x
1
− 2x
2
+ x
3
− x
4
= −1
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 3x
4
= 5
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
[A|b] =
1
−2
1
1
2
1
−2
1
−1
−1
1
−2
1
3
5
−→
1
−2
1
1
2
0
0
0
−2
−3
0
0
0
2
3
−→
−→
1
−2
1
1
2
0
0
0
−2
−3
0
0
0
0
0
= U
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
23 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
2
= 0
x
3
= 0
,
x
1
+ x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
1
2
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
p
=
1
2
0
0
3
2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
2
= 1
x
3
= 0
,
x
1
− 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
3
2
x
2
= 1
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
n1
=
3
2
1
0
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
2
= 0
x
3
= 0
,
x
1
+ x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
1
2
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
p
=
1
2
0
0
3
2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
2
= 1
x
3
= 0
,
x
1
− 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
3
2
x
2
= 1
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
n1
=
3
2
1
0
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
2
= 0
x
3
= 0
,
x
1
+ x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
1
2
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒
x
p
=
1
2
0
0
3
2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
2
= 1
x
3
= 0
,
x
1
− 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
3
2
x
2
= 1
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
n1
=
3
2
1
0
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
2
= 0
x
3
= 0
,
x
1
+ x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
1
2
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
p
=
1
2
0
0
3
2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
2
= 1
x
3
= 0
,
x
1
− 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
3
2
x
2
= 1
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
n1
=
3
2
1
0
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
2
= 0
x
3
= 0
,
x
1
+ x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
1
2
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
p
=
1
2
0
0
3
2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
2
= 1
x
3
= 0
,
x
1
− 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
3
2
x
2
= 1
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
n1
=
3
2
1
0
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
2
= 0
x
3
= 0
,
x
1
+ x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
1
2
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
p
=
1
2
0
0
3
2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
2
= 1
x
3
= 0
,
x
1
− 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
3
2
x
2
= 1
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
n1
=
3
2
1
0
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
2
= 0
x
3
= 0
,
x
1
+ x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
1
2
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
p
=
1
2
0
0
3
2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
2
= 1
x
3
= 0
,
x
1
− 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
3
2
x
2
= 1
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
n1
=
3
2
1
0
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
2
= 0
x
3
= 0
,
x
1
+ x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
1
2
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
p
=
1
2
0
0
3
2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
2
= 1
x
3
= 0
,
x
1
− 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
3
2
x
2
= 1
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒
x
n1
=
3
2
1
0
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
24 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
2
= 0
x
3
= 0
,
x
1
+ x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
1
2
x
2
= 0
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
p
=
1
2
0
0
3
2
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
2
= 1
x
3
= 0
,
x
1
− 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
=
3
2
x
2
= 1
x
3
= 0
x
4
=
3
2
=⇒ x
n1
=
3
2
1
0
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
24 / 30
II.
x
2
= 0
x
3
= 1
,
x
1
+ 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
= −
1
2
x
2
= 0
x
3
= 1
x
4
=
3
2
=⇒ x
n2
=
−
1
2
0
1
3
2
Pełne rozwiązanie
x =
1
2
0
0
3
2
+ c
1
3
2
1
0
3
2
+ c
2
−
1
2
0
1
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
25 / 30
II.
x
2
= 0
x
3
= 1
,
x
1
+ 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
= −
1
2
x
2
= 0
x
3
= 1
x
4
=
3
2
=⇒ x
n2
=
−
1
2
0
1
3
2
Pełne rozwiązanie
x =
1
2
0
0
3
2
+ c
1
3
2
1
0
3
2
+ c
2
−
1
2
0
1
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
25 / 30
II.
x
2
= 0
x
3
= 1
,
x
1
+ 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
= −
1
2
x
2
= 0
x
3
= 1
x
4
=
3
2
=⇒
x
n2
=
−
1
2
0
1
3
2
Pełne rozwiązanie
x =
1
2
0
0
3
2
+ c
1
3
2
1
0
3
2
+ c
2
−
1
2
0
1
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
25 / 30
II.
x
2
= 0
x
3
= 1
,
x
1
+ 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
= −
1
2
x
2
= 0
x
3
= 1
x
4
=
3
2
=⇒ x
n2
=
−
1
2
0
1
3
2
Pełne rozwiązanie
x =
1
2
0
0
3
2
+ c
1
3
2
1
0
3
2
+ c
2
−
1
2
0
1
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
25 / 30
II.
x
2
= 0
x
3
= 1
,
x
1
+ 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
= −
1
2
x
2
= 0
x
3
= 1
x
4
=
3
2
=⇒ x
n2
=
−
1
2
0
1
3
2
Pełne rozwiązanie
x =
1
2
0
0
3
2
+ c
1
3
2
1
0
3
2
+ c
2
−
1
2
0
1
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
25 / 30
II.
x
2
= 0
x
3
= 1
,
x
1
+ 1 + x
4
= 2
−2x
4
= −3
x
1
= −
1
2
x
2
= 0
x
3
= 1
x
4
=
3
2
=⇒ x
n2
=
−
1
2
0
1
3
2
Pełne rozwiązanie
x =
1
2
0
0
3
2
+ c
1
3
2
1
0
3
2
+ c
2
−
1
2
0
1
3
2
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
25 / 30
Zadanie 2
Znajdź wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 2x
4
= 1
2x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 6
3x
1
− x
2
− 2x
3
+ x
4
= 7
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
[A|b] =
1
−2
1
2
1
2
1
1
1
6
3
−1
−2
1
7
−→
1
−2
1
2
1
0
5
−1
−5
4
0
5
−1
−5
4
−→
−→
1
−2
1
2
1
0
5
−1
−5
4
0
0
0
0
0
= U
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
26 / 30
Zadanie 2
Znajdź wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 2x
4
= 1
2x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 6
3x
1
− x
2
− 2x
3
+ x
4
= 7
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
[A|b] =
1
−2
1
2
1
2
1
1
1
6
3
−1
−2
1
7
−→
1
−2
1
2
1
0
5
−1
−5
4
0
5
−1
−5
4
−→
−→
1
−2
1
2
1
0
5
−1
−5
4
0
0
0
0
0
= U
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
26 / 30
Zadanie 2
Znajdź wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 2x
4
= 1
2x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 6
3x
1
− x
2
− 2x
3
+ x
4
= 7
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
[A|b] =
1
−2
1
2
1
2
1
1
1
6
3
−1
−2
1
7
−→
1
−2
1
2
1
0
5
−1
−5
4
0
5
−1
−5
4
−→
−→
1
−2
1
2
1
0
5
−1
−5
4
0
0
0
0
0
= U
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
26 / 30
Zadanie 2
Znajdź wszystkie rozwiązania poniższego układu równań.
x
1
− 2x
2
+ x
3
+ 2x
4
= 1
2x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 6
3x
1
− x
2
− 2x
3
+ x
4
= 7
Sprowadzenie do postaci schodkowej z wykorzystaniem metody eliminacji
Gaussa.
[A|b] =
1
−2
1
2
1
2
1
1
1
6
3
−1
−2
1
7
−→
1
−2
1
2
1
0
5
−1
−5
4
0
5
−1
−5
4
−→
−→
1
−2
1
2
1
0
5
−1
−5
4
0
0
0
0
0
= U
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
26 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
3
= 0
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
= 1
5x
2
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
4
5
x
3
= 0
x
4
= 0
=⇒ x
p
=
13
5
4
5
0
0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
3
= 1
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
+ 1
= 1
5x
2
− 1
= 4
x
1
= 2
x
2
= 1
x
3
= 1
x
4
= 0
=⇒ x
n1
=
2
1
1
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
3
= 0
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
= 1
5x
2
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
4
5
x
3
= 0
x
4
= 0
=⇒ x
p
=
13
5
4
5
0
0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
3
= 1
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
+ 1
= 1
5x
2
− 1
= 4
x
1
= 2
x
2
= 1
x
3
= 1
x
4
= 0
=⇒ x
n1
=
2
1
1
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
3
= 0
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
= 1
5x
2
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
4
5
x
3
= 0
x
4
= 0
=⇒
x
p
=
13
5
4
5
0
0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
3
= 1
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
+ 1
= 1
5x
2
− 1
= 4
x
1
= 2
x
2
= 1
x
3
= 1
x
4
= 0
=⇒ x
n1
=
2
1
1
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
3
= 0
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
= 1
5x
2
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
4
5
x
3
= 0
x
4
= 0
=⇒ x
p
=
13
5
4
5
0
0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
3
= 1
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
+ 1
= 1
5x
2
− 1
= 4
x
1
= 2
x
2
= 1
x
3
= 1
x
4
= 0
=⇒ x
n1
=
2
1
1
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
3
= 0
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
= 1
5x
2
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
4
5
x
3
= 0
x
4
= 0
=⇒ x
p
=
13
5
4
5
0
0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
3
= 1
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
+ 1
= 1
5x
2
− 1
= 4
x
1
= 2
x
2
= 1
x
3
= 1
x
4
= 0
=⇒ x
n1
=
2
1
1
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
3
= 0
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
= 1
5x
2
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
4
5
x
3
= 0
x
4
= 0
=⇒ x
p
=
13
5
4
5
0
0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
3
= 1
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
+ 1
= 1
5x
2
− 1
= 4
x
1
= 2
x
2
= 1
x
3
= 1
x
4
= 0
=⇒ x
n1
=
2
1
1
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
3
= 0
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
= 1
5x
2
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
4
5
x
3
= 0
x
4
= 0
=⇒ x
p
=
13
5
4
5
0
0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
3
= 1
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
+ 1
= 1
5x
2
− 1
= 4
x
1
= 2
x
2
= 1
x
3
= 1
x
4
= 0
=⇒ x
n1
=
2
1
1
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
3
= 0
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
= 1
5x
2
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
4
5
x
3
= 0
x
4
= 0
=⇒ x
p
=
13
5
4
5
0
0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
3
= 1
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
+ 1
= 1
5x
2
− 1
= 4
x
1
= 2
x
2
= 1
x
3
= 1
x
4
= 0
=⇒
x
n1
=
2
1
1
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
27 / 30
Znalezienie rozwiązania szczególnego
x
3
= 0
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
= 1
5x
2
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
4
5
x
3
= 0
x
4
= 0
=⇒ x
p
=
13
5
4
5
0
0
Znalezienie wektorów, należących do przestrzeni zerowej
I.
x
3
= 1
x
4
= 0
,
x
1
− 2x
2
+ 1
= 1
5x
2
− 1
= 4
x
1
= 2
x
2
= 1
x
3
= 1
x
4
= 0
=⇒ x
n1
=
2
1
1
0
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
27 / 30
II.
x
3
= 0
x
4
= 1
,
x
1
− 2x
2
+ 2
= 1
5x
2
− 5
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
9
5
x
3
= 0
x
4
= 1
=⇒ x
n2
=
13
5
9
5
0
1
Pełne rozwiązanie
x =
13
5
4
5
0
0
+ c
1
2
1
1
0
+ c
2
13
5
9
5
0
1
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
28 / 30
II.
x
3
= 0
x
4
= 1
,
x
1
− 2x
2
+ 2
= 1
5x
2
− 5
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
9
5
x
3
= 0
x
4
= 1
=⇒ x
n2
=
13
5
9
5
0
1
Pełne rozwiązanie
x =
13
5
4
5
0
0
+ c
1
2
1
1
0
+ c
2
13
5
9
5
0
1
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
28 / 30
II.
x
3
= 0
x
4
= 1
,
x
1
− 2x
2
+ 2
= 1
5x
2
− 5
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
9
5
x
3
= 0
x
4
= 1
=⇒
x
n2
=
13
5
9
5
0
1
Pełne rozwiązanie
x =
13
5
4
5
0
0
+ c
1
2
1
1
0
+ c
2
13
5
9
5
0
1
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
28 / 30
II.
x
3
= 0
x
4
= 1
,
x
1
− 2x
2
+ 2
= 1
5x
2
− 5
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
9
5
x
3
= 0
x
4
= 1
=⇒ x
n2
=
13
5
9
5
0
1
Pełne rozwiązanie
x =
13
5
4
5
0
0
+ c
1
2
1
1
0
+ c
2
13
5
9
5
0
1
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
28 / 30
II.
x
3
= 0
x
4
= 1
,
x
1
− 2x
2
+ 2
= 1
5x
2
− 5
= 4
x
1
=
13
5
x
2
=
9
5
x
3
= 0
x
4
= 1
=⇒ x
n2
=
13
5
9
5
0
1
Pełne rozwiązanie
x =
13
5
4
5
0
0
+ c
1
2
1
1
0
+ c
2
13
5
9
5
0
1
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
28 / 30
Zadanie 3
Sprowadź macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rząd.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
Sprowadzenie do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej z
wykorzystaniem metody eliminacji Gaussa-Jordana.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
−→
1
2
3
4
0
−1
−2
−3
0
−2
−4
−6
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
−2
−4
−6
−→
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
0
0
0
−→
1
0
−1
−2
0
1
2
3
0
0
0
0
= R
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
29 / 30
Zadanie 3
Sprowadź macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rząd.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
Sprowadzenie do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej z
wykorzystaniem metody eliminacji Gaussa-Jordana.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
−→
1
2
3
4
0
−1
−2
−3
0
−2
−4
−6
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
−2
−4
−6
−→
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
0
0
0
−→
1
0
−1
−2
0
1
2
3
0
0
0
0
= R
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
29 / 30
Zadanie 3
Sprowadź macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rząd.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
Sprowadzenie do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej z
wykorzystaniem metody eliminacji Gaussa-Jordana.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
−→
1
2
3
4
0
−1
−2
−3
0
−2
−4
−6
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
−2
−4
−6
−→
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
0
0
0
−→
1
0
−1
−2
0
1
2
3
0
0
0
0
= R
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
29 / 30
Zadanie 3
Sprowadź macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rząd.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
Sprowadzenie do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej z
wykorzystaniem metody eliminacji Gaussa-Jordana.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
−→
1
2
3
4
0
−1
−2
−3
0
−2
−4
−6
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
−2
−4
−6
−→
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
0
0
0
−→
1
0
−1
−2
0
1
2
3
0
0
0
0
= R
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
29 / 30
Zadanie 3
Sprowadź macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rząd.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
Sprowadzenie do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej z
wykorzystaniem metody eliminacji Gaussa-Jordana.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
−→
1
2
3
4
0
−1
−2
−3
0
−2
−4
−6
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
−2
−4
−6
−→
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
0
0
0
−→
1
0
−1
−2
0
1
2
3
0
0
0
0
= R
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
29 / 30
Zadanie 3
Sprowadź macierz A do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej oraz określ
jej rząd.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
Sprowadzenie do postaci zredukowanej wierszowej schodkowej z
wykorzystaniem metody eliminacji Gaussa-Jordana.
A =
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
−→
1
2
3
4
0
−1
−2
−3
0
−2
−4
−6
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
−2
−4
−6
−→
−→
1
2
3
4
0
1
2
3
0
0
0
0
−→
1
0
−1
−2
0
1
2
3
0
0
0
0
= R
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
29 / 30
Określenie rzędu macierzy R:
Rząd macierzy R jest równy r = 2, ponieważ ta macierz ma 2 elementy
osiowe.
W. Kubacka, J. Brzozowski
Rozwiązywanie układu równań za pomocą formy zredukowanej wierszowo
18 grudnia 2012
30 / 30
Document Outline
- Sprowadzanie macierzy w postaci wierszowej schodkowej
- Rozwiazywalnosc równania Ax = b ze wzgledu na b
- Wyznaczanie rozwiazania szczególnego Ax = b
- Wyznaczanie rozwiazan specjalnych Ax = 0
- Pełne rozwiazanie Ax = b
- Macierz w postaci zredukowanej wierszowej schodkowej
- Rozwiazania równania Ax = b. Analiza przypadków.
- Przykładowe zadania z rozwiazaniami
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
M[1][1] 7 Istnienie rozwiazan ukladu rownan
M[1][1].7. Istnienie rozwiazan ukladu rownan
M[1][1] 7 Istnienie rozwiazan ukladu rownan
ilość rozwiązań układu równań
rozwiazanie ukladu rownan do zadania 6
sciaga rozwiazywanie ukladow rownan liniowych za pomoca wzorow cramera, Matematyka
Czy metodykę ITIL można wdrożyć za pomocą rozwiązań standardowych
Rozwiązywanie problemów z uruchamianiem systemu Windows za pomocą konsoli odzyskiwania, windows XP i
Projekt wyznacenie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą układu wahadla matematycznego
08# 8 Oświadczenie pracownika o rozwiązaniu umowy o pracę za wypowiedzeniem
Czy metodykę ITIL można wdrożyć za pomocą rozwiązań standardowych
Rozwiązywanie problemów z uruchamianiem systemu Windows za pomocą konsoli odzyskiwania, windows XP i
Rozwiązywanie problemów z uruchamianiem systemu Windows za pomocą konsoli odzyskiwania
Utrzymanie ciągłości zasilania energią elektryczną odbiorców za pomocą rozwiązań tymczasowych
08 Wykonywanie przedmiotów za pomocą gięcia
więcej podobnych podstron