Zad.1

Przez ile miesięcy z kapitału równego 20 tys. zł może być wypłacana renta stała w wysokości 2 tys. zł
miesięcznie z dołu, przy założeniu miesięcznej kapitalizacji zarówno renty jak i kapitału? Miesięczna stopa
procentowa wynosi 1%.

Odp.

Przez 10,6 miesięcy.

Zad.2

Zwycięzca teleturnieju ma do wyboru cztery formy odebrania nagrody:

a) dostaje od razu 10000 zł
b) dostaje od razu 5000 zł, a po dwóch latach dostaje 7000 zł
c) będzie dostawał co roku przez 5 lat z góry 2500 zł (pierwsza płatność od razu)
d) będzie dostawał 1500 zł co roku z dołu do końca życia

Która forma nagrody jest najkorzystniejsza dla zwycięzcy teleturnieju? Roczna stopa procentowa 20%.

Porównywać można wyłącznie wartości tych nagród sprowadzone do tego samego momentu w czasie, np.:
na chwilę obecną. Liczymy wtedy Present Value każdej formy nagrody:

Ad. a) PV=10000

Ad. b) PV=5 + 7(1,2)

-2

= 9861,11

Ad. c)

Ad. d) Tu nie da się policzyć PV, bo nie wiemy, ile ta osoba ma żywota przed sobą. Policzmy, ile
musiałaby żyć, aby PV z tych corocznych wypłat po 1500 było równe 10000.

Aby PV corocznych płatności po 1500 zł każda była równa tej z podpunktu a), klient musiałby żyć jeszcze
co najmniej 6,03 lat. Nie wiadomo, czy klient jest młody czy stary. Według mnie powinno się wybrać odp.
a).

( )

( )

( )

(

)

( )

( )

( )

59

,

10

01

,

1

ln

1111

,

1

ln

01

,

1

1111

,

1

01

,

1

)

2

,

0

2

(

2

2

01

,

1

2

01

,

1

2

,

0

1

01

,

1

2

01

,

1

2

,

0

01

,

0

1

01

,

1

2

01

,

1

20

=

=

=

−

=

−

⋅

=

−

=

−

⋅

=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

84

,

8971

2

,

0

1

2

,

1

2

,

1

1

2,5

PV

5

4

=

−

⋅

⋅

=

(

)

(

)

03

,

6

2

,

1

ln

33

,

0

ln

33

,

0

2

,

1

2

,

1

1

1

33

,

1

1

2

,

1

2

,

1

1

33

,

1

1

2

,

1

2

,

1

1

1,5

2

2

,

0

1

2

,

1

2

,

1

1

1,5

10

=

=

−

=

−

=

−

⋅

=

−

⋅

⋅

=

−

⋅

⋅

=

−

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Zad. 3

Jaka jest efektywna stopa oprocentowania lokat, jeżeli kwartalna stopa nominalna wynosi 5%, a
kapitalizacja jest roczna?

Zad.4 (?)

Zad.5 (?)

Zad.6 (?)

Zad.7

Jaka jest wartość wewnętrzna akcji, jeżeli spółka w zeszłym roku wypłaciła dywidendę w wysokości 50 zł i
zamierza co roku zwiększać wysokość dywidendy o 2%? Rynkowa stopa zwrotu wynosi 0,22.

Zad. 8

Bank A udziela kredytów przy nominalnej rocznej stopie procentowej 22% przy kapitalizacji ciągłej, a
Bank B udziela kredytów przy kapitalizacji miesięcznej z roczną stopą procentową 22,5%. Który bank
posiada lepszą ofertę?

Odp.:

Lepszą ofertą dysponuje Bank A (ma niższą efektywną stopę oprocentowania kredytów).

Zad. 9 (?)

Zad. 10

Jaka była średnia stopa procentowa w ciągu ostatnich 10 lat, jeżeli bank zmieniał sposoby naliczania
odsetek w następujący sposób:
-

w ciągu trzech pierwszych lat stosował stopę dyskontową d=0,2

-

w ciągu trzech kolejnych lat intensywność oprocentowania wynosiła

δ

=0,18

-

przez 4 ostatnie lata obowiązywała stopa procentowa i=0,16

stopa procentowa równoważna stopie dyskontowej 0,2:

stopa procentowa równoważna efektywności oprocentowania 0,18 (kapitalizacja ciągła):

Średnia stopa procentowa:

(

)

%

66

,

4

1

4

05

,

0

1

4

1

=

−

⋅

+

=

ef

r

(

)

zl

255

02

,

0

22

,

0

02

,

0

1

50

0

=

−

+

=

P

2497

,

0

1

12

225

,

0

1

:

Bank B

2461

,

0

1

:

A

Bank

12

22

,

0

=

−













+

=

=

−

=

ef

ef

r

e

r

25

,

0

1

=

−

=

d

d

i

1972

,

0

1

18

,

0

=

−

=

e

r

ef

1948

,

0

16

,

0

1972

,

0

25

,

0

10

4

10

3

10

3

=

×

×

=

ś

r

r

Odp.:

Średnia stopa procentowa w ciągu ostatnich 10 lat wyniosła 19,48%.

Zad. 11

Ile wynosi rata kredytu hipotecznego zaciągniętego na 10 lat na sumę 200 mln zł, jeżeli stopa dyskontowa
wynosi 0,2?

Odp.:

Wysokość raty równa jest 44,812 mln zł.

Zad. 12 (?)

Zad. 13

Ile wynosi rzeczywista stopa procentowa, jeżeli stopa inflacji wynosi 11%, roczna stopa procentowa
wynosi 16%, a kapitalizacja jest kwartalna?

Odp.:

Rzeczywista stopa procentowa wyniosła 5,39%.

Zad. 14

Jaka jest cena bieżąca obligacji 10-letniej o nominalnej cenie 5000 zł oprocentowanej 18% rocznie
(odsetki płatne co roku z dołu), jeżeli do terminu wykupu pozostało 5 lat, a rynkowa stopa procentowa
wynosi 16%?

Odp.:

Wartość bieżąca obligacji wynosi 5327,43 zł.

Zad. 15

Dane są dwa kapitały: jeden wynosi 200 zł w dniu 01.01.1999r., a drugi 297,68 zł w dniu 01.01.2001r.
Czy oba te kapitały są równoważne na dzień 01.01.2000r.? Oprocentowanie złożone, stopa procentowa
22%, kapitalizacja roczna.

Z twierdzenia dotyczącego oprocentowania złożonego wynika, że jeśli dwa kapitały są równoważne na
jakiś moment w czasie, to są one również równoważne na każdy inny moment. Zatem wystarczy dowieść,
że są one równoważne np. na dzień 01.01.2001r.

Kapitał o wartości 200 zł oprocentowujemy na dwa lata:
Jest on zatem równoważny kapitałowi drugiemu na dzień 01.01.2001r., a więc także na każdy inny dzień
(w tym na 01.01.2000r.)

Zad. 16

Klient kupił 28-dniowy bon skarbowy opiewający na 1000 zł po cenie nominalnej 992 zł. Po 18 dniach
sprzedał go na rynku wtórnym przy stopie dyskontowej 24%. Jaki był roczny realny zysk klienta?

Obliczam dyskonto emitenta bonu:
Obliczam dyskonto rynkowe 28-dniowe (tzn. wyrażone w tym samym okresie co dyskonto emitenta):

(

)

812

,

44

8

,

0

1

2

,

0

200

1

1

10

=

−

⋅

=

−

−

⋅

=

n

d

d

S

R

%

39

,

5

11

,

0

1

11

,

0

1699

,

0

1699

,

0

1

4

16

,

0

1

4

=

+

−

=

=

−













+

=

rz

ef

r

r

(

)

zl

43

,

5327

16

,

0

1

16

,

1

16

,

1

1

16

,

0

18

,

0

1

5000

5

5

5

=















−

⋅

⋅

−

+

=

C

(

)

68

,

297

22

,

0

1

200

2

=

+

=

FV

( )

8%

,

0

d

)

1

(

1

0,992

1

=

⇒

−

⋅

=

⇒

−

=

d

d

PV

FV

%

87

,

1

01867

,

0

360

28

24

,

0

=

=

×

Miesięczny (28-dniowy) zysk realny klienta wynosi: 0,8% - 1,87% = -1,07% (strata)
Zatem roczny zysk realny klienta wynosi ok.: 12 x (-1,07%) = -12,84% = -0,1284 (strata)

Zad. 17

Jaka jest wartość bieżąca rent wypłacanych kwartalnie z góry przez 10 lat w wysokości 5000 zł, jeżeli
roczna stopa procentowa wynosi 20%, a kapitalizacja jest kwartalna?

Zad. 18 (?)

Zad. 19

Po ilu kwartałach kapitał potroi swą wartość, jeżeli zakładamy oprocentowanie złożone, kapitalizację
kwartalną z góry oraz roczną stopę dyskontową d=0,16?

Odp.:

Po 27 kwartałach (dokładnie po 26,91 kwartałach).

Zad. 20

Jaka jest wartość bieżąca (t=0 początek roku) ciągu dwóch płatności - jednej w wysokości 300 zł na
koniec marca oraz drugiej w wysokości 500 zł na koniec września? Oprocentowanie proste z roczną stopą
dyskontową 0,2.

Dyskontujemy obie wartości na dzień t=0, czyli 01.01.:

Odp.:

Wartość bieżąca tego ciągu płatności wynosi 710 zł.

zl

90085

05

,

0

1

05

,

1

05

,

1

1

5

40

39

=

−

⋅

⋅

=

PV

(

)

91

,

26

96

,

0

ln

3

ln

3

96

,

0

04

,

0

1

3

=

=

−

=

−

=

−

−

n

n

n

n

(

)

(

)

zl

710

2

,

0

1

500

2

,

0

1

300

12

9

12

3

=

⋅

−

+

⋅

−

=

PV