METODA PERT
Maciej Patan
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
1
WPROWADZENIE
➣
PERT (ang. Program Evaluation and Review Technique)
➣
Metoda nale˙zy do sieci o strukturze logicznej zdeterminowanej
➣
Parametry opisuj ˛
ace poszczególne czynno´sci maj ˛
a charakter stochastyczny
➣
Zało˙zenia metody CPM (zbyt odwa˙zne):
•
najwcze´sniejszy mo˙zliwy termin rozpocz ˛ecia czynno´sci
•
najpó´zniejszy dopuszczalny termin rozpocz ˛ecia czynno´sci
•
parametry s ˛
a obliczane na podstawie znajomo´sci czasu trwania danej czynno´sci
➣
W metodzie PERT czas trwania ka˙zdej czynno´sci jest szacowany
➣
Obliczanie oczekiwanego czasu trwania czynno´sci dokonuje si ˛e na podstawie trzech
ocen czasu: optymistycznej, najbardziej prawdopodobnej i pesymistycznej
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
2
ZAŁO ˙
ZENIA
Niech
:
• t
c
- czas optymistyczny
• t
m
- czas najbardziej prawdopodobny
• t
p
- czas pesymistyczny
wtedy warto´s´c oczekiwana
t
0
t
0
=
t
c
+ 4t
m
+ t
p
6
jest to warto´s´c oczekiwana rozkładu beta
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
3
Realizacja metody PERT
1. Definiowanie wszystkich czynno´sci projektu
2. Ustalenie nast ˛epstwa czasowego czynno´sci
3. Oszacowanie czasu trwania ka˙zdej czynno´sci
4. Wyznaczenie ´scia˙zki krytycznej oraz kryteriów jako´sciowych i ilo´sciowych
5. Tworzenie harmonogramu
6. Przeszacowania i poprawki zgodne ze stanem rzeczywistym
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
4
Przykład. 1.
Dla wykonania przedsi ˛ewzi ˛ecia
P
opracowano dwa warianty
techniczne
A
i
B
. Nale˙zy na podstawie analizy sieciowej doko-
na´c wyboru wariantu gwarantuj ˛
acego wi ˛eksz ˛
a szans ˛e dotrzyma-
nia terminu dyrektywnego
t
d
= 48
dni. Charakterystyki czynno´sci
dla obu wariantów podano w poni˙zszych tabelach
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
5
Wariant
A
(i, j)
t
c
t
m
t
p
t
0
(1, 2)
13
14
15
14
(1, 3)
5
10
15
10
(1, 4)
7
10
19
11
(2, 3)
2
2
2
2
(2, 5)
10
10
10
10
(3, 6)
20
21
22
21
(3, 7)
4
16
16
14
(4, 7)
5
20
23
18
(5, 8)
5
8
11
8
(6, 8)
12
12
12
12
(7, 8)
18
18
30
20
Wariant
B
(i, j)
t
c
t
m
t
p
t
0
(1, 2)
17
20
20
19, 5
(1, 3)
14
14
14
14
(1, 4)
1
5
15
6
(2, 5)
2
10
12
9
(3, 6)
17
18
25
19
(3, 7)
15
15
15
15
(4, 7)
2
5
14
6
(5, 8)
18
20
28
21
(6, 8)
14
15
22
16
(7, 8)
18
21
24
21
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
6
Sie´c czynno´sci dla wariantu
A
1
0
0
2
14
14
3
16
16
4
11
12
5
24
42
6
37
38
7
30
30
8
50
50
14(0)
10(6)
11(1)
10(18)
2(0)
21(1)
14(0)
18(1)
8(18)
12(1)
20(0)
•
´scie˙zka krytyczna:
1 − 2 − 3 − 7 − 8
•
szacowany czas trwania przedsi ˛ewzi ˛ecia: 50 dni
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
7
Sie´c czynno´sci dla wariantu
B
1
0
0
2
19.5
20
3
14
14
4
6
23
5
28.5
29
6
33
34
7
29
29
8
50
50
19.5(0.5)
14(0)
6(17)
9(0.5)
19(1)
15(0)
6(17)
21(0.5)
16(1)
21(0)
•
´scie˙zka krytyczna:
1 − 3 − 7 − 8
•
szacowany czas trwania przedsi ˛ewzi ˛ecia: 50 dni
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
8
Wnioski
•
Dla obu wariantów oczekiwany czas trwania czynno´sci wynosi 50 dni, a w
zało˙zeniu termin dyrektywny wynosi
t
d
= 48
dni
•
Parametry opisuj ˛
ace przedsi ˛ewzi ˛ecie maj ˛
a charakter probabilistyczny i czas
trwania czynno´sci mie´sci si ˛e w granicach
[t
p
, t
c
]
•
Problem
:
Jak okre´sli´c, który z wariantów ma wi ˛eksze szanse dotrzy-
mania terminu dyrektywnego?
•
Rozwi ˛
azanie
:
Wprowadzamy poj ˛ecie
wariancji
– okre´slenie niepewno´sci zwi ˛
azanej z dan ˛
a
czynno´sci ˛
a
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
9
•
Interpretacja wariancji
Im wi ˛eksza jest rozpi ˛eto´s´c ocen mi ˛edzy czasem optymistycznym i
pesymistycznym, tym wi ˛eksza jest niepewno´s´c zwi ˛
azana z dan ˛
a czynno´sci ˛
a
•
Definicja wariancji
σ
2
=
t
p
− t
c
6
2
Im wi ˛eksza warto´s´c wariancji, tym wi ˛eksza niepewno´s´c z czasem trwania
danej czynno´sci
Przykład 2.
Obliczy´c niepewno´sci wykonania przedsi ˛ewzi ˛ecia
P
z przykładu 1
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
10
Wariant
A
(i, j)
t
c
t
m
t
p
t
0
σ
2
∗
(1, 2)
13
14
15
14
1
9
1
9
(1, 3)
5
10
15
10
25
9
(1, 4)
7
10
19
11
4
∗
(2, 3)
2
2
2
2
00
(2, 5)
10
10
10
10
0
(3, 6)
20
21
22
21
1
9
∗
(3, 7)
4
16
16
14
44
(4, 7)
5
20
23
18
9
(5, 8)
5
8
11
8
1
(6, 8)
12
12
12
12
0
∗
(7, 8)
18
18
30
20
44
´scie˙zka krytyczna:
1 − 2 − 3 − 7 − 8
wariancja całkowita:
σ
2
=
1
9
+ 0 + 4 + 4 = 8
1
9
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
11
Wariant
B
(i, j)
t
c
t
m
t
p
t
0
σ
2
(1, 2)
17
20
20
19, 5
1
4
∗
(1, 3)
14
14
14
14
00
(1, 4)
1
5
15
6
49
9
(2, 5)
2
10
12
9
25
9
(3, 6)
17
18
25
19
49
36
∗
(3, 7)
15
15
15
15
00
(4, 7)
2
5
14
6
4
(5, 8)
18
20
28
21
25
9
(6, 8)
14
15
22
16
16
9
∗
(7, 8)
18
21
24
21
11
´scie˙zka krytyczna:
1 − 3 − 7 − 8
wariancja całkowita:
σ
2
= 0 + 0 + 1 = 1
Nale˙zy wybra´c wariant
A
, bo stopie ´n niepewno´sci jest wi ˛ekszy i jest szansa na
dotrzymanie terminu dyrektywnego
t
d
= 48
dni
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
12
•
Wybieraj ˛
ac wariant
A
przedsi ˛ewzi ˛ecie mo˙ze zosta´c zrealizowane w
przedziale
41
8
9
− 58
1
9
dnia
•
Wybieraj ˛
ac wariant
B
przedsi ˛ewzi ˛ecie mo˙ze zosta´c zrealizowane w
przedziale
49 − 51
dnia
•
Nasuwaj ˛
a si ˛e kolejne pytania
Jakie jest prawdopodobie ´nstwo realizacji przedsi ˛ewzi ˛ecia do
48
dni?
Jakie jest prawdopodobie ´nstwo realizacji przedsi ˛ewzi ˛ecia do
50
dni?
Jakiemu przedziałowi czasu realizacji przedsi ˛ewzi ˛ecia odpowiada dane
prawdopodobie ´nstwo np.
0, 95
?
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
13
ROZWI ˛
AZANIE
Dystrybuanta rozkładu normalnego jest bardzo pomocna przy okre´slaniu praw-
dopodobie ´nstwa realizacji przedsi ˛ewzi ˛ecia
Definicja dystrybuanty rozkładu normalnego
Φ(x) =
1
√
2π
Z
x
−∞
e
−
x2
2
dx
Interpretacja geometryczna
x
x
F( )
x
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
14
•
Obszar zakre´slony - prawdopodobie ´nstwo zako ´nczenia przedsi ˛ewzi ˛ecia w
terminie do
t
d
P (t
d
¬ t
r
) = Φ(x)
•
Obliczanie prawdopodobie ´nstwa z definicji – bardzo uci ˛
a˙zliwe i
czasochłonne
•
Praktyczne okre´slanie prawdopodobie ´nstwa – tablice rozkładu normalnego
Tablice zawieraj ˛
a warto´sci dystrybuanty dla liczb dodatnich
x 0
(prawa
połówka dystrybuanty)
Jak wi ˛ec policzy´c warto´s´c dystrybuanty dla liczb ujemnych
x < 0
?
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
15
Wiadomo, ˙ze
Φ(inf) =
1
√
2π
Z
∞
−∞
e
−
x2
2
dx = 1
i ˙ze wykres dystrybuanty jest symetryczny. Zatem
Φ(x) = 1 − Φ(−x)
•
W tabelach s ˛
a podawane dla dystrybuanty rozkładu normalnego
N (0, 1)
•
Dane nale˙zy przeskalowa´c tak, aby posiadały warto´s´c ´sredni ˛
a równ ˛
a zero i
odchylenie standardowe równe 1
X =
t
d
− t
r
σ
c
gdzie:
t
d
- czas dyrektywny
t
r
– czas modelowy uko ´nczenia przedsi ˛ewzi ˛ecia
σ
c
– odchylenie standardowe
σ
c
=
p
σ
2
c
X
– czas przeskalowany do
N (0, 1)
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
16
Przykład. 3
a) Prawdopodobie ´nstwo realizacji przedsi ˛ewzi ˛ecia do 48 dni dla wariantu
A
X =
48 − 50
q
8
1
9
= −0, 702
P (t
d
¬ t
r
) = 1 − Φ(x) = 1 − 0, 76 = 0, 24
(24%)
x
0.702
-0.702
F( )
x
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
17
b) Prawdopodobie ´nstwo realizacji przedsi ˛ewzi ˛ecia do 50 dni dla wariantu
A
X =
50 − 50
q
8
1
9
= 0
P (t
d
¬ t
r
) = Φ(x) = 0 = 0, 5
(50%)
x
0
F( )
x
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
18
c) Prawdopodobie ´nstwo realizacji przedsi ˛ewzi ˛ecia do 58 dni dla wariantu
A
X =
58 − 50
q
8
1
9
= 2, 807
P (t
d
¬ t
r
) = 0, 997
(99, 7%)
x
2.807
F( )
x
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
19
d) Obliczy´c przedział czasu realizacji przedsi ˛ewzi ˛ecia odpowiadaj ˛
acy
prawdopodobie ´nstwu 0,95
P (t
d
¬ t
r
) = 0, 95
odczytujemy z tablic warto´s´c
X
X = 1, 64
podstawiamy do wzoru
1, 64 =
t
d
− 50
p
8
1
9
przekształcamy
t
d
= 1, 65 ·
r
8
1
9
+ 50 = 54, 7
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
20
e) Obliczy´c prawdopodobie ´nstwo uko ´nczenia przedsi ˛ewzi ˛ecia do 48 dni dla wariantu
B
X =
48 − 50
√
1
= −2
P (t
d
¬ t
r
) = 1 − Φ(−x) = 1 − 0, 977 = 0, 023
(2, 3%)
Uwaga!
Faktycznie w przykładzie 2 ustalili´smy, ˙ze lepszy oka˙ze si ˛e wariant
A
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
21
Obliczy´c prawdopodobie ´nstwo uko ´nczenia przedsi ˛ewzi ˛ecia do 58 dni dla wariantu
B
X =
58 − 50
√
1
= 8
P (t
d
¬ t
r
) ≈ 1
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Badania operacyjne
Programowanie sieciowe. Metoda PERT
22
Obliczy´c przedział czasu realizacji przedsi ˛ewzi ˛ecia odpowiadaj ˛
acy prawdopodobie ´nstwu
0,95
P (t
d
¬ t
r
) = 0, 95
odczytujemy z tablic warto´s´c
X
X = 1, 65
podstawiamy do wzoru
1, 65 =
t
d
− 50
√
1
przekształcamy
t
d
= 1, 65 + 50 = 51, 65
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Uniwersytet Zielonogórski
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
druk nr 5 id 142957 Nieznany
druk nr 3 id 142956 Nieznany
oparzenia 2013 druk id 335902 Nieznany
chemia 1b druk id 111785 Nieznany
pasze mini druk (1) id 350258 Nieznany
(c) DRUK id 428076 Nieznany (2)
ank druk 1 id 65158 Nieznany (2)
Druk Filozofia jakoci TQM id 14 Nieznany
brak druk id 92701 Nieznany
Leczenie ran2 druk id 264631 Nieznany
druk 1 id 142942 Nieznany
Abolicja podatkowa id 50334 Nieznany (2)
4 LIDER MENEDZER id 37733 Nieznany (2)
katechezy MB id 233498 Nieznany
metro sciaga id 296943 Nieznany
perf id 354744 Nieznany
interbase id 92028 Nieznany
Mbaku id 289860 Nieznany
więcej podobnych podstron