Document Outline

Ogólna postać układu

Układ m równań liniowych o n niewiadomych x

, x

, . . . , x

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

(1)

Ogólna postać układu

Równania te można zapisać krócej:

j =1

= b

(i = 1, . . . , m).

Współczynniki układu są elementami ciała K (najczęściej R lub C).

Macierz układu

Macierz

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








zbudowaną ze współczynników przy niewiadomych układu (1)
nazywamy

macierzą układu

a macierz

B =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








poszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych układu nazywamy

macierzą uzupełnioną

Macierz układu

Macierz

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








zbudowaną ze współczynników przy niewiadomych układu (1)
nazywamy

macierzą układu

, a macierz

B =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








poszerzoną o kolumnę wyrazów wolnych układu nazywamy

macierzą uzupełnioną

Operacje elementarne

Dwa układy równań nazywamy

równoważnymi

, gdy mają taki sam

zbiór rozwiązań.

Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:

przestawienie dowolnych dwóch równań,

pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K

dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania

przekształcają układ w układ mu równoważny.
Te przekształcenia nazywamy

elementarnymi operacjami na

równaniach

Operacje elementarne

Dwa układy równań nazywamy

równoważnymi

, gdy mają taki sam

zbiór rozwiązań.
Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:

przestawienie dowolnych dwóch równań,

pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K

dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania

przekształcają układ w układ mu równoważny.
Te przekształcenia nazywamy

elementarnymi operacjami na

równaniach

Operacje elementarne

Dwa układy równań nazywamy

równoważnymi

, gdy mają taki sam

zbiór rozwiązań.
Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:

przestawienie dowolnych dwóch równań,

pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K

dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania

przekształcają układ w układ mu równoważny.
Te przekształcenia nazywamy

elementarnymi operacjami na

równaniach

Operacje elementarne

Dwa układy równań nazywamy

równoważnymi

, gdy mają taki sam

zbiór rozwiązań.
Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:

przestawienie dowolnych dwóch równań,

pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K

dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania

przekształcają układ w układ mu równoważny.
Te przekształcenia nazywamy

elementarnymi operacjami na

równaniach

Operacje elementarne

Dwa układy równań nazywamy

równoważnymi

, gdy mają taki sam

zbiór rozwiązań.
Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:

przestawienie dowolnych dwóch równań,

pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K

dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania

przekształcają układ w układ mu równoważny.

Te przekształcenia nazywamy

elementarnymi operacjami na

równaniach

Operacje elementarne

Dwa układy równań nazywamy

równoważnymi

, gdy mają taki sam

zbiór rozwiązań.
Jest oczywiste, że następujące typy operacji na układzie:

przestawienie dowolnych dwóch równań,

pomnożenie równania przez stałą c 6= 0, c ∈ K

dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania

przekształcają układ w układ mu równoważny.
Te przekształcenia nazywamy

elementarnymi operacjami na

równaniach

Operacje elementarne

Powyższym operacjom na równaniach odpowiadają

elementarne

operacje na wierszach

macierzy układu:

przestawienie dowolnych dwóch wierszy,

pomnożenie wiersza przez stałą c 6= 0, c ∈ K,

dodanie wielokrotności jednego wiersza do innego wiersza.

Macierz schodkowa

Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element
wiersza nazywamy

elementem wiodącym (kierunkowym)

tego

wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także
wiodącymi.

Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a

, a

i+1k

spełniają

warunek j < k, to macierz nazywamy

macierzą schodkową

Przykład Macierz

A =















jest macierzą schodkową.
Elementami wiodącymi wierszy są kolejno 4,3,4,9. Kolumny:
pierwsza, druga, piąta i szósta są wiodące; trzecia i czwarta —
niewiodące.

Macierz schodkowa

Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element
wiersza nazywamy

elementem wiodącym (kierunkowym)

tego

wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także
wiodącymi.
Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a

, a

i+1k

spełniają

warunek j < k, to macierz nazywamy

macierzą schodkową

Przykład Macierz

A =















jest macierzą schodkową.
Elementami wiodącymi wierszy są kolejno 4,3,4,9. Kolumny:
pierwsza, druga, piąta i szósta są wiodące; trzecia i czwarta —
niewiodące.

Macierz schodkowa

Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element
wiersza nazywamy

elementem wiodącym (kierunkowym)

tego

wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także
wiodącymi.
Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a

, a

i+1k

spełniają

warunek j < k, to macierz nazywamy

macierzą schodkową

Przykład Macierz

A =















jest macierzą schodkową.

Elementami wiodącymi wierszy są kolejno 4,3,4,9. Kolumny:
pierwsza, druga, piąta i szósta są wiodące; trzecia i czwarta —
niewiodące.

Macierz schodkowa

Niech A będzie macierzą prostokątną. Pierwszy niezerowy element
wiersza nazywamy

elementem wiodącym (kierunkowym)

tego

wiersza. Kolumny zawierające element wiodący nazywamy także
wiodącymi.
Jeżeli elementy wiodące kolejnych wierszy a

, a

i+1k

spełniają

warunek j < k, to macierz nazywamy

macierzą schodkową

Przykład Macierz

A =















jest macierzą schodkową.
Elementami wiodącymi wierszy są kolejno 4,3,4,9. Kolumny:
pierwsza, druga, piąta i szósta są wiodące; trzecia i czwarta —
niewiodące.

Metoda eliminacji Gaussa

1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia
specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską.

2) Jeśli a

6= 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a

(wtedy

wyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamy
zera w pierwszej kolumnie — od wiersza drugiego odejmujemy
wiersz pierwszy pomnożony przez a

itd.

Gdyby a

= 0, a np. a

6= 0, to przestawiamy najpierw wiersz

pierwszy z k-tym — i dalej jak poprzednio.

Metoda eliminacji Gaussa

1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia
specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską.
2) Jeśli a

6= 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a

(wtedy

wyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamy
zera w pierwszej kolumnie — od wiersza drugiego odejmujemy
wiersz pierwszy pomnożony przez a

itd.

Gdyby a

= 0, a np. a

6= 0, to przestawiamy najpierw wiersz

pierwszy z k-tym — i dalej jak poprzednio.

Metoda eliminacji Gaussa

1) Tworzymy macierz uzupełnioną układu. Dla zaznaczenia
specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską.
2) Jeśli a

6= 0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a

(wtedy

wyraz wiodący wynosi 1) i posługując się tym wierszem, uzyskamy
zera w pierwszej kolumnie — od wiersza drugiego odejmujemy
wiersz pierwszy pomnożony przez a

itd.

Gdyby a

= 0, a np. a

6= 0, to przestawiamy najpierw wiersz

pierwszy z k-tym — i dalej jak poprzednio.

Metoda eliminacji Gaussa

3) Jeśli a

6= 0, to dzielimy drugi wiersz przez a

i posługując się

tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a

Jeśli a

= 0, a np. a

6= 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym

— i dalej jak wyżej.
Jeśli wszystkie a

= 0 dla k = 2, 3, . . . , m, to przechodzimy do

następnej kolumny.
4) Postępowanie kontynuujemy aż do n-tej kolumny.

Metoda eliminacji Gaussa

3) Jeśli a

6= 0, to dzielimy drugi wiersz przez a

i posługując się

tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a

Jeśli a

= 0, a np. a

6= 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym

— i dalej jak wyżej.

Jeśli wszystkie a

= 0 dla k = 2, 3, . . . , m, to przechodzimy do

następnej kolumny.
4) Postępowanie kontynuujemy aż do n-tej kolumny.

Metoda eliminacji Gaussa

3) Jeśli a

6= 0, to dzielimy drugi wiersz przez a

i posługując się

tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a

Jeśli a

= 0, a np. a

6= 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym

— i dalej jak wyżej.
Jeśli wszystkie a

= 0 dla k = 2, 3, . . . , m, to przechodzimy do

następnej kolumny.

4) Postępowanie kontynuujemy aż do n-tej kolumny.

Metoda eliminacji Gaussa

3) Jeśli a

6= 0, to dzielimy drugi wiersz przez a

i posługując się

tym wierszem, uzyskamy zera w drugiej kolumnie poniżej a

Jeśli a

= 0, a np. a

6= 0, to przestawiamy wiersz drugi z k-tym

— i dalej jak wyżej.
Jeśli wszystkie a

= 0 dla k = 2, 3, . . . , m, to przechodzimy do

następnej kolumny.
4) Postępowanie kontynuujemy aż do n-tej kolumny.

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

1) Jeżeli w otrzymanej macierzy występuje wiersz (0 0 . . . 0|1), to
układ jest sprzeczny (taki wiersz odpowiada równaniu 0 = 1).

2) Nie ma wierszy postaci (0 0 . . . 0|1) i liczba niezerowych wierszy
jest równa liczbie niewiadomych, tzn. macierz jest postaci:












∗ ∗ ∗ ∗ b

∗ ∗ ∗ b

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .












gdzie * oznacza jakiś element.

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

1) Jeżeli w otrzymanej macierzy występuje wiersz (0 0 . . . 0|1), to
układ jest sprzeczny (taki wiersz odpowiada równaniu 0 = 1).
2) Nie ma wierszy postaci (0 0 . . . 0|1) i liczba niezerowych wierszy
jest równa liczbie niewiadomych, tzn. macierz jest postaci:












∗ ∗ ∗ ∗ b

∗ ∗ ∗ b

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .












gdzie * oznacza jakiś element.

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

Odpowiada to układowi:

∗x

. . .

∗x

. . .

∗x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n−1

∗x

n−1

Stąd x

= b

. Po podstawieniu do równania (n−1)-szego

obliczamy x

n−1

itd. Rozwiązanie jest tylko jedno.

3) W macierzy nie ma wierszy postaci (0 0 . . . 0|1), ale występują
kolumny niewiodące. Stosujemy, jak wyżej, podstawienie wsteczne,
ale niewiadomym, które odpowiadają kolumnom niewiodącym
nadajemy dowolne wartości (będą one parametrami rozwiązania).

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

Odpowiada to układowi:

∗x

. . .

∗x

. . .

∗x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n−1

∗x

n−1

Stąd x

= b

. Po podstawieniu do równania (n−1)-szego

obliczamy x

n−1

itd. Rozwiązanie jest tylko jedno.

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

Odpowiada to układowi:

∗x

. . .

∗x

. . .

∗x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n−1

∗x

n−1

Stąd x

= b

. Po podstawieniu do równania (n−1)-szego

obliczamy x

n−1

itd. Rozwiązanie jest tylko jedno.

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

Przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:

A =











(2)

Niewiadoma x

jest niewiodąca. Zatem x

= 2, x

= s (gdzie

s ∈ R), x

= 1 − 2x

− 2x

= −3 − 2s, x

= 5 − 2x

− 3x

= 11 + s.

Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

Przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:

A =











(2)

Niewiadoma x

jest niewiodąca.

Zatem x

= 2, x

= s (gdzie

s ∈ R), x

= 1 − 2x

− 2x

= −3 − 2s, x

= 5 − 2x

− 3x

= 11 + s.

Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

Przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:

A =











(2)

Niewiadoma x

jest niewiodąca. Zatem x

= 2,

= s (gdzie

s ∈ R), x

= 1 − 2x

− 2x

= −3 − 2s, x

= 5 − 2x

− 3x

= 11 + s.

Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

Przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:

A =











(2)

Niewiadoma x

jest niewiodąca. Zatem x

= 2, x

= s (gdzie

s ∈ R),

= 1 − 2x

− 2x

= −3 − 2s, x

= 5 − 2x

− 3x

= 11 + s.

Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

Przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:

A =











(2)

Niewiadoma x

jest niewiodąca. Zatem x

= 2, x

= s (gdzie

s ∈ R), x

= 1 − 2x

− 2x

= −3 − 2s,

= 5 − 2x

− 3x

= 11 + s.

Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

Przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:

A =











(2)

Niewiadoma x

jest niewiodąca. Zatem x

= 2, x

= s (gdzie

s ∈ R), x

= 1 − 2x

− 2x

= −3 − 2s, x

= 5 − 2x

− 3x

= 11 + s.

Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Interpretacja postaci schodkowej macierzy uzupełnionej

Przykład
Przypuśćmy, że po eliminacji uzyskaliśmy macierz:

A =











(2)

Niewiadoma x

jest niewiodąca. Zatem x

= 2, x

= s (gdzie

s ∈ R), x

= 1 − 2x

− 2x

= −3 − 2s, x

= 5 − 2x

− 3x

= 11 + s.

Rozwiązań jest nieskończenie wiele. Są one postaci:

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Eliminacja Gaussa-Jordana

Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w

− 2w

i w

− 2w

uzyskamy zera

nad

elementami wiodącymi:











∼






−3






∼






−1 0

−3






Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x

= s):

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Eliminacja Gaussa-Jordana

Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w

− 2w

i w

− 2w

uzyskamy zera

nad

elementami wiodącymi:











∼






−3






∼






−1 0

−3






Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x

= s):

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Eliminacja Gaussa-Jordana

Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w

− 2w

i w

− 2w

uzyskamy zera

nad

elementami wiodącymi:











∼






−3






∼






−1 0

−3






Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x

= s):

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Eliminacja Gaussa-Jordana

Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w

− 2w

i w

− 2w

uzyskamy zera

nad

elementami wiodącymi:











∼






−3






∼






−1 0

−3






Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x

= s):

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Eliminacja Gaussa-Jordana

Po wykonaniu na wierszach macierzy (2) dwóch operacji: w

− 2w

i w

− 2w

uzyskamy zera

nad

elementami wiodącymi:











∼






−3






∼






−1 0

−3






Teraz możemy po prostu odczytać rozwiązanie (dla x

= s):

= 11 + s, x

= −3 − 2s, x

= s, x

= 2, (s ∈ R).

Eliminacja Gaussa-Jordana

Przykład

−4x

−5y

−3z

−x

−8y

−3z

15y






−4 −5 −3 0
−1 −8 −3 0






∼






−4 −5 −3 0






∼






−9 −3 0






∼






1
3






∼






1
3






Stąd x = −

1
3

k, y = −

1
3

k, z = k.

Eliminacja Gaussa-Jordana

Przykład

−4x

−5y

−3z

−x

−8y

−3z

15y






−4 −5 −3 0
−1 −8 −3 0






∼






−4 −5 −3 0






∼






−9 −3 0






∼






1
3






∼






1
3






Stąd x = −

1
3

k, y = −

1
3

k, z = k.

Eliminacja Gaussa-Jordana

Przykład

−4x

−5y

−3z

−x

−8y

−3z

15y






−4 −5 −3 0
−1 −8 −3 0






∼






−4 −5 −3 0






∼






−9 −3 0






∼






1
3






∼






1
3






Stąd x = −

1
3

k, y = −

1
3

k, z = k.

Eliminacja Gaussa-Jordana

Przykład

−4x

−5y

−3z

−x

−8y

−3z

15y






−4 −5 −3 0
−1 −8 −3 0






∼






−4 −5 −3 0






∼






−9 −3 0






∼






1
3






∼






1
3






Stąd x = −

1
3

k, y = −

1
3

k, z = k.

Eliminacja Gaussa-Jordana

Przykład

−4x

−5y

−3z

−x

−8y

−3z

15y






−4 −5 −3 0
−1 −8 −3 0






∼






−4 −5 −3 0






∼






−9 −3 0






∼






1
3






∼






1
3






Stąd x = −

1
3

k, y = −

1
3

k, z = k.

Eliminacja Gaussa-Jordana

Przykład

−4x

−5y

−3z

−x

−8y

−3z

15y






−4 −5 −3 0
−1 −8 −3 0






∼






−4 −5 −3 0






∼






−9 −3 0






∼






1
3






∼






1
3






Stąd x = −

1
3

k, y = −

1
3

k, z = k.

Eliminacja Gaussa-Jordana

Przykład

−4x

−5y

−3z

−x

−8y

−3z

15y






−4 −5 −3 0
−1 −8 −3 0






∼






−4 −5 −3 0






∼






−9 −3 0






∼






1
3






∼






1
3






Stąd x = −

1
3

k, y = −

1
3

k, z = k.

Eliminacja Gaussa-Jordana

Przykład
Metodą eliminacji rozwiązać układ z parametrem a:

−

− 4z

11t

Dla jakich wartości a układ nie ma rozwiązania?

Eliminacja Gaussa-Jordana

Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w 1 z w 2:






−1

−4 11 a






∼






−1

−5

−7

−3

a − 2






∼






−1

−

3
5

7
5

3
5

a − 5






∼






1
5

6
5

2
5

−

3
5

7
5

3
5

a − 5






Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi:

x =

−

k −

l , y =

k −

l , z = k, t = l ,

gdzie k, l ∈ R.

Eliminacja Gaussa-Jordana

Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w 1 z w 2:






−1

−4 11 a






∼






−1

−5

−7

−3

a − 2






∼






−1

−

3
5

7
5

3
5

a − 5






∼






1
5

6
5

2
5

−

3
5

7
5

3
5

a − 5






Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi:

x =

−

k −

l , y =

k −

l , z = k, t = l ,

gdzie k, l ∈ R.

Eliminacja Gaussa-Jordana

Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w 1 z w 2:






−1

−4 11 a






∼






−1

−5

−7

−3

a − 2






∼






−1

−

3
5

7
5

3
5

a − 5






∼






1
5

6
5

2
5

−

3
5

7
5

3
5

a − 5






Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi:

x =

−

k −

l , y =

k −

l , z = k, t = l ,

gdzie k, l ∈ R.

Eliminacja Gaussa-Jordana

Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w 1 z w 2:






−1

−4 11 a






∼






−1

−5

−7

−3

a − 2






∼






−1

−

3
5

7
5

3
5

a − 5






∼






1
5

6
5

2
5

−

3
5

7
5

3
5

a − 5






Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi:

x =

−

k −

l , y =

k −

l , z = k, t = l ,

gdzie k, l ∈ R.

Eliminacja Gaussa-Jordana

Piszemy macierz uzupełnioną przestawiając od razu w 1 z w 2:






−1

−4 11 a






∼






−1

−5

−7

−3

a − 2






∼






−1

−

3
5

7
5

3
5

a − 5






∼






1
5

6
5

2
5

−

3
5

7
5

3
5

a − 5






Rozwiązanie istnieje tylko dla a = 5 i wynosi:

x =

−

k −

l , y =

k −

l , z = k, t = l ,

gdzie k, l ∈ R.

Układ z parametrem

Przykład Dla jakich wartości p układ

−

10y

− 6z

−

jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć
rozwiązanie dla przypadku b).

Obliczamy wyznacznik główny:

−1

−6

−1

= −p

− 2p + 15.

Rozwiązując równanie −p

− 2p + 15 = 0 znajdziemy p

= −5,

= 3. Zatem gdy p 6= −5 i p 6= 3 układ jest oznaczony.

Układ z parametrem

Przykład Dla jakich wartości p układ

−

10y

− 6z

−

jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć
rozwiązanie dla przypadku b).
Obliczamy wyznacznik główny:

−1

−6

−1

= −p

− 2p + 15.

Rozwiązując równanie −p

− 2p + 15 = 0 znajdziemy p

= −5,

= 3. Zatem gdy p 6= −5 i p 6= 3 układ jest oznaczony.

Układ z parametrem

Przykład Dla jakich wartości p układ

−

10y

− 6z

−

jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć
rozwiązanie dla przypadku b).
Obliczamy wyznacznik główny:

−1

−6

−1

= −p

− 2p + 15.

Rozwiązując równanie −p

− 2p + 15 = 0 znajdziemy p

= −5,

= 3.

Zatem gdy p 6= −5 i p 6= 3 układ jest oznaczony.

Układ z parametrem

Przykład Dla jakich wartości p układ

−

10y

− 6z

−

jest: a) oznaczony; b) nieoznaczony; c) sprzeczny. Znaleźć
rozwiązanie dla przypadku b).
Obliczamy wyznacznik główny:

−1

−6

−1

= −p

− 2p + 15.

Rozwiązując równanie −p

− 2p + 15 = 0 znajdziemy p

= −5,

= 3. Zatem gdy p 6= −5 i p 6= 3 układ jest oznaczony.

Układ z parametrem

Pozostałe przypadki badamy osobno:
Dla p = −5 otrzymujemy układ:

−

10y

− 6z

−5

−

− 5z

który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się
sprzeczność. Dla p = 3 mamy układ

−

10y

− 6z

−

który również rozwiązujemy metodą eliminacji. Otrzymujemy
x = −

8
7

k +

1
7

, y =

5
7

k +

2
7

, z = k. Zatem układ jest nieoznaczony.

Układ z parametrem

Pozostałe przypadki badamy osobno:
Dla p = −5 otrzymujemy układ:

−

10y

− 6z

−5

−

− 5z

który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się
sprzeczność.

Dla p = 3 mamy układ

−

10y

− 6z

−

który również rozwiązujemy metodą eliminacji. Otrzymujemy
x = −

8
7

k +

1
7

, y =

5
7

k +

2
7

, z = k. Zatem układ jest nieoznaczony.

Układ z parametrem

Pozostałe przypadki badamy osobno:
Dla p = −5 otrzymujemy układ:

−

10y

− 6z

−5

−

− 5z

który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się
sprzeczność. Dla p = 3 mamy układ

−

10y

− 6z

−

który również rozwiązujemy metodą eliminacji.

Otrzymujemy

x = −

8
7

k +

1
7

, y =

5
7

k +

2
7

, z = k. Zatem układ jest nieoznaczony.

Układ z parametrem

Pozostałe przypadki badamy osobno:
Dla p = −5 otrzymujemy układ:

−

10y

− 6z

−5

−

− 5z

który rozwiązujemy metodą eliminacji, i szybko ujawnia się
sprzeczność. Dla p = 3 mamy układ

−

10y

− 6z

−

który również rozwiązujemy metodą eliminacji. Otrzymujemy
x = −

8
7

k +

1
7

, y =

5
7

k +

2
7

, z = k. Zatem układ jest nieoznaczony.

Przestrzeń wierszy macierzy

Definicja

Macierz B nazywamy

wierszowo równoważną

macierzy A, jeżeli

B można otrzymać z A przez zastosowanie skończonej liczby
operacji elementarnych na wierszach.

Definicja

Przestrzenią wierszy

macierzy A typu m × n nazywamy

podprzestrzeń przestrzeni K

, która jest generowana przez

wiersze macierzy A (traktowane jako wektory przestrzeni K

Przestrzeń wierszy macierzy

Definicja

Macierz B nazywamy

wierszowo równoważną

macierzy A, jeżeli

B można otrzymać z A przez zastosowanie skończonej liczby
operacji elementarnych na wierszach.

Definicja

Przestrzenią wierszy

macierzy A typu m × n nazywamy

podprzestrzeń przestrzeni K

, która jest generowana przez

wiersze macierzy A (traktowane jako wektory przestrzeni K

Przestrzeń wierszy macierzy

Przykład
Niech

A =











Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektory
w

= (3, 2, 1), w

= (0, 1, 0), w

= (3, 1, 1). Ponieważ

= w

+ w

, więc jest to dwuwymiarowa podprzestrzeń w R

Przestrzeń wierszy macierzy

Przykład
Niech

A =











Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektory
w

= (3, 2, 1), w

= (0, 1, 0), w

= (3, 1, 1).

Ponieważ

= w

+ w

, więc jest to dwuwymiarowa podprzestrzeń w R

Przestrzeń wierszy macierzy

Przykład
Niech

A =











Przestrzeń wierszy tej macierzy jest generowana przez wektory
w

= (3, 2, 1), w

= (0, 1, 0), w

= (3, 1, 1). Ponieważ

= w

+ w

, więc jest to dwuwymiarowa podprzestrzeń w R

Określenie rzędu

Twierdzenie

Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy.

D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych
nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym
zbiorze.

Definicja

Rzędem macierzy

A nazywamy wymiar przestrzeni wierszy

macierzy A. Oznaczamy go R(A).

Określenie rzędu

Twierdzenie

Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy.

D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych
nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym
zbiorze.

Definicja

Rzędem macierzy

A nazywamy wymiar przestrzeni wierszy

macierzy A. Oznaczamy go R(A).

Określenie rzędu

Twierdzenie

Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy.

D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych
nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym
zbiorze.

Definicja

Rzędem macierzy

A nazywamy wymiar przestrzeni wierszy

macierzy A.

Oznaczamy go R(A).

Określenie rzędu

Twierdzenie

Macierze wierszowo równoważne mają tę samą przestrzeń wierszy.

D o w ó d. Operacje elementarne na zbiorze wektorów wierszowych
nie mogą zmienić liczby wektorów liniowo niezależnych w tym
zbiorze.

Definicja

Rzędem macierzy

A nazywamy wymiar przestrzeni wierszy

macierzy A. Oznaczamy go R(A).

Obliczanie rzędu

Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych
sprowadzić do postaci schodkowej. Wiersze takiej macierzy są
liniowo niezależne.

Wniosek

Dla dowolnej macierzy A jej rząd jest równy liczbie niezerowych
wierszy w postaci schodkowej tej macierzy.

Obliczanie rzędu

Każdą macierz można za pomocą operacji elementarnych
sprowadzić do postaci schodkowej. Wiersze takiej macierzy są
liniowo niezależne.

Wniosek

Dla dowolnej macierzy A jej rząd jest równy liczbie niezerowych
wierszy w postaci schodkowej tej macierzy.

Obliczanie rzędu

Przykład
Obliczymy rząd macierzy:

A =






−1 1

−5 3 10






Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemy
operacje:
w

− 2w

i w

− 3w

, a następnie w

+ 2w






−1 1

−5 3 10






∼






−1

−3

−2 −8






∼






−1 1 3

−3 1 4






Są dwa wiersze liniowo niezależne, więc R(A) = 2.

Obliczanie rzędu

Przykład
Obliczymy rząd macierzy:

A =






−1 1

−5 3 10






Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemy
operacje:
w

− 2w

i w

− 3w

, a następnie w

+ 2w






−1 1

−5 3 10






∼






−1

−3

−2 −8






∼






−1 1 3

−3 1 4






Są dwa wiersze liniowo niezależne, więc R(A) = 2.

Obliczanie rzędu

Przykład
Obliczymy rząd macierzy:

A =






−1 1

−5 3 10






Aby przekształcić macierz do postaci schodkowej, wykonujemy
operacje:
w

− 2w

i w

− 3w

, a następnie w

+ 2w






−1 1

−5 3 10






∼






−1

−3

−2 −8






∼






−1 1 3

−3 1 4






Są dwa wiersze liniowo niezależne, więc R(A) = 2.

Związek rzędu z minorami

Twierdzenie

Jeżeli macierz zawiera minor stopnia r różny od zera, dla którego
wszystkie zawierające go minory stopnia r + 1 (minory
obrzeżające) są równe zeru, to rząd tej macierzy jest równy r .

A zatem rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni różnych
od zera minorów tej macierzy.

Związek rzędu z minorami

Twierdzenie

Jeżeli macierz zawiera minor stopnia r różny od zera, dla którego
wszystkie zawierające go minory stopnia r + 1 (minory
obrzeżające) są równe zeru, to rząd tej macierzy jest równy r .

A zatem rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni różnych
od zera minorów tej macierzy.

Związek rzędu z minorami

Obliczanie rzędu macierzy metodą obrzeżania należy prowadzić od
stopni najniższych do najwyższych. Przykładowo, weźmy ponownie
macierz

A =






−1 1

−5 3 10






Minor |a

| = 1 jest niezerowy. Minor obrzeżający:

−1

−5

= −3

jest także niezerowy. Dla niego mamy dwa minory obrzeżające:

−1 1

−5 3

= 0

−1

−5 10

= 0,

a więc R(A) = 2.

Macierze A i A

mają te same minory, więc mamy poniższy

wniosek:

Wniosek

R(A) = R(A

Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejny
wniosek:

Wniosek

Rząd macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn
macierzy.

Inaczej, rząd wierszowy jest równy rzędowi kolumnowemu. Zatem
przy obliczaniu rzędu metodą przekształcania macierzy do postaci
schodkowej można wykonywać również operacje na kolumnach (co
było niedopuszczalne w metodzie eliminacji).

Macierze A i A

mają te same minory, więc mamy poniższy

wniosek:

Wniosek

R(A) = R(A

Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejny
wniosek:

Wniosek

Rząd macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn
macierzy.

Macierze A i A

mają te same minory, więc mamy poniższy

wniosek:

Wniosek

R(A) = R(A

Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejny
wniosek:

Wniosek

Rząd macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn
macierzy.

Macierze A i A

mają te same minory, więc mamy poniższy

wniosek:

Wniosek

R(A) = R(A

Przy transponowaniu wiersze stają się kolumnami. Stąd kolejny
wniosek:

Wniosek

Rząd macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn
macierzy.

Układ jako równanie wektorowe

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

(3)

Niech A oznacza macierz układu, a B — macierz uzupełnioną
układu:

A =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








B =








· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·








Każdą kolumnę można traktować jako wektor przestrzeni K

Oznaczmy:








. . .








w =








. .








Wtedy układ (3) jest równoważny równaniu wektorowemu:

+ x

+ · · · + x

= w.

(4)

Każdą kolumnę można traktować jako wektor przestrzeni K

Oznaczmy:








. . .








w =








. .








Wtedy układ (3) jest równoważny równaniu wektorowemu:

+ x

+ · · · + x

= w.

(4)

Twierdzenie Kroneckera–Capellego

Twierdzenie (Kroneckera–Capellego)

Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

R(A) = R(B).

D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x

∈ K

spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4). Z równania
(4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniową wektorów
v

, v

, . . . , v

. Tym samym w należy do przestrzeni rozpiętej na

wektorach v

, v

, . . . , v

. Zatem wymiary przestrzeni generowanych

przez {v

, v

, . . . , v

} i {v

, v

, . . . , v

, w} są takie same, a to

oznacza, że R(A) = R(B).

Twierdzenie Kroneckera–Capellego

Twierdzenie (Kroneckera–Capellego)

Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

R(A) = R(B).

D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x

∈ K

spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4).

Z równania

(4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniową wektorów
v

, v

, . . . , v

. Tym samym w należy do przestrzeni rozpiętej na

wektorach v

, v

, . . . , v

. Zatem wymiary przestrzeni generowanych

przez {v

, v

, . . . , v

} i {v

, v

, . . . , v

, w} są takie same, a to

oznacza, że R(A) = R(B).

Twierdzenie Kroneckera–Capellego

Twierdzenie (Kroneckera–Capellego)

Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

R(A) = R(B).

D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x

∈ K

spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4). Z równania
(4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniową wektorów
v

, v

, . . . , v

. Tym samym w należy do przestrzeni rozpiętej na

wektorach v

, v

, . . . , v

Zatem wymiary przestrzeni generowanych

przez {v

, v

, . . . , v

} i {v

, v

, . . . , v

, w} są takie same, a to

oznacza, że R(A) = R(B).

Twierdzenie Kroneckera–Capellego

Twierdzenie (Kroneckera–Capellego)

Układ (3) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy

R(A) = R(B).

D o w ó d. Jeżeli układ ma rozwiązanie, to istnieją elementy x

∈ K

spełniające układ (3), a więc i równanie wektorowe (4). Z równania
(4) wynika, że wektor w jest kombinacją liniową wektorów
v

, v

, . . . , v

. Tym samym w należy do przestrzeni rozpiętej na

wektorach v

, v

, . . . , v

. Zatem wymiary przestrzeni generowanych

przez {v

, v

, . . . , v

} i {v

, v

, . . . , v

, w} są takie same, a to

oznacza, że R(A) = R(B).

Twierdzenie Kroneckera–Capellego

Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r , to wśród wektorów
v

, v

, . . . , v

jest r liniowo niezależnych — niech to będą

, v

, . . . , v

Ale R(B) = r , więc wśród wektorów v

, v

, . . . , v

, w jest też tylko

r liniowo niezależnych. Muszą to być v

, v

, . . . , v

Pozostałe są od nich liniowo zależne. W szczególności w jest
kombinacją liniową wektorów v

, v

, . . . , v

, a więc i wektorów

, v

, . . . , v

. Tym samym istnieją elementy x

∈ K spełniające

równanie (4), a więc i układ (3).

Twierdzenie Kroneckera–Capellego

Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r , to wśród wektorów
v

, v

, . . . , v

jest r liniowo niezależnych — niech to będą

, v

, . . . , v

Ale R(B) = r , więc wśród wektorów v

, v

, . . . , v

, w jest też tylko

r liniowo niezależnych. Muszą to być v

, v

, . . . , v

Pozostałe są od nich liniowo zależne. W szczególności w jest
kombinacją liniową wektorów v

, v

, . . . , v

, a więc i wektorów

, v

, . . . , v

. Tym samym istnieją elementy x

∈ K spełniające

równanie (4), a więc i układ (3).

Twierdzenie Kroneckera–Capellego

Odwrotnie, jeśli R(A) = R(B) = r , to wśród wektorów
v

, v

, . . . , v

jest r liniowo niezależnych — niech to będą

, v

, . . . , v

Ale R(B) = r , więc wśród wektorów v

, v

, . . . , v

, w jest też tylko

r liniowo niezależnych. Muszą to być v

, v

, . . . , v

Pozostałe są od nich liniowo zależne. W szczególności w jest
kombinacją liniową wektorów v

, v

, . . . , v

, a więc i wektorów

, v

, . . . , v

. Tym samym istnieją elementy x

∈ K spełniające

równanie (4), a więc i układ (3).

Układ jednorodny

Układ jednorodny:

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

(5)

ma zawsze rozwiązanie

= x

= . . . = x

= 0.

Układ jednorodny

Układ jednorodny:

· · ·

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

· · ·

(5)

ma zawsze rozwiązanie

= x

= . . . = x

= 0.

Układ jednorodny

Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n.

Jeśli

R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n−r parametrów.
Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowania
niewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi są
x

r +1

, x

r +2

, . . . , x

. Niewiadome główne są ich kombinacjami.

Zatem rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci wektora:





i =r +1

1
i

, . . . ,

i =r +1

r
i

, x

r +1

, x

r +2

, . . . , x





Układ jednorodny

Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n. Jeśli
R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n−r parametrów.

Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowania
niewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi są
x

r +1

, x

r +2

, . . . , x

. Niewiadome główne są ich kombinacjami.

Zatem rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci wektora:





i =r +1

1
i

, . . . ,

i =r +1

r
i

, x

r +1

, x

r +2

, . . . , x





Układ jednorodny

Jest to jedyne rozwiązanie w przypadku, gdy R(A) = n. Jeśli
R(A) = r < n, to rozwiązanie ogólne zależy od n−r parametrów.
Można założyć (to kwestia ewentualnego przenumerowania
niewiadomych), że niewiadomymi swobodnymi są
x

r +1

, x

r +2

, . . . , x

Niewiadome główne są ich kombinacjami.

Zatem rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci wektora:





i =r +1

1
i

, . . . ,

i =r +1

r
i

, x

r +1

, x

r +2

, . . . , x





Układ jednorodny

r +1

, x

r +2

, . . . , x

. Niewiadome główne są ich kombinacjami.

Zatem rozwiązanie ogólne można zapisać w postaci wektora:





i =r +1

1
i

, . . . ,

i =r +1

r
i

, x

r +1

, x

r +2

, . . . , x





Układ jednorodny

Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R

Bazę tej podprzestrzeni

otrzymamy, podstawiając za

r +1

, x

r +2

, . . . , x

kolejno układy

(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)

Otrzymamy wtedy wektory:

1
r +1

, a

2
r +1

, . . . , a

r
r +1

, 1, 0, . . . , 0),

1
r +2

, a

2
r +2

, . . . , a

r
r +2

, 0, 1, . . . , 0),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( a

, a

, . . . , a

, 0, 0, . . . , 1).

Takie rozwiązania nazywamy

bazowymi

. Dowolne inne rozwiązanie

jest kombinacją tych rozwiązań.

Układ jednorodny

Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R

. Bazę tej podprzestrzeni

otrzymamy, podstawiając za

r +1

, x

r +2

, . . . , x

kolejno układy

(1, 0, . . . , 0),

(0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)

Otrzymamy wtedy wektory:

1
r +1

, a

2
r +1

, . . . , a

r
r +1

, 1, 0, . . . , 0),

1
r +2

, a

2
r +2

, . . . , a

r
r +2

, 0, 1, . . . , 0),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( a

, a

, . . . , a

, 0, 0, . . . , 1).

Takie rozwiązania nazywamy

bazowymi

. Dowolne inne rozwiązanie

jest kombinacją tych rozwiązań.

Układ jednorodny

Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R

. Bazę tej podprzestrzeni

otrzymamy, podstawiając za

r +1

, x

r +2

, . . . , x

kolejno układy

(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0),

. . . , (0, 0, . . . , 1)

Otrzymamy wtedy wektory:

1
r +1

, a

2
r +1

, . . . , a

r
r +1

, 1, 0, . . . , 0),

1
r +2

, a

2
r +2

, . . . , a

r
r +2

, 0, 1, . . . , 0),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( a

, a

, . . . , a

, 0, 0, . . . , 1).

Takie rozwiązania nazywamy

bazowymi

. Dowolne inne rozwiązanie

jest kombinacją tych rozwiązań.

Układ jednorodny

Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R

. Bazę tej podprzestrzeni

otrzymamy, podstawiając za

r +1

, x

r +2

, . . . , x

kolejno układy

(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)

Otrzymamy wtedy wektory:

1
r +1

, a

2
r +1

, . . . , a

r
r +1

, 1, 0, . . . , 0),

1
r +2

, a

2
r +2

, . . . , a

r
r +2

, 0, 1, . . . , 0),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( a

, a

, . . . , a

, 0, 0, . . . , 1).

Takie rozwiązania nazywamy

bazowymi

. Dowolne inne rozwiązanie

jest kombinacją tych rozwiązań.

Układ jednorodny

Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R

. Bazę tej podprzestrzeni

otrzymamy, podstawiając za

r +1

, x

r +2

, . . . , x

kolejno układy

(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)

Otrzymamy wtedy wektory:

1
r +1

, a

2
r +1

, . . . , a

r
r +1

, 1, 0, . . . , 0),

1
r +2

, a

2
r +2

, . . . , a

r
r +2

, 0, 1, . . . , 0),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( a

, a

, . . . , a

, 0, 0, . . . , 1).

Takie rozwiązania nazywamy

bazowymi

. Dowolne inne rozwiązanie

jest kombinacją tych rozwiązań.

Układ jednorodny

Zbiór rozwiązań jest podprzestrzenią w R

. Bazę tej podprzestrzeni

otrzymamy, podstawiając za

r +1

, x

r +2

, . . . , x

kolejno układy

(1, 0, . . . , 0), (0, 1, . . . , 0), . . . , (0, 0, . . . , 1)

Otrzymamy wtedy wektory:

1
r +1

, a

2
r +1

, . . . , a

r
r +1

, 1, 0, . . . , 0),

1
r +2

, a

2
r +2

, . . . , a

r
r +2

, 0, 1, . . . , 0),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

( a

, a

, . . . , a

, 0, 0, . . . , 1).

Takie rozwiązania nazywamy

bazowymi

. Dowolne inne rozwiązanie

jest kombinacją tych rozwiązań.

Przykład

−

Niewiadomymi swobodnymi są u i w .

Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy

x = −3,

y = −2,

a dla u = 0, w = 1 jest

x = −4,

y = 1,

Rozwiązaniami bazowymi są

(−3, −2, 1, 0),

(−4, 1, 0, 1)

a rozwiązanie ogólne jest postaci:

k(−3, −2, 1, 0) + l (−4, 1, 0, 1) ,

gdzie k, l ∈ R.

Przykład

−

Niewiadomymi swobodnymi są u i w .
Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy

x = −3,

y = −2,

a dla u = 0, w = 1 jest

x = −4,

y = 1,

Rozwiązaniami bazowymi są

(−3, −2, 1, 0),

(−4, 1, 0, 1)

a rozwiązanie ogólne jest postaci:

k(−3, −2, 1, 0) + l (−4, 1, 0, 1) ,

gdzie k, l ∈ R.

Przykład

−

Niewiadomymi swobodnymi są u i w .
Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy

x = −3,

y = −2,

a dla u = 0, w = 1 jest

x = −4,

y = 1,

Rozwiązaniami bazowymi są

(−3, −2, 1, 0),

(−4, 1, 0, 1)

a rozwiązanie ogólne jest postaci:

k(−3, −2, 1, 0) + l (−4, 1, 0, 1) ,

gdzie k, l ∈ R.

Przykład

−

Niewiadomymi swobodnymi są u i w .
Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy

x = −3,

y = −2,

a dla u = 0, w = 1 jest

x = −4,

y = 1,

Rozwiązaniami bazowymi są

(−3, −2, 1, 0),

(−4, 1, 0, 1)

a rozwiązanie ogólne jest postaci:

k(−3, −2, 1, 0) + l (−4, 1, 0, 1) ,

gdzie k, l ∈ R.

Przykład

−

Niewiadomymi swobodnymi są u i w .
Po podstawieniu u = 1, w = 0 mamy

x = −3,

y = −2,

a dla u = 0, w = 1 jest

x = −4,

y = 1,

Rozwiązaniami bazowymi są

(−3, −2, 1, 0),

(−4, 1, 0, 1)

a rozwiązanie ogólne jest postaci:

k(−3, −2, 1, 0) + l (−4, 1, 0, 1) ,

gdzie k, l ∈ R.