Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 22

22. Pole magnetyczne, indukcja elektromagnetyczna

22.1 Prawo

Ampera

Chcemy teraz znaleźć pole magnetyczne wytwarzane przez powszechnie występują-

ce rozkłady prądów, takich jak przewodniki prostoliniowe, cewki itd.

Pole magnetyczne prezentujemy graficznie rysując tzw.

linie pola magnetycznego

czyli linie wektora indukcji magnetycznej. Na rysunku pokazane są linie pola magne-
tycznego wokół prostoliniowego przewodnika z prądem. Wektor B jest styczny do tych
linii pola w każdym punkcie.

Linie pola B wytwarzanego przez przewodnik są

zamkniętymi

współśrodkowymi

okręgami w płaszczyźnie prostopadłej do przewodnika

. To, że linie pola B są zamknięte

stanowi fundamentalną różnicę między polem magnetycznym i elektrycznym, którego
linie zaczynają się i kończą na ładunkach.

Zwrot wektora indukcji B wokół przewodnika wyznaczamy stosując następującą za-

sadę: Jeśli kciuk prawej ręki wskazuje kierunek prądu I, to zgięte palce wskazują kieru-
nek B (linie pola B krążą wokół prądu).
Żeby obliczyć pole B potrzeba nam "magnetycznego" odpowiednika prawa Gaussa.
Związek między prądem i polem B jest wyrażony poprzez

prawo Ampera

.

Zamiast sumowania (całki) E po zamkniętej powierzchni, w prawie Ampera sumujemy
(całkujemy) po zamkniętym konturze (całkę krzywoliniową). Taka całka dla pola E
równała się wypadkowemu ładunkowi wewnątrz powierzchni, a w przypadku pola B
jest równa całkowitemu prądowi otoczonemu przez kontur, co zapisujemy

∫

=

I

0

d

µ

l

B

(22.1)

22-1

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

gdzie

µ

0

= 4

π·10

-7

Tm/A, jest

przenikalnością magnetyczną próżni

. Tak jak w przypad-

ku prawa Gaussa wynik był prawdziwy dla dowolnej powierzchni zamkniętej tak dla
prawa Ampera wynik nie zależy od kształtu konturu zamkniętego

Przykład 1

Obliczmy pole wokół nieskończenie długiego prostoliniowego przewodnika w odległo-
ści r od niego.

I

r

Z prawa Ampera wynika, że dla konturu kołowego

B2

πr = µ

0

I

Stąd

r

I

B

π

µ

2

0

=

(22.2)

22.2 Strumień magnetyczny

Tak jak liczyliśmy strumień dla pola E (liczbę linii przechodzących przez po-

wierzchnię S) tak też obliczamy strumień pola B

∫

=

S

B

s

B d

φ

(22.3)

Ponieważ linie pola B są zamknięte więc strumień przez zamkniętą powierzchnię musi
być równy zeru

(tyle samo linii wchodzi co wychodzi).

∫

=

S

0

d s

B

22-2

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

22.3 Przykładowe rozkłady prądów

22.3.1 Pręt (przewodnik)

Na zewnątrz pręta (r > R) znamy już pole B.

I

r

R

r

I

B

π

µ

2

0

=

Pole to jest takie jakby cały prąd płynął przez środek pręta (analogie do rozkładu ładun-
ków).
Jeżeli chcemy obliczyć pole wewnątrz pręta to wybieramy kontur kołowy o r < R.
Wewnątrz konturu przepływa prąd i będący tylko częścią całkowitego prądu I

2

2

R

r

I

i

π

π

=

Stąd

B2

πr = µ

0

i

2

2

0

2

R

r

I

r

B

π

π

µ

π =

Czyli

2

0

2 R

Ir

B

π

µ

=

22.3.2 Cewka (solenoid)

Solenoidem

nazywamy cewkę składającą się z dużej liczby zwojów. Linie pola ma-

gnetycznego solenoidu są pokazane schematycznie na rysunku poniżej. Jak widać pole
wewnątrz solenoidu jest jednorodne, a na zewnątrz praktycznie równe zeru.

22-3

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Jeżeli zwoje solenoidu stykają się ze sobą wówczas możemy rozpatrywać solenoid jako
układ połączonych szeregowo prądów kołowych (rysunek).
Do obliczenia pola wytwarzanego przez solenoid zastosujemy prawo Ampera, dla kon-
turu pokazanego na rysunku poniżej.

a

b

c

d

B

Całkę po konturze zamknietym

∫

l

B d przedstawimy jako sumę czterech całek

∫

∫

∫

∫

∫

+

+

+

=

a

d

d

c

c

b

b

a

l

B

l

B

l

B

l

B

l

B

d

d

d

d

d

Druga i czwarta całka są równe zeru bo B

⊥ l. Trzecia całka jest też równa zero ale to

dlatego, że B = 0 na zewnątrz solenoidu. Tak więc niezerowa jest tylko całka pierwsza
i równa

∫

=

b

a

h

B

l

B d

gdzie h jest długością odcinka ab.
Teraz obliczmy prąd obejmowany przez kontur.
Jeżeli cewka ma n zwojów na jednostkę długości to wewnątrz konturu jest nh zwojów
czyli całkowity prąd przez kontur wynosi:

I = I

0

nh

gdzie I

0

jest prądem przepływającym przez cewkę (przez pojedynczy zwój).

22-4

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Z prawa Ampera otrzymujemy więc:

Bh =

µ

0

I

0

nh

czyli

B =

µ

0

I

0

n

(22.4)

22.3.3 Dwa przewodniki równoległe

Dwa przewodniki równoległe umieszczone w odległości d. Płyną w nich prądy I

a

i I

b

odpowiednio.

d

i

a

i

b

F

B

a

l

a

b

Przewodnik a wytwarza w swoim otoczeniu pole

d

I

B

a

a

π

µ

2

0

=

W tym polu znajduje się przewodnik b, w którym przepływa prąd I

b

. Na odcinek l tego

przewodnika działa siła

d

I

I

l

lB

I

F

b

a

a

b

b

π

µ

2

0

=

=

(22.5)

Zwrot siły widać na rysunku.
To rozumowanie można "odwrócić" zaczynając od przewodnika b. Wynik jest ten sam.

Fakt oddziaływania przewodników równoległych wykorzystano przy definicji am-

pera. Załóżmy, że d = 1m oraz, że I

a

= I

b

= I. Jeżeli dobierzemy tak prąd aby siła przy-

ciągania przewodników, na 1 m ich długości, wynosiła 2·10

-7

N to mówimy, że natęże-

nie prądu jest równe

1 amperowi

.

22-5

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

22.4 Prawo

Biota-Savarta

Istnieje inne równanie, zwane

prawem Biota-Savarta

, które pozwala obliczyć B

z rozkładu prądu. Oczywiście to prawo i prawo Ampera muszą być matematycznie rów-
noważne. Prawo Ampera jest jednak "łatwe" w stosowaniu tylko gdy rozkłady prądów
są na tyle symetryczne, że obliczenie odpowiedniej całki nie jest trudne. Gdy rozkład
prądów jest skomplikowany (nie znamy jego symetrii) to dzielimy prądy na nie-
skończenie małe elementy (rysunek) i stosując prawo Biota-Savarta obliczamy pole od
takich elementów, a następnie sumujemy je (całkujemy) żeby uzyskać wypadkowy
wektor B.

r

dl

I

θ

dB

Wartość liczbowa dB zgodnie z prawem Biota-Savarta wynosi

2

0

sin

d

4

d

r

l

I

B

θ

π

µ

=

a zapisane w postaci wektorowej

3

0

d

4

d

r

I

r

l

B

×

=

π

µ

(22.6)

Przykład 2

Obliczmy pole B na osi kołowego przewodnika z prądem.

dB

⊥

dB

II

d

R

x

r

α

I

Z prawa B -S otrzymujemy

2

0

90

sin

d

4

d

r

l

I

B

o

π

µ

=

oraz

22-6

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

α

cos

d

d

B

B

II

=

Z tych równań otrzymujemy

2

0

4

d

cos

d

r

l

I

B

II

π

α

µ

=

Ponadto

2

2

x

R

r

+

=

oraz

2

2

cos

x

R

R

r

R

+

=

=

α

Podstawiając otrzymujemy

l

x

R

IR

B

II

d

)

(

4

d

2

3

2

2

0

+

=

π

µ

Zauważmy, że wielkości I, R, x są takie same dla wszystkich elementów prądu.
Całkujemy, żeby obliczyć B (wyłączając stałe czynniki przed znak całki)

2

3

2

2

2

0

2

3

2

2

0

2

3

2

2

0

)

(

2

)

2

(

)

(

4

d

)

(

4

d

x

R

IR

R

x

R

IR

l

x

R

IR

B

B

II

+

=

+

=

+

=

=

∫

∫

µ

π

π

µ

π

µ

Dla x >> R dostajemy

3

2

0

2x

IR

B

µ

=

22.5 Indukcja

elektromagnetyczna

22.5.1 Prawo Faradaya

Zjawisko

indukcji elektromagnetycznej

polega na powstawaniu prądów elektrycz-

nych w zamkniętym obwodzie podczas przemieszczania się względem siebie źródła po-
la magnetycznego i tego zamkniętego obwodu. Mówimy, że w obwodzie jest

induko-

wana siła elektromotoryczna

(SEM indukcji), która wywołuje przepływ

prądu indukcyj-

nego

.

Prawo indukcji Faradaya stosuje się do trzech różnych sytuacji fizycznych:
• Nieruchoma pętla, względem której porusza się źródło pola magnetycznego (mamy

tzw. elektryczną SEM).

• Przewód w kształcie pętli porusza się w obszarze pola magnetycznego (magnetycz-

na SEM).

• Nieruchoma pętla i nieruchome źródło pola magnetycznego lecz zmienia się prąd,

który jest źródłem pola magnetycznego (także elektryczna SEM).

Na podstawie obserwacji Faraday doszedł do wniosku, że czynnikiem decydującym jest

szybkość zmian

strumienia magnetycznego

φ

B

. Ilościowy związek przedstawia prawo

Faradaya

22-7

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

t

B

d

d

φ

ε −

=

(22.7)

Jeżeli mamy obwód złożony z N zwojów to

t

N

B

d

d

φ

ε −

=

22.5.2 Reguła Lenza

Prąd indukowany ma taki kierunek, że przeciwstawia się zmianie, która go wywoła-

ła. Kierunek prądu indukowanego w pętli (rysunek) zależy od tego czy strumień rośnie
czy maleje (zbliżamy czy oddalamy magnes). Ta reguła dotyczy prądów indukowanych.

S N

v

I

S N

v

I

22-8