2014 Matura 01 03 2014 odp

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

P

RÓBNY

E

GZAMIN

M

ATURALNY

Z

M

ATEMATYKI

Z

ESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS

WWW

.

ZADANIA

.

INFO

POZIOM PODSTAWOWY

1

MARCA

2014

C

ZAS PRACY

: 170

MINUT

Zadania zamkni˛ete

Z

ADANIE

1

(1

PKT

)

Wska ˙z rysunek, na którym przedstawiony jest zbiór rozwi ˛

aza ´n nierówno´sci 4

(

x

1

) >

3x.

4

x

1

x

x

x

A)

B)

C)

D)

4

1

4

1

R

OZWI ˛

AZANIE

Przekształ´cmy dan ˛

a nierówno´s´c

4

(

x

1

) >

3x

4x

4

>

3x

x

>

4.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

2

(1

PKT

)

´

Cwier´c liczby a zwi˛ekszono o 40%. Otrzymano
A) 3, 5a

B) 35%

·

a

C) 65%

·

a

D) 0, 25a

+

40%

·

a

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

1

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

0, 25a

+

40%

·

0, 25a

=

0, 25a

+

0, 4

·

0, 25a

=

0, 25a

+

0, 1a

=

0, 35a

=

35%

·

a.

Mogli´smy te ˙z liczy´c tak

1, 4

·

0, 25a

=

0, 35a

=

35%

·

a.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

3

(1

PKT

)

Wska ˙z zbiór rozwi ˛

aza ´n nierówno´sci

p

(

3

+

x

)

2

6 3.

A) x

∈ h−

6, 0

i

B) x

∈ h

0, 6

i

C) x

∈ h−

3, 3

i

D) x

∈ h−

3, 0

i

R

OZWI ˛

AZANIE

Zapisujemy nierówno´s´c w postaci nierówno´sci z warto´sci ˛

a bezwzgl˛edn ˛

a

|

3

+

x

|

6 3

|

x

− (−

3

)|

6 3.

Rozwi ˛

azaniem tej nierówno´sci jest zbiór liczb, które s ˛

a odległe od

3 o nie wi˛ecej ni ˙z 3, czyli

przedział

h−

3

3,

3

+

3

i = h−

6, 0

i

.

Odpowied´z: A

Zadania

.info

Podobają Ci się nasze rozwiązania?

Pokaż je koleżankom i kolegom ze szkoły!

Z

ADANIE

4

(1

PKT

)

Je´sli a

=

log

3

9 i b

=

log

3

21

log

3

7 to:

A) a

=

b

B) a

<

b

C) a

>

b

D) a

2

=

b

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

a

=

log

3

9

=

log

3

(

3

)

4

=

4

b

=

log

3

21

log

3

7

=

log

3

21

7

=

log

3

3

=

log

3

3

1

2

=

1
2

.

Zatem a

>

b.

Odpowied´z: C

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

2

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

5

(1

PKT

)

Liczb ˛

a, która nie nale ˙zy do zbioru warto´sci funkcji f

(

x

) =

10

2

x

3

jest

A) 10

B) 3

C)

3

D) 0

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Wykresem funkcji f jest hiperbola y

= −

2

x

przesuni˛eta o 3 jednostki w prawo i o 10 jednostek

do góry.

-5

-1

+3

+5

x

-1

+1

+5

+10

y

y=10

Gdy j ˛

a naszkicujemy wida´c, ˙ze nie ma ona punktów wspólnych z poziom ˛

a prost ˛

a y

=

10.

Sposób II

Ułamek

2

x

3

oczywi´scie nigdy (tj. dla ˙zadnej warto´sci x) nie mo ˙ze by´c równy 0, wi˛ec funkcja

f

(

x

) =

10

2

x

3

nie przyjmuje warto´sci 10.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

6

(1

PKT

)

Punkt A

= (

2, 1

)

le ˙zy na wykresie funkcji liniowej f

(

x

) = (

m

3

)

x

+

m

2. St ˛

ad wynika,

˙ze

A) m

=

1

B) m

=

7

2

C) m

=

3

D) m

=

9

R

OZWI ˛

AZANIE

Podstawiamy w danym wzorze współrz˛edne punktu A.

1

=

2m

6

+

m

2

3m

=

9

m

=

3.

Odpowied´z: C

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

3

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

7

(1

PKT

)

Liczba

(

1

+

2

)

3

jest równa

A) 7

5

2

B) 7

+

2

C) 1

+

8

D) 7

+

5

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy korzystaj ˛

ac ze wzoru skróconego mno ˙zenia

(

a

+

b

)

3

=

a

3

+

3a

2

b

+

3ab

2

+

b

3

.

Mamy wi˛ec

(

1

+

2

)

3

=

1

3

+

3

·

1

2

·

2

+

3

·

1

· (

2

)

2

+ (

2

)

3

=

=

1

+

3

2

+

6

+

2

2

=

7

+

5

2.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

8

(1

PKT

)

Ka ˙zdy bok trójk ˛

ata prostok ˛

atnego o bokach 3, 4, 5 kolorujemy jednym z 6 kolorów tak, aby

˙zadne dwa boki nie były pokolorowane tym samym kolorem. Ile jest takich pokolorowa ´n?

A) 15

B) 120

C) 216

D) 20

R

OZWI ˛

AZANIE

Pierwszy bok trójk ˛

ata mo ˙zemy pokolorowa´c na 6 sposobów, drugi na 5 (bo ma mie´c inny

kolor ni ˙z pierwszy), a trzeci na 4 sposoby. W sumie jest wi˛ec

6

·

5

·

4

=

120

sposobów.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

9

(1

PKT

)

Wierzchołek paraboli y

= (

2x

+

1

)

2

+

1

6

le ˙zy na prostej o równaniu

A) y

= −

1

3

x

B) y

=

1

3

x

C) y

=

3x

D) y

= −

1

6

x

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Przypomnijmy, ˙ze postaci ˛

a kanoniczn ˛

a funkcji kwadratowej jest

y

=

a

(

x

x

w

)

2

+

y

w

,

gdzie

(

x

w

, y

w

)

s ˛

a współrz˛ednymi wierzchołka. Zatem podany wzór nie jest postaci ˛

a kano-

niczn ˛

a, ale łatwo go do niej sprowadzi´c.

y

= (

2x

+

1

)

2

+

1
6

=

4



x

+

1
2



2

+

1
6

.

Wierzchołek ma wi˛ec współrz˛edne



1

2

,

1

6



, które spełniaj ˛

a y

w

= −

1

3

x

w

.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

4

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Sposób II

Mo ˙zemy te ˙z znale´z´c współrz˛edne wierzchołka ze wzoru

(

x

w

, y

w

) =



b

2a

,

4a



.

Liczymy

(

2x

+

1

)

2

+

1
6

=

4x

2

+

4x

+

1

+

1
6

=

4x

2

+

4x

+

7
6

=

16

4

·

4

·

7
6

=

16



1

7
6



=

16

·



1
6



= −

8
3

(

x

w

, y

w

) =



b

2a

,

4a



=

4

8

,

8

3

16

!

=



1
2

,

1
6



.

Jak poprzednio zauwa ˙zamy, ˙ze y

w

= −

1

3

x

w

.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

10

(1

PKT

)

Korzystaj ˛

ac z danego wykresu funkcji f , wska ˙z nierówno´s´c prawdziw ˛

a

x

y

1

2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

-1

-1

-2

-2

-3

-4

-5

-6

-3

A) f

(−

1

) <

f

(

1

)

B) f

(

2

) <

f

(

3

)

C) f

(−

3

) >

f

(

4

)

D) f

(

3

) <

f

(

1

)

R

OZWI ˛

AZANIE

Odczytujemy z wykresu.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

11

(1

PKT

)

Prosta o równaniu y

=

mx

+

1 jest prostopadła do prostej o równaniu x

=

ny

+

1. St ˛

ad

wynika, ˙ze
A) m

=

n

B) mn

= −

1

C) m

+

n

= −

1

D) m

+

n

=

0

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

5

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Proste y

=

ax

+

b i y

=

cx

+

d s ˛

a prostopadłe je ˙zeli ac

= −

1. Drug ˛

a z danych prostych

mo ˙zemy zapisa´c w postaci

y

=

1

n

x

1

n

Mamy zatem

m

·

1

n

= −

1

m

= −

n

m

+

n

=

0.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

12

(1

PKT

)

Dane s ˛

a wielomiany: W

(

x

) =

2x

6

3x

3

+

5x

+

4 i P

(

x

) = −

4x

4

12x

2

+

5. Stopie ´n wielo-

mianu W

(

x

) ·

P

(

x

)

jest równy:

A) 24

B) 10

C) 9

D) 6

R

OZWI ˛

AZANIE

Aby ustali´c jaki b˛edzie stopie ´n wielomianu W

(

x

) ·

P

(

x

)

mno ˙zymy najwy ˙zsze pot˛egi x-a z

obu wielomianów

2x

6

· (−

4x

4

) = −

8x

6

+

4

= −

8x

10

.

Zatem W

(

x

) ·

P

(

x

)

jest wielomianem stopnia 10.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

13

(1

PKT

)

Liczby x, x

+

2, x

+

5 tworz ˛

a ci ˛

ag geometryczny. Wynika st ˛

ad, ˙ze

A) x

=

16

B) x

=

4

C) x

=

6

2

D) x

=

7

2

R

OZWI ˛

AZANIE

W ci ˛

agu geometrycznym kwadrat ka ˙zdego wyrazu (z wyj ˛

atkiem pierwszego) jest iloczynem

wyrazów s ˛

asiednich. Mamy wi˛ec

a

1

a

3

=

a

2

2

x

(

x

+

5

) = (

x

+

2

)

2

x

2

+

5x

=

x

2

+

4x

+

4

x

=

4.

Odpowied´z: B

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

6

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

14

(1

PKT

)

Na rysunku zaznaczono długo´sci niektórych odcinków w rombie oraz k ˛

at α.

18

15

α

Wtedy
A) sin α

=

3

4

B) cos α

=

4

5

C) sin α

=

4

5

D) sin α

=

3

5

R

OZWI ˛

AZANIE

Dorysujmy drug ˛

a przek ˛

atn ˛

a.

15

α

9

9

12

12

Przek ˛

atne rombu dziel ˛

a si˛e na połowy i s ˛

a prostopadłe, wi˛ec otrzymali´smy 4 przystaj ˛

ace

trójk ˛

aty prostok ˛

atne o przyprostok ˛

atnych długo´sci 9 i

p

15

2

9

2

=

144

=

12.

Zatem

cos α

=

9

15

=

3
5

sin α

=

12
15

=

4
5

.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

15

(1

PKT

)

K ˛

at α jest ostry i sin α

=

2

1. Warto´s´c wyra ˙zenia

cos

4

α

4

jest równa

A)

2

1

B) 2

2

2

C) 3

+

2

2

D) 3

2

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Z podanego sinusa i jedynki trygonometrycznej wyliczamy kwadrat cosinusa.

cos

2

α

=

1

sin

2

α

=

1

− (

2

1

)

2

=

1

− (

2

2

2

+

1

) =

2

2

2.

Zatem

cos

4

α

4

=

 cos

2

α

2



2

= (

2

1

)

2

=

2

2

2

+

1

=

3

2

2.

Odpowied´z: D

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

7

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

16

(1

PKT

)

´Srednice AB i CD okr˛egu o ´srodku S przecinaj ˛a si˛e pod k ˛atem 40

(tak jak na rysunku).

α

A

B

D

M

C

S

40

o

Miara k ˛

ata α jest równa

A) 80

B) 40

C) 30

D) 20

R

OZWI ˛

AZANIE

Miara k ˛

ata α

=

]DMB jest równa połowie miary k ˛

ata ´srodkowego ]DSB, a ten k ˛

at z kolei

jest równy k ˛

atowi k ˛

atowi ]ASC. Zatem

α

=

1
2

·

40

=

20

.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

17

(1

PKT

)

Krótsza przek ˛

atna sze´sciok ˛

ata foremnego ma długo´s´c 8. Wówczas pole koła wpisanego w

ten sze´sciok ˛

at jest równe

A) 4π

B) 8π

C) 16π

D) 64π

R

OZWI ˛

AZANIE

Robimy szkicowy rysunek

4

4

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

8

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z rysunku wida´c, ˙ze długo´s´c krótszej przek ˛

atnej sze´sciok ˛

ata jest równa ´srednicy koła

wpisanego w ten sze´sciok ˛

at. Zatem pole tego koła jest równe

π

·

4

2

=

16π.

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

18

(1

PKT

)

Równanie okr˛egu wpisanego w romb o wierzchołkach A

= (

0,

2

)

, B

= (

4, 1

)

, C

= (

4, 6

)

, D

=

(

0, 3

)

ma posta´c

A)

(

x

+

2

)

2

+ (

y

+

2

)

2

=

4

B)

(

x

2

)

2

+ (

y

2

)

2

=

2

C)

(

x

2

)

2

+ (

y

2

)

2

=

4

D)

(

x

+

2

)

2

+ (

y

+

2

)

2

=

2

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli naszkicujemy romb, to jest jasne, ˙ze ´srodkiem okr˛egu wpisanego jest ´srodek przek ˛

atnej

AC (czyli punkt przeci˛ecia przek ˛

atnych).

-1

x

-1

+1

+5

+10

y

A

B

C

D

S

Zatem

S

=

 0

+

4

2

,

2

+

6

2



= (

2, 2

)

.

Promie ´n okr˛egu wpisanego jest równy odległo´sci punktu S od osi Oy (bo zawiera ona bok

AD) rombu, czyli jest równy 2. Zatem szukane równanie ma posta´c

(

x

2

)

2

+ (

y

2

)

2

=

4

Odpowied´z: C

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

9

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

19

(1

PKT

)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y

=

f

(

x

)

.

x

y

1

2 3 4 5

1

2

3

4

5

-1

-1

-2

-2

-3

-4

-3

W którym z przedziałów, funkcja przyjmuje warto´s´c 1?
A)

h

0, 1

i

B)

(−

3, 0

)

C)

(

0, 2

)

D)

h−

1, 0

i

R

OZWI ˛

AZANIE

Z rysunku wida´c, ˙ze funkcja f przyjmuje warto´s´c 1 dwa razy: raz pomi˛edzy

2 i

1, a drugi

raz w punkcie x

=

2.

Odpowied´z: B

Z

ADANIE

20

(1

PKT

)

Liczba wszystkich kraw˛edzi graniastosłupa jest o 12 wi˛eksza od liczby wszystkich jego ´scian
bocznych. St ˛

ad wynika, ˙ze podstaw ˛

a tego graniastosłupa jest

A) czworok ˛

at

B) pi˛eciok ˛

at

C) sze´sciok ˛

at

D) dziesi˛eciok ˛

at

R

OZWI ˛

AZANIE

Je ˙zeli w podstawie graniastosłupa jest n–k ˛

at to graniastosłup ma 3n kraw˛edzi i n ´scian bocz-

nych.

Mamy wi˛ec równanie

3n

=

n

+

12

2n

=

12

n

=

6.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

10

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Odpowied´z: C

Z

ADANIE

21

(1

PKT

)

Liczby x

1, x

+

3, 2x

4 w podanej kolejno´sci tworz ˛

a ci ˛

ag arytmetyczny. Wtedy x jest rów-

ne
A) x

=

2

B) x

=

1

C) x

=

4

D) x

=

11

R

OZWI ˛

AZANIE

´Srodkowy wyraz w ci ˛agu arytmetycznym jest ´sredni ˛a arytmetyczn ˛a wyrazów s ˛asiednich,

wi˛ec

2

(

x

+

3

) = (

x

1

) + (

2x

4

)

6

=

x

1

4

11

=

x.

Odpowied´z: D

Z

ADANIE

22

(1

PKT

)

Jak ˛

a liczb˛e mo ˙zna wstawi´c pomi˛edzy

27

16

, a

1

3

, aby z danymi liczbami tworzyła ci ˛

ag geo-

metryczny?
A)

3

4

B)

4

3

C)

4

3

D)

9

16

R

OZWI ˛

AZANIE

Kwadrat wstawionej liczby musi by´c iloczynem liczb s ˛

asiednich, czyli

x

2

=



27
16



·



1
3



=

9

16

x

= ±

3
4

.

W´sród podanych odpowiedzi nie ma

3

4

, wi˛ec musi by´c x

=

3

4

.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

23

(1

PKT

)

´Srednia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie cz˛esto´sci jest równa

częstość w %

wartość

0

10

20

30

40

1

2

3

0

50

A) 2

B) 1

C) 1,5

D) 1,8

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

11

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Liczymy

s

=

0

·

0, 2

+

1

·

0, 1

+

2

·

0, 2

+

3

·

0, 5

0, 2

+

0, 1

+

0, 2

+

0, 5

=

2.

Odpowied´z: A

Z

ADANIE

24

(1

PKT

)

Obj˛eto´s´c graniastosłupa prawidłowego trójk ˛

atnego o wysoko´sci 7 jest równa 63

3. Długo´s´c

kraw˛edzi podstawy tego graniastosłupa jest równa
A) 4

B) 3

C) 6

D) 36

R

OZWI ˛

AZANIE

Szkicujemy graniastosłup.

a

a

a

h

Je ˙zeli oznaczymy przez a długo´s´c kraw˛edzi podstawy graniastosłupa to pole podstawy

jest równe

P

p

=

a

2

3

4

i z podanej obj˛eto´sci otrzymujemy równanie

63

3

=

a

2

3

4

·

7

/

·

4

7

3

36

=

a

2

a

=

6.

Odpowied´z: C

Zadania otwarte

Z

ADANIE

25

(2

PKT

)

Rozwi ˛

a ˙z równanie x

3

36

=

12x

3x

2

.

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

12

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Przenosimy wszystkie składniki na jedn ˛

a stron˛e i wył ˛

aczamy

(

x

+

3

)

przed nawias.

0

=

x

3

+

3x

2

12x

36

=

x

2

(

x

+

3

) −

12

(

x

+

3

) =

= (

x

+

3

)(

x

2

12

) = (

x

+

3

)(

x

12

)(

x

+

12

) =

= (

x

+

3

)(

x

2

3

)(

x

+

2

3

)

.

Odpowied´z: x

∈ {−

2

3,

3, 2

3

}

Z

ADANIE

26

(2

PKT

)

Rozwi ˛

a ˙z nierówno´s´c 3x

2

+

x

14 6 0.

R

OZWI ˛

AZANIE

Znajdujemy najpierw miejsca zerowe trójmianu 3x

2

+

x

14.

=

1

2

+

4

·

3

·

14

=

1

+

168

=

169

=

13

2

x

1

=

1

13

6

= −

14

6

= −

7
3

x

2

=

1

+

13

6

=

2.

Poniewa ˙z współczynnik przy x

2

jest dodatni, wykres tego trójmianu jest parabol ˛

a o ramio-

nach skierowanych w gór˛e.

-5

-1

+3

+5

x

-10

-2

+2

+10

y

Otrzymujemy st ˛

ad rozwi ˛

azanie nierówno´sci

7

3

, 2

.

Odpowied´z:

7

3

, 2

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

13

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

27

(2

PKT

)

K ˛

at α jest ostry i

sin α

cos α

sin α

+

cos α

=

1

3

. Oblicz tg α.

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Poniewa ˙z mamy obliczy´c tangens, podzielmy licznik i mianownik danego ułamka przez
cos α.

1
3

=

sin α

cos α

sin α

+

cos α

=

sin α

cos α

cos α

cos α

sin α

cos α

+

cos α

cos α

=

tg α

1

tg α

+

1

.

tg α

+

1

=

3 tg α

3

4

=

2 tg α

tg α

=

2.

Sposób II

Przekształcamy dan ˛

a równo´s´c tak, aby otrzyma´c tg α.

sin α

cos α

sin α

+

cos α

=

1
3

3 sin α

3 cos α

=

sin α

+

cos α

2 sin α

=

4 cos α

/ : 2 cos α

sin α

cos α

=

2

tg α

=

2.

Odpowied´z: tg α

=

2

Z

ADANIE

28

(2

PKT

)

W 8 pudełkach umieszczamy 5 ponumerowanych kulek tak, aby w ˙zadnym pudełku nie
było wi˛ecej ni ˙z jednej kulki. Na ile sposobów mo ˙zemy to zrobi´c?

R

OZWI ˛

AZANIE

Ka ˙zdej kulce musimy przyporz ˛

adkowa´c unikalny numer pudełka. Mo ˙zna to zrobi´c na

8

·

7

·

6

·

5

·

4

=

6720

sposobów (pierwsza trafia do dowolnego z pudełek, druga nie mo ˙ze znale´z´c si˛e w tym co
pierwsza, trzecia musi by´c w innym ni ˙z dwie pierwsze itd.).

Odpowied´z: 6720

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

14

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

29

(2

PKT

)

Wyznacz współrz˛edne punktu P, który dzieli odcinek o ko ´ncach A

= (

19, 17

)

i B

= (−

9, 33

)

w stosunku

|

AP

|

:

|

PB

| =

1 : 3.

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Je ˙zeli zrobimy obrazek, to łatwo zauwa ˙zy´c, ˙ze aby otrzyma´c punkt P musimy podzieli´c
odcinek AB na 4 cz˛e´sci i punkt P to koniec pierwszego odcinka.

A

B

S

P

Innymi słowy, musimy wyznaczy´c ´srodek S odcinka AB, a punkt P jest ´srodkiem odcinka

AS. Liczymy

S

=

A

+

B

2

=

 19

9

2

,

17

+

33

2



= (

5, 25

)

P

=

A

+

S

2

=

 19

+

5

2

,

17

+

25

2



= (

12, 21

)

.

Sposób II

Zadanie łatwo te ˙z rozwi ˛

aza´c u ˙zywaj ˛

ac wektorów. Szukany punkt P otrzymamy przesuwa-

j ˛

ac punkt A o

1

4

wektora

−→

AB. Zatem

P

=

A

+

1
4

−→

AB

= (

19, 17

) +

1
4

[−

28, 16

] = (

19, 17

) + [−

7, 4

] = (

12, 21

)

.

Odpowied´z: P

= (

12, 21

)

Z

ADANIE

30

(2

PKT

)

Na bokach AD, AB i BC kwadratu ABCD wybrano punkty K, L i M w ten sposób, ˙ze
KL

k

DB i LM

k

AC. Uzasadnij, ˙ze

|

LK

| + |

LM

| = |

AC

|

.

A

B

C

D

K

L

M

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

15

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

R

OZWI ˛

AZANIE

Sposób I

Oznaczmy AL

=

x i LB

=

y. Trójk ˛

aty ALK i LBM s ˛

a prostok ˛

atne i maj ˛

a k ˛

aty ostre równe

45

, wi˛ec s ˛

a to trójk ˛

aty równoramienne.

A

B

C

D

K

L

M

x

y

y

x

A

B

C

D

K

L

M

x

y

y

x

P

R

S

T

Zatem BM

=

y i mamy

LK

+

LM

=

p

x

2

+

x

2

+

q

y

2

+

y

2

=

x

2

+

y

2

= (

x

+

y

)

2

=

AB

2

=

AC.

Sposób II

Poprowad´zmy przez punkty K, L i M proste równoległe do boków kwadratu (prawy rysu-
nek). Otrzymane czworok ˛

aty ALPK, SRTD i LBMR s ˛

a kwadratami, w dodatku kwadraty

ALPK i SRTD s ˛

a przystaj ˛

ace. Zatem

LK

+

LM

=

RD

+

BR

=

BD

=

AC.

Z

ADANIE

31

(4

PKT

)

Ci ˛

ag

(

4, a, b, c, d, 8

)

jest geometryczny. Oblicz a, b, c i d.

R

OZWI ˛

AZANIE

Szukamy ci ˛

agu postaci a

n

=

a

1

q

n

1

, w którym a

1

=

4 i

8

=

a

6

=

a

1

q

5

=

4q

5

2

=

q

5

q

=

5

2.

Zatem

a

=

a

2

=

a

1

q

=

4

5

2

b

=

a

3

=

a

1

q

2

=

4

5

4

c

=

a

4

=

a

1

q

3

=

4

5

8

d

=

a

5

=

a

1

q

4

=

4

5

16.

Odpowied´z:

(

a, b, c, d

) = (

4

5

2, 4

5

4, 4

5

8, 4

5

16

)

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

16

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Z

ADANIE

32

(5

PKT

)

Poci ˛

ag towarowy pokonał tras˛e długo´sci 208 km. Gdyby ´srednia pr˛edko´s´c poci ˛

agu była

wi˛eksza o 13 km/h to t˛e sam ˛

a tras˛e poci ˛

ag pokonałby w czasie o 48 minut krótszym. Oblicz

´sredni ˛

a pr˛edko´s´c z jak ˛

a poci ˛

ag pokonał t˛e tras˛e.

R

OZWI ˛

AZANIE

Niech t i v oznaczaj ˛

a odpowiednio czas przejazdu oraz ´sredni ˛

a pr˛edko´s´c poci ˛

agu. Z zało ˙ze ´n

mamy

(tv

=

208

(

v

+

13

)



t

4

5



=

208.

Podstawiamy t

=

208

v

z pierwszego równania do drugiego.

(

v

+

13

)

 208

v

4
5



=

208

/

·

5v

4

(

v

+

13

)(

260

v

) =

260v

v

2

+

260v

13v

+

3380

=

260v

v

2

+

13v

3380

=

0

=

13

2

+

4

·

3380

=

13689

=

117

2

v

=

13

117

2

<

0

v

=

13

+

117

2

=

104

2

=

52.

Ujemne rozwi ˛

azanie odrzucamy i mamy v

=

52 km/h.

Odpowied´z: 52 km/h

Z

ADANIE

33

(5

PKT

)

Obj˛eto´s´c ostrosłupa prawidłowego czworok ˛

atnego ABCDS o podstawie ABCD jest równa

224, a promie ´n okr˛egu opisanego na podstawie ABCD jest równy 2

14. Oblicz cosinus k ˛

ata

mi˛edzy wysoko´sci ˛

a tego ostrosłupa i jego ´scian ˛

a boczn ˛

a.

R

OZWI ˛

AZANIE

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

A

B

C

D

S

F

α

E

a

a

H

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

17

background image

www.zadania.info – N

AJWI ˛

EKSZY

I

NTERNETOWY

Z

BIÓR

Z

ADA ´

N Z

M

ATEMATYKI

Promie ´n okr˛egu opisanego na kwadracie w podstawie to po prostu połowa długo´sci

przek ˛

atnej, czyli

a

2

2

=

2

14

a

=

4

14

2

=

4

7.

Z danej obj˛eto´sci obliczamy wysoko´s´c ostrosłupa.

224

=

V

=

1
3

a

2

·

H

H

=

224

·

3

a

2

=

224

·

3

112

=

6.

Z trójk ˛

ata prostok ˛

atnego SFE obliczamy wysoko´s´c SF ´sciany bocznej.

SF

=

p

SE

2

+

EF

2

=

36

+

28

=

64

=

8.

Pozostało obliczy´c interesuj ˛

acy nas cosinus k ˛

ata mi˛edzy wysoko´sci ˛

a ostrosłupa, a ´scian ˛

a

boczn ˛

a.

cos α

=

SE
SF

=

6
8

=

3
4

.

Odpowied´z:

3

4

Materiał pobrany z serwisu

www.zadania.info

18


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
2014 Matura 01 03 2014 odp
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
2014 Matura 01 03 2014id 28469 Nieznany (2)
2014 Matura 01 03 2014
2014 Matura 22 03 2014 odp
2014 Matura 22 03 2014 odp
2014 Matura 15 03 2014 odp
2014 Matura 15 03 2014 odpid 28 Nieznany (2)
2014 Matura 29 04 2014 odp
2014 Matura 15.03.2014
Lubelska Matura probna Luty 2014 odp id 273537
2014 Matura 22 03 2014
2014 Matura 08 03 2014
2014 Matura 25 02 2014 odp II
2014 Matura 29 04 2014 odp
2014 Matura 05 04 2014 odp
2014 01 03 Zabawki płciowo neutralne

więcej podobnych podstron