Zagadnienia opracowane są na podstawie książki, nagrania z ostatniego wykładu i trochę na podstawie
notatek Marzenki. Nie wiem czy się to komuś przyda, nie wiem czy jest tu wszystko to, co powinno być
(szczerze mówiąc, wątpię ;), ale wysyłam, co udało mi się skleić. Jak znajdziecie błędy lub braki, to dajcie
znać, żebym mogła poprawić. Miłej lektury, edi

1.

Podać przykład modelu matematycznego do badania przemieszczeń
(statyczny lub kinematyczny)

Model matematyczny jest to układ zależności zachodzących między wielkościami
charakteryzującymi odkształcenia (deformacje) lub przemieszczenie obiektu [deformowanie się
lub przemieszczenie obiektu jest zjawiskiem fizycznym zachodzącym pod wpływem obciążeń
działających na obiekt np. ciężaru własnego, użytkowego, parcia wiatru, zmiany temperatury
otoczenia, drań podłoża].

Modele w ogólności składa się z kilku modeli szczegółowych różnych elementów, które wchodzą
w dane zagadnienie:
- model badanego obiektu (jaki obiekt np. belka, która będzie odkształcana)
- model samego zjawiska (czyli z jakim zjawiskiem, deformującym lub przemieszczającym obiekt

będziemy mieli do czynienia )

- model sieci kontrolnej (jaki ma kształt, jaki wymiar) wraz z modelem błędu obserwacji (czy
obserwacje są skorelowane, niezależne, z jakim rozkładem błędu)
- model układu odniesienia (układ odniesienia to baza odniesienia, układ współrzędnych oraz
związki wiążące punkty bazy z układem współrzędnych)
Najczęściej jest tak, że nie wszystkie elementy mamy (często nie znamy modelu badanego
obiektu oraz modelu samego zjawiska) i ograniczamy się do modelu sieci, błędu i układu
odniesienia.

Model statyczny sieci jest to model, wykorzystywany w przypadku pomiarów okresowych
wtedy, gdy zmiany położenia punktów obiektu zaistniałe w czasie trwania pomiaru można
uznać za zaniedbywane wobec osiągalnej dokładności pomiaru. W takim modelu wynikowi
pomiaru każdego z elementów sieci można przypisać jeden wspólny moment czasu.
Model kinematyczny sieci to model, wykorzystywany wtedy, gdy nie możemy zaniedbać zmian
położenia punktów obiektu zaistniałych w czasie trwania pomiaru. Wtedy każdej obserwacji
musimy przypisać moment jej wykonania.

W związku ze znacznym przemieszczeniem
punktu sieci kontrolnej ΔH

(tp-tk)

, jakie zaszło

między momentem rozpoczęcia

pomiaru t

p

, a

jego zakończenia t

k

, każdej obserwacji w

interwale czasu <t

p

, t

k

> przypisujemy moment

jej wykonania t

i

Dopiero gdy wprowadzimy do modelu jako
niewiadome prędkości poszczególnych
punktów, to będziemy mogli sprowadzić
obserwacje do wspólnego momentu czasu.

Modelu statycznego można użyć zamiast kinematycznego, gdy skrócimy czas trwania pomiaru
(np. zwiększając liczbę zespołów pomiarowych) . Gdy zaś zwiększymy dokładność pomiaru,
trzeba będzie zastąpić model statyczny modelem kinematycznym.

2.

Jak, w odniesieniu do badania przemieszczeń, można interpretować pojęcie
„model przyczynowo - skutkowy”?

Schemat modelu:

Przyczyną

jest

Obciążenie

Obiekt

Skutkiem

jest

deformacja lub

przemieszczenie

obiektu

Przykładem może być belka obustronnie podparta:

Mając model opisujący związek przyczynowo - skutkowy możemy wyznaczyć deformacje i
przemieszczenia obiektu, które zajdą w wyniku określonego układu obciążeń. Możemy również
określić parametry wytrzymałościowe tej belki.
Modele przyczynowo – skutkowe mają tą zaletę, że w miarę gromadzenia coraz większej ilości
informacji na temat zachowania się obiektu możemy zmniejszać błędy modelu, a więc go
„udokładniać” . Uwzględniamy przy tym błędy samych pomiarów, rozróżniając rzeczywiste
przemieszczenia i deformacje od wyznaczonych.
Model przyczynowo –skutkowy nazywany jest również objaśniającym lub opisowym.
Wśród modeli przyczynowo – skutkowych wyróżniamy modele dwuetapowe. Pozwalają one na
oddzielne wyznaczenie błędności samych pomiarów od błędności modelu. Ta ‘dwuetapowość’
oznacza, że najpierw wyznaczamy przemieszczenia na podstawie pomiarów geodezyjnych
(wyrównanie, diagnostyka błędów grubych, oszacowanie dokładności wyznaczeń), a dopiero po
wprowadzeniu tych wyników do modelu przyczynowo – skutkowego, określamy błędność
pomiarów i samego modelu.
Inną specyficzną odmianą modeli przyczynowo – skutkowych są modele typu wejście – wyjście.
Bazują one wyłącznie na wielkościach wejściowych i wielkościach wyjściowych i ustalają
zależności między nimi wyłącznie poprzez operacje matematyczne. Przykładem mogą być sieci
neuronowe.

3.

Czym różnią się pomiary rozproszone od pomiaru okresowego?

Zarówno pomiary rozproszone, jak i pomiary ciągłe się pomiarami w trybie dyskretnym.

Pomiar rozproszony – dyskretny zbiór
momentów wykonania poszczególnych
obserwacji, rozłożonych z nieregularną
intensywnością w całym interwale
monitorowania obiektu.

Pomiary okresowe – skupiska dyskretnych
momentów wykonania poszczególnych
obserwacji, dające się wydzielić w całym
interwale monitowania obiektu. Ważnym
czynnikiem jest tu relacja między czasem

trwania i dokładnością pomiaru na
kontrolowanym obiekcie, a przewidywanymi
prędkościami przemieszczania się punktów na
obiekcie.

4.

Podać postać równania obserwacyjnego dla różnicy wysokości w modelu
kinematycznym sieci.

gdzie:
t – moment wykonania obserwacji,
t

0

– moment odniesienia,

u

i

, u

j

– wektory prędkości

5.

Omówić pojęcia defektu sieci w odniesieniu do modelu kinematycznego (sieć
pionowa, sieci poziome).

Defekt sieci występuje, gdy w zbiorze danych do wyrównania obserwacji tej sieci brakuje
pewnej liczby wielkości geometrycznych, które są niezbędne do wyznaczenia położenia
punktów sieci w przyjętym układzie współrzędnych. Charakteryzujemy go przez podanie liczby
oraz rodzaju brakujących wielkości. Rozróżniamy defekt zewnętrzny d

z

i wewnętrzny d

w

.

Całkowity defekt sieci d jest sumą obu:

d = d

z

+ d

w

Pod względem ilościowym całkowity defekt sieci jest równy sumie defektu statycznego i
kinematycznego:

d = d

s

+ d

k

Defekt kinematyczny d

k

– defekt związany z wyznaczeniem prędkości ruchu. Zależny jest od

geometrii i struktury obserwacyjnej sieci (czyli tak jak defekt statyczny) oraz od rozkładu
momentów wykonania obserwacji do poszczególnych punktów sieci.

d

k

= d

k(s)

+ d

k(t)

d

k(s)

– składnik ilościowo i jakościowo odpowiadający defektowi

statycznemu d

s

, czyli suma defektu zewnętrznego i wewnętrznego

brak zaczepienia dla parametrów kinematycznych, czyli 0 dla
pędkości
d

k(t)

– składnik wynikający z niewłaściwego rozkładu momentów

wykonania obserwacji w sieci, defekt strukturalny np. dla jednego
punktu są wykonane 2 obserwacje w tym samym czasie, Δt = 0,
prędkości tego punktu nie da się wyznaczyć; defekt ten powinien być
równy zero.

Dla sieci pionowej defekt w modelu kinematycznym wynosi 2 (2 razy więcej niż w modelu
klasycznym). Pierwszy defekt to brak zorientowania w układzie wysokości dla niewiadomych
statycznych, drugi to brak zaczepienia dla parametrów dynamicznych w tym modelu.
Dla sieci poziomej defekt w modelu kinematycznym wynosi 6, gdyż:
d = ds +dk = ds + dk(s) + dk(t)
dażymy do tego, by dk(t) = 0,
więc

d = ds + dk(s), przy czym z natury ds = dk(s), a co za tym idzie d = 2 ds

Z analizy wzajemnej wyznaczalności punktów w sieci wynika, że nie ma ona defektu
wewnętrznego, a jako sieć lokalna ma pełny defekt zewnętrzny równy 3, zatem

d = ds + dk = ds + dk(s) = 2ds = 6

6.

Jak rozpoznać, że obliczeniowy model statyczny sieci nie jest odpowiednim
modelem dla opisu ruchu jej punktów? (przyjąć, że dane są wyniki
pomiarowe)

Wyrównujemy sieć. Nie wprowadzając milionowych kinematycznych otrzymujemy
niezgodność między obserwacjami (występują bardzo zróżnicowane wartości poprawek
obserwacyjnych), i otrzymujemy duże m

0

(przekraczające wartośc krytyczną)

nie jest

spełniony test globalny. Może to oznaczać, że model sieci jest zły, ale może również
oznaczać występowanie błędów grubych – dlatego trzeba zrobić testy lokalne.
Jeśli po przeprowadzeniu testów lokalnych otrzymamy, że przynajmniej 30 - 40%
poprawek zunifikowanych przekracza wartości krytyczne, to podejrzewamy, że coś jest
nie tak z modelem.
Ze statystyki matematycznej wiemy, że prawdopodobieństwo, że wartość błędu grubego
będzie więcej niż 3 razy większa niż wartość błędu średniego wynosi 0,997 (czyli 3 na
1000 przekroczą wartość krytyczną). Jeśli więc w naszych testach lokalnych
otrzymujemy przynajmniej 30-40% to zdecydowanie jest to za dużo

wtedy wiemy, że

model statyczny nie jest odpowiedni.

7.

Jakie składowe przemieszczenia obiektu można wyznaczyć na podstawie
przemieszczeń pionowych jego wybranych punktów?

Pionowe przemieszczenia punktów to pionowa
składowa wektora przemieszczenia punktów.
Gdy wyznaczamy tylko składową pionową i stwierdzamy,
że ma zerową wartość, nie możemy założyć, że punkt się
nie przemieścił, gdyż nie mamy informacji na temat
składowej poziomej.

Składowe przemieszczenia obiektu, jakie można wyznaczyć na podstawie przemieszczeń
pionowych: obroty wokół dwóch osi oraz przesunięcie: δα

x

, δαy, δz

0

(z

0

dotyczy przesunięcia

pionowego początku układu współrzędnych – żeby to dotyczyło obiektu, trzeba układ
współrzędnych sprowadzić do środka ciężkości obiektu i wtedy środek ciężkości będzie miał
parametr δz

0

)

8.

Co to jest zmiana układu odniesienia w badaniu przemieszczeń? (podać
własne przykłady)

Układ odniesienia jest to baza odniesienia oraz
związany z nią w sposób jednoznaczny układ
współrzędnych (czyli 3 elementy składające się na
układ odniesienia: baza odniesienia, układ
współrzędnych oraz związki wiążące punkty z
układem współrzędnych)
Zapisywane są w nich: pozycja punktów, wektory
przemieszczeń oraz charakterystyki
dokładnościowe tych wielkości.

Zmiana układu odniesienia wynika ze zmiany jednego z elementów układu odniesienia (baza
odniesienia, układ współrzędnych oraz związki wiążące punkty z układem współrzędnych)

zazwyczaj oznacza przyjęcie innej bazy odniesienia, czasem połączone ze zmianą zorientowania
układu współrzędnych.

Przenoszenie się przemieszczeń na
przykładzie przestrzeni
jednowymiarowej.
Układ odniesienia UO

1

(B

1

,Ox

1

);

obserwacje z bazy B

1

w momentach t,

t’; rejestracja pozycji punkt P,
odpowiednio P

t

, P

t’

wektor

przemieszczenia p

1

dla interwału

czasu <t,t’>. Jednocześnie baza B

1

była

obserwowana z układu UO

2

(B

2

,Ox

2

);

obserwacje w momentach t, t’; rejestracja pozycji punkt P, odpowiednio P

1,t

i P

1,t’

wektor

przemieszczenia p

B

dla interwału czasu <t, t’>. Jeśli w układzie UO

2

(B

2

,Ox

2

) zaznaczymy pozycje

punktu P obserwowane w pierwszym układzie odniesienia to otrzymamy wektor
przemieszczenia p

2

punktu P w drugim układzie odniesienia. Otrzymamy:

a+ p

2

= p

B

+ b

p

2

= p

B

+ b – a = p

B

+ p

1

9.

Jakie korzyści daje zastosowanie wzorów transformacyjnych dla wektora
przemieszczeń i jego macierzy kowariancji?

Wzory transformacyjne z układu odniesienia i na układ odniesienia j

S to macierze warunków, S

0

to macierz warunków swobodnych. Z macierzy warunków można

uformować macierz G i ona może być wykorzystana do przetransformowania wektora x i jego
macierzy kowariancji na nowy układ.
W sieci wysokościowej jest to szczególnie proste (jeśli chcemy przejść z jednego punktu
odniesienia na drugi to wystarczy średnia arytmetyczna z wektora x i od tego co było, odjąć tą
średnią i już mamy inny układ)
Korzyści: Nie trzeba powtarzać całej procedury wyrównawczej (układać równań, rozwiązywać
układu, definiować na nowo układu odniesienia) wystarczy raz utworzyć tą macierz,
przemnożyć ją w tych dwóch wzorach i mamy wyrównanie przy innym układzie odniesienia,
czyli oszczędność czasu i obliczeń.

10.

Jak charakteryzowany jest płaski stan odkształceń w danym punkcie ośrodka

Tensor odkształceń w punkcie bryły:

ε

xx

γ

xy

T

ε

=

γ

yx

ε

yy

ε

xx,

ε

yy

– odkształcenia liniowe kier. Osi OX i PY

γ – odkształcenia postaciowe, zmiana kąta między 2
liniami w punkcie

Elementy Tensora T

ε

ulegają zmianie przy obrocie układu współrzędnych.

ε

φ

= ε

xx

cos

2

φ + 2 γ

xy

sin φ cos φ + ε

yy

sin

2

φ

Ekstremalne wartości ε

φ

to odkształcenia liniowe główne ε

max

i ε

min

. Zaś ekstremalna wartość γ

φ

to maksymalna wartość odkształcenia postaciowego γ

max

.

Stan odkształceń bryły – rozmaitość wielkości ε i γ, które charakteryzują intensywność zmian
wymiarów liniowych oraz zmian parametrów kształtu w różniczkowym otoczeniu danego
punktu.

11.

Omówić sposób wyznaczenia odkształceń poziomych terenu na podstawie
pomiarów tensometrycznych w geodezyjnej konstrukcji pomiarowej w
kształcie gwiazdy.

Konstrukcja jest w kształcie gwiazdy, na ramionach mierzy się długości w dwóch różnych
momentach, a z nich przechodzimy na odkształcenia liniowe w danym kierunku (azymucie).
Układamy układ równań obserwacyjnych, gdzie niewiadomymi są ε

x

, ε

y

oraz γ

xy

i te trzy

niewiadome wyznaczamy z tego układu równań.
(Nie musimy się przejmować defektem strukturalnym sieci, ponieważ informacja na temat
wszystkich niewiadomych (ε

x

, ε

y

, γ

xy

) jest zawarta w obserwacjach.)

Trzeba sprawdzić czy nie występują błędy grube, czy każda z obserwacji, ε, nadaje się do
dalszego przetworzenia – jeśli nie, to usunąć. Ostateczne wartości, liczone z tych trzech
parametrów, czyli elementów tensora płaskiego to ε

min

, ε

max

, γ

max