145
Rozdział 9
Ciągi
146
9.1 Definicja ciągu i przykłady
Jakie znasz własności zbioru liczb naturalnych?
Przypomnij sobie definicje funkcji.
Co to jest dziedzina i przeciwdziedzina funkcji?
Jakie znasz sposoby definiowania funkcji?
Czy terminy „funkcja”, „odwzorowanie” i „przekształcenie” oznaczają to samo?
Co to jest funkcja monotoniczna?
Liczby naturalne od najdawniejszych czasów służą do liczenia przedmiotów i pozwalają po-
równać liczebność zbiorów skończonych. Wykorzystujemy je też bardzo często do „numerowa-
nia” przedmiotów, co pozwala na wprowadzenie pewnego porządku w rodzinie „numerowanych”
obiektów. Takie właśnie „numerowanie” nazywamy ciągiem. W praktyce mamy do czynienia ze
skończonymi zbiorami obiektów, dlatego wykorzystujemy skończone podzbiory liczb naturalnych.
Wygodnie jest jednak posługiwać się zbiorem wszystkich liczb naturalnych. Dlatego przyjmujemy
następującą definicję.
D
EFINICJA
Ciągiem nieskończonym o wartościach w zbiorze X nazywamy dowolną funkcję określo-
ną na zbiorze liczb naturalnych bez zera o wartościach w X.
147
9. CIĄGI
U
WAGA
Najczęściej zbiór X jest albo podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych, albo całym zbiorem R –
wtedy mamy do czynienia z
ciągiem liczbowym
. W dalszych rozważaniach nieskończony ciąg
liczbowy będziemy nazywać krótko ciągiem.
Z
ADANIE
Spróbuj zdefiniować ciąg skończony, a następnie porównaj swoją definicję z definicjami słowniko-
wymi i encyklopedycznymi.
Dla ciągów stosujemy nieco inną symbolikę niż dla dowolnych funkcji.
Jeśli dany jest ciąg f: N*
→
X, to obraz elementu n oznaczamy f
n
zamiast f(n). Częściej używa-
my symboli
n
n
n
a
b
c
,
,
itp.
Zamiast oznaczenia funkcyjnego a: N*
→
X piszemy
n n
*
( )
∈
a
N
albo
n n
*
{ }
∈
a
N
lub krócej
n
( )
a
– szczególnie gdy dziedzina ciągu nie pokrywa się z N*.
Liczby (albo obiekty) a
n
nazywamy
wyrazami
ciągu.
Wynika z tego, że w przypadku ciągów większy nacisk kładziemy na zbiór wartości niż na
samo przyporządkowanie.
Ciąg jest szczególnym przypadkiem funkcji, możemy więc określać ciągi podobnie jak funkcje:
– za pomocą słownego opisu,
– przez wypisywanie kolejnych wyrazów,
– za pomocą wzoru ogólnego.
Dla ciągów mamy jeszcze jeden sposób, niedostępny dla innych funkcji:
– za pomocą wzoru rekurencyjnego.
P
RZYKŁAD
1
Najprostszy ciąg identycznościowy opisany wzorem
n
n
.
=
a
P
RZYKŁAD
2
Ciąg odwrotności liczb naturalnych
n
n
1
=
a
, musimy jednak pamiętać, że dla zera wzór nie ma
sensu. Możemy pozbyć się tej niedogodności, wprowadzając wzór
n
n
1
1
′ =
+
a
, w którym zero już
jest dopuszczone, gdybyśmy chcieli określić ciąg na całym zbiorze liczb naturalnych. Oba ciągi
mają te same wyrazy, chociaż przyporządkowania są różne.
Formalnie można by zdefiniować ciąg na całym zbiorze liczb naturalnych. Z przyczyn prak-
tycznych jednak numerowanie zazwyczaj zaczyna się od jedynki, a nie od zera, dlatego jako
dziedzinę ciągu najczęściej bierzemy zbiór N \ {0} = N*. Podyktowane jest to tradycją zwią-
zaną z oznaczeniami, szczególnie dla ciągów arytmetycznych i geometrycznych, oraz tym, że
bardzo długo zero nie było zaliczane do liczb naturalnych.
Może się też zdarzyć, że z różnych powodów z dziedziny wypadną inne liczby naturalne –
wtedy również będziemy używali terminu „ciąg”.
Można by się więc pokusić o stwierdzenie, że ciągiem nazywamy funkcję określoną na pew-
nym podzbiorze liczb naturalnych (cały zbiór też jest podzbiorem).
Nie wykluczamy użycia terminu „ciąg” w sytuacjach, gdy dziedzina nie pokrywa się z N*;
z kontekstu powinno być jasne, o jakie wyjątki chodzi.
148
9. CIĄGI
P
RZYKŁAD
3
Ciąg, którego wyrazami są kolejne potęgi liczby 10, czyli symbolicznie
n
n
10
=
a
.
P
RZYKŁAD
4
Ciągi, w którym kolejnym liczbom naturalnym przyporządkowujemy kolejne liczby pierwsze. Tu
nie możemy podać wzoru opisującego ciąg, gdyż taki wzór nie istnieje.
P
RZYKŁAD
5
Dany jest ciąg określony wzorem
n
n
n
n
n
3
4
.
(
1)(
2)(
3)
+
=
−
−
−
a
Widzimy, że ciąg nie jest określony dla
n = 1, 2, 3. Mimo to tak określoną zależność również nazywamy ciągiem (rozszerzając definicję,
jak zasygnalizowaliśmy w uwadze na str. 147). Podobnie jak w przykładzie 2 możemy dokonać
przenumerowania wyrazów tego ciągu tak, żeby otrzymać funkcję określoną na N lub na N*.
U
WAGA
P
RZYKŁAD
6
Niech
n
n
n
n
2
2
1
.
1
1
=
+
+
a
,
Nie jest to ciąg liczbowy; jego wyrazami są pary liczb, które mogą
być interpretowane jako współrzędne punktów na płaszczyźnie.
P
RZYKŁAD
7
Ciąg można zdefiniować, podając pierwszy wyraz oraz przepis, jak z wyrazu k-krotnego uzyskać
wyraz następny. Przykładowo
1
1
=
a
oraz
k
k
k
1
(
1)
+
=
+
a
a
. Gdy uzupełnimy o przypadek
0
1
=
a
,
ciąg jest określony dla wszystkich liczb naturalnych. Ogólny wzór można zapisać jako
n
n
1 2 3 ...
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
a
albo
n
n
=
a
!
.
P
RZYKŁAD
8
Nie zawsze wzór rekurencyjny można zamienić na ogólny. Niech
1
2
=
a
oraz
k
k
1
2
+
=
+
a
a
.
Dla tego ciągu nie ma eleganckiego wzoru ogólnego.
Jeśli mamy ciąg rozumiany w ogólniejszym sensie, czyli określony na jakimś podzbiorze zbioru
liczb naturalnych, to zawsze możemy dokonać zmiany numeracji tak, żeby uzyskać funkcję na
całym zbiorze N* dla ciągu nieskończonego lub na jego podzbiorze postaci {1, 2, ..., n} dla
ciągu skończonego.
149
9. CIĄGI
*
P
RZYKŁAD
9
Niektóre wzory rekurencyjne zamieniają się w zaskakujący sposób na wzory ogólne. Przykładem
może być ciąg Fibonacciego:
1
1
=
a
,
2
1
=
a
,
n
n
n
2
1
.
+
+
=
+
a
a
a
Dowodzi się, że wzór ogólny
ma postać
n
n
n
n
(1
5) (1
5)
.
2 5
+
− −
=
a
Ciąg jest funkcją, a więc stosują się do niego definicje dotyczące funkcji. Dla ciągów jednak
ogólne sformułowania mogą przyjąć nieco inną postać.
Podobnie jak o funkcjach, mówimy o ciągach monotonicznych. Z ogólnej definicji wiemy, że:
– ciąg
n
( )
a
jest rosnący, gdy dla dowolnych
m n
∈
,
N z warunku m < n wynika, że
m
n
<
a
a ,
– ciąg
n
( )
a
jest malejący, gdy dla dowolnych
m n
∈
,
N z warunku m < n wynika, że
m
n
.
>
a
a
Można te określenia zastąpić prostszymi:
– ciąg
n
( )
a
jest rosnący, gdy dla
n
∈
N zachodzi
n
n 1
+
<
a
a
,
– ciąg
n
( )
a
jest malejący, gdy dla
n
∈
N zachodzi
n
n 1
.
+
>
a
a
Jest to naturalne spostrzeżenie: żeby sprawdzić monotoniczność ciągu liczbowego, wystarczy
porównać jego sąsiednie wyrazy.
P
RZYKŁAD
10
Zbadamy monotoniczność ciągu danego wzorem
n
n
n
3
1
.
2
+
=
+
a
W tym celu obliczymy różnicę
n
n
1
–
+
a
a
i sprawdzimy jej znak. Najpierw jednak zobaczmy,
jak wygląda
n 1
+
a
:
n
n
n
n
n
1
3(
1) 1 3
4
.
(
1) 2
3
+
+ +
+
=
=
+ +
+
a
Wynika z tego, że
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
3
4 3
1 (3
4)(
2) (3
1)(
3)
5
.
3
2
(
3)(
2)
(
3)(
2)
+
+
+
+
+ −
+
+
− =
−
=
=
+
+
+
+
+
+
a
a
Widzimy, że różnica jest dodatnia, gdyż licznik i mianownik są dodatnie. Ciąg jest rosnący.
P
RZYKŁAD
11
Ciąg dany jest wzorem
n
n
n
( 1)
1
−
= +
a
. Badamy jego monotoniczność, czyli najpierw wyznaczamy
n
n
n
1
1
( 1)
1
1
+
+
−
= +
+
a
i liczymy różnicę
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n n
1
1
1
1
( 1)
( 1)
( 1)
( 1) (
1) ( 1) (2
1)
1
1
.
1
(
1)
(
1)
+
+
+
+
−
−
−
− −
+
−
+
− = +
− −
=
=
+
+
+
a
a
Skorzystaliśmy z tego, że
n
n 1
( 1)
( 1) .
+
− −
= −
Jeśli n jest parzyste, to
n 1
( 1)
1.
+
−
= −
Natomiast jeśli n jest nieparzyste, to
n 1
( 1)
1.
+
−
=
Ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący.
150
9. CIĄGI
P
RZYKŁAD
12
Ciąg określony jest przez wypisanie początkowych wyrazów 1, –1, 2,
1
–
2
, 4,
1
–
4
, 8,
1
–
8
, ... .
Widzimy, że ten ciąg również nie jest monotoniczny, gdyż różnica sąsiednich wyrazów jest raz
dodatnia, a raz ujemna.
*Ważnym pojęciem jest również pojęcie ciągu ograniczonego.
D
EFINICJA
Wykorzystując pojęcie wartości bezwzględnej, możemy zapisać
n
K
<
a
, dla każdego
∈
n
N.
Rozważa się też ciągi ograniczone z góry lub z dołu. Ciąg
n
( )
a
jest ograniczony z góry, gdy
istnieje taka liczba L, że dla każdego
∈
n
N a
n
< L.
Z
ADANIE
Sformułuj definicję ciągu ograniczonego z dołu.
P
RZYKŁAD
13
Ciąg o wyrazie ogólnym
n
n
1
=
a
jest ograniczony. Tu np. K = 2, ale może być równe
1
2
2
, 100
albo innej liczbie większej od 2.
P
RZYKŁAD
14
Ciąg
n
n
2
=
a
jest ograniczony z dołu, ale nie jest ograniczony z góry.
P
RZYKŁAD
15
Ciąg
n
n
n
5
( 1)
= −
a
nie jest ograniczony ani z dołu, ani z góry.
P
RZYKŁAD
16
Znany nam już ciąg
n
n
n
3
1
2
+
=
+
a
jest ograniczony. Na pierwszy rzut oka trudno przewidzieć, jaka
liczba jest liczbą ograniczającą. Weźmy na przykład liczbę 3. Ciąg jest rosnący i wszystkie jego
wyrazy są dodatnie, wystarczy więc sprawdzić, dla jakich n zachodzi nierówność
n
n
3
1
3.
2
+ <
+
Do rozwiązania jest typowa nierówność wymierna
Ciąg
n
( )
a
jest ograniczony, gdy istnieje taka liczba K > 0, że wszystkie wyrazy ciągu należą
do przedziału
(–K; K ).
151
9. CIĄGI
n
n
3
1
3 0
2
+ − <
+
.
Po prostych przekształceniach wygląda ona następująco:
n
5
0
2
−
<
+
,
a ta zależność jest prawdziwa dla dowolnego n naturalnego.
Jak ustalić liczbę ograniczającą ciąg? Nie ma jednej metody pozwalającej ją wyznaczyć
i w wielu przypadkach nie jest to łatwe. Tylko w specjalnych sytuacjach można to zrobić względ-
nie prosto. W ostatnim przykładzie można przyjrzeć się wykresowi funkcji homograficznej, której
wartości w naturalnych argumentach są identyczne z wyrazami tego ciągu.
Z
ADANIE
Narysuj wykres odpowiedniej funkcji homograficznej i wyciągnij wnioski dotyczące ostatniego
przykładu.
P
RZYKŁAD
17
Czy potrafimy sprawdzić, że znany nam już ciąg określony rekurencyjnie
1
2
=
a
,
n
n
1
2
+
=
+
a
a
jest ograniczony?
Można wyznaczyć przybliżenia kolejnych wyrazów (np. za pomocą kalkulatora) i przekonać
się, że nie przekroczą one liczby 2. I co dalej? Z pomocą przychodzi indukcja matematyczna.
Proponujemy twierdzenie:
Warto zauważyć, że można tak przenumerować wyrazy, by nie trzeba było zakładać odrzu-
cenia zera.
Pierwszy krok jest oczywisty:
1
2 2.
=
<
a
W drugim kroku z założonej nierówności
k
2
<
a
mamy wywnioskować, że
k 1
2
+
<
a
.
Zatem
k
k
1
2
2 2
4 2.
+
=
+
<
+ =
=
a
a
Na mocy zasady indukcji matematycznej nierówność jest prawdziwa dla dowolnego n i ciąg
jest ograniczony z góry przez 2, a ponieważ wyrazy są dodatnie, to ciąg jest ograniczony.
Spójrzmy jeszcze na wykresy ciągów. W układzie współrzędnych wykres ciągu
n
( )
a
jest repre-
zentowany przez punkty o współrzędnych
n
n
(
).
a
;
Jeśli ciąg jest opisany wzorem i znana jest
funkcja f o takiej własności, że
n
f n
( )
=
a , to punkty wykresu ciągu są również punktami wykresu
tej funkcji, tyle że funkcji o takiej własności jest nieskończenie wiele.
Dla dowolnej liczby naturalnej (różnej od zera)
n
2.
<
a
152
9. CIĄGI
P
RZYKŁAD
18
Dla ciągu
n
n
2
1
=
−
a
odpowiednią funkcją, której wykres
zawiera punkty wykresu tego ciągu, jest funkcja liniowa
postaci
f x
x
( ) 2
1
=
−
. Można też wskazać inne funkcje
o tej własności, ale wzory nie będą już takie proste.
Z
ADANIA
1. Dla ciągu opisanego wzorem wyznacz wskazane wyrazy:
a)
n
n
n
1
=
+
a
, wyznacz:
k
k
1
10
2
4 – 1
a a
a
a
,
,
,
,
b)
n
b
n
sin(
)
π
=
,
wyznacz:
k
k
k
b b
b
b
b
b
2
2
100
101
2
2 – 1
,
,
,
,
,
,
c)
n n
n
c
2
( 1) 3
= −
, wyznacz:
k
k
c c
c
c
0
12
2
2 – 1
.
,
,
,
2. Zbadaj monotoniczność ciągów:
a)
n
n
n
2
1
3
2
+
=
+
a
,
b)
n
n
b
n
2
2 3
=
−
,
c)
n
n
c
n
1
( 1)
= −
+
,
d)
n
d
=
reszta z dzielenia n przez 10,
e)
n
u
n n
2
3
1
=
−
+
,
f)
n
n
n
p
10
( 1) 2 .
= −
3. Ciąg
n
( )
a
jest ciągiem rosnącym. Co możesz powiedzieć o monotoniczności ciągu:
a)
n
n
b
= −
a ,
b)
n
n
b
p
=
a
, dla p > 0,
c)
n
n
b
4
=
+
a
,
d)
n
n
b
2
3
?
=
a
4. Sprawdź, który z następujących ciągów jest ciągiem ograniczonym, ograniczonym tylko z gó-
ry lub tylko z dołu:
a)
n
n
n
4
7
6
5
+
=
+
a
,
b)
n
n
n
b
2
4
=
+
,
c)
n
n
n
c
1
( 1)
5
= −
,
d)
n
d
n
cos(2002 ).
π
=
9.2 Ciąg arytmetyczny
P
RZYKŁAD
1
Na pewną wieżę prowadzi 300 schodów. Na jakie wysokości wznoszą się kolejne stopnie, jeśli
wysokość każdego stopnia wynosi 12 cm? Jak wysoka jest ta wieża?
153
9. CIĄGI
Pierwszy stopień ma wysokość 12 cm i każdy następny wznosi się o 12 cm wyżej, czyli
poziomy wznoszenia się stopni tworzą ciąg 12, 24, 36, 48, ... . Ostatni wyraz ciągu jest równy
300
⋅12 = 3600 i to jest wysokość wieży.
W przeogromnej rodzinie ciągów możemy wyróżnić pewne ciągi o specjalnych własnościach.
Ciągami mającymi liczne ważne i przydatne cechy są ciągi arytmetyczne, czyli ciągi, w których
kolejne wyrazy powstają przez dodanie ustalonej liczby do poprzednich.
D
EFINICJA
Specjalnie nie określamy dziedziny, żeby w jednej definicji ująć ciągi zarówno skończone, jak
i nieskończone.
Liczbę r nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
U
WAGA
P
RZYKŁAD
2
Najprostszym ciągiem arytmetycznym jest ciąg stały. Wtedy jego różnica jest równa 0.
P
RZYKŁAD
3
Innym prostym ciągiem arytmetycznym jest ciąg kolejnych liczb naturalnych, czyli ciąg określony
wzorem
n
n
.
=
a
P
RZYKŁAD
4
Ciąg kolejnych liczb nieparzystych też jest ciągiem arytmetycznym, podobnie jak ciąg kolejnych
liczb parzystych. W obu przypadkach różnica wynosi 2.
P
RZYKŁAD
5
Ciąg określony wzorem
n
nk
=
a
,
gdzie k jest dowolną liczbą naturalną różną od zera, jest ciągiem
arytmetycznym. Sprawdźmy to.
Wyznaczamy
n
n
k
1
(
1)
+
= +
a
i liczymy
n
n
n
k nk nk k nk k
1
(
1)
.
+
− = +
−
=
+ −
=
a
a
Różnica jest więc stała (niezależna od n).
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg skończony lub nieskończony, w którym różnica mię-
dzy sąsiednimi wyrazami jest stała.
Symbolicznie: ciąg
n
( )
a
jest arytmetyczny, gdy
n
n
r n
r
1
.
+
∃ ∀
− =
a
a
:
Aby ciąg można było uznać za arytmetyczny, musi mieć przynajmniej trzy wyrazy. Ciągów
dwuwyrazowych nie uznajemy za arytmetyczne.
154
9. CIĄGI
P
RZYKŁAD
6
Ciąg, którego początkowe wyrazy wyglądają następująco: 1, 3, 6, 10, 15, 21, ..., nie jest aryt-
metyczny.
P
RZYKŁAD
7
Ciąg postaci
n
n
2
=
a
nie jest arytmetyczny.
Z
ADANIA
1. Podaj przykład ciągu arytmetycznego o wyrazach nie będących liczbami naturalnymi.
2. Podaj przykłady ciągów arytmetycznych o różnicy 1, których wyrazy nie są liczbami naturalnymi.
P
RZYKŁAD
8
Zbadamy, czy ciąg opisany wzorem
n
n
1
7
5
=
−
a
jest ciągiem arytmetycznym.
Najpierw wyliczamy
n
n
1
1
7
(
1).
5
+
=
−
+
a
Następnie badamy różnicę
n
n
n
n
1
1
1
1
7
(
1)
7
.
5
5
5
+
− =
−
+ −
+
= −
a
a
Różnica jest stała, ciąg jest arytmetyczny.
P
RZYKŁAD
9
Czy ciąg dany wzorem
n
n
2
1
=
+
a
jest arytmetyczny?
Postępujemy już standardowo:
n
n
n
n
n
2
2
1
(
1) 1
1 2
1.
+
− = +
+ −
− =
+
a
a
Różnica jest zależna od n, ciąg nie może być arytmetyczny.
Prostota definicji ciągu arytmetycznego sugeruje możliwość podania ogólnego opisu takiego
ciągu w zależności od różnicy i pierwszego wyrazu.
Przypatrzmy się kolejnym wyrazom ciągu arytmetycznego o różnicy r i pierwszym wyrazie a
1
:
r
2
1
= +
a
a
,
r
r
3
2
1
2
=
+ = +
a
a
a
,
r
r
4
3
1
3
=
+ = +
a
a
a
,
r
r
5
4
1
4
=
+ = +
a
a
a
,
...
T
WIERDZENIE
Jeśli ciąg
n
( )
a
jest arytmetyczny, to
n
n
r
1
(
1) .
= + −
a
a
155
9. CIĄGI
* Widzimy, że wzór jest prawdziwy dla kilku początkowych liczb naturalnych.
Nie wystarcza to jednak do przeprowadzenia formalnego dowodu.
Jest to twierdzenie o liczbach naturalnych, możemy więc zastosować zasadę indukcji mate-
matycznej. Rozumowanie nie jest trudne; warto mu się przyjrzeć, gdyż jest typowe dla dowodów
indukcyjnych.
Krok pierwszy już został sprawdzony.
Przypuśćmy teraz, że twierdzenie jest prawdziwe dla k, musimy stąd wyprowadzić prawdzi-
wość twierdzenia dla k + 1.
Z definicji
k
k
r
1
+
=
+
a
a
,
a z założenia indukcyjnego wiemy, że
k
k
r
1
(
1)
= +
−
a
a
,
czyli
k
k
r r
kr
1
1
1
(
1)
+
= + −
+ = +
a
a
a
,
o co chodziło.
Na mocy zasady indukcji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe.
Zauważmy jeszcze, że na podstawie definicji
n
n
n
n
1
1
.
−
+
−
=
−
a
a
a
a
Wyliczając a
n
, otrzymujemy ciekawą zależność:
n
n
n
1
1
.
2
−
+
+
=
a
a
a
T
WIERDZENIE
Jeśli mamy pewne dane dotyczące ciągu arytmetycznego, to możemy wyznaczyć cały ciąg,
czyli wskazać pierwszy wyraz i różnicę, bo ze wzoru odtworzymy już każdy wyraz.
P
RZYKŁAD
10
Wyznacz ciąg arytmetyczny, gdy wiemy, że
7
6 8
=
a
,
i
r
15
= −
, .
Do wyznaczenia całego ciągu wystarczy znaleźć pierwszy wyraz.
Wiemy, że
7
1
6 ( 15)
= + ⋅ −
a
a
, ,
czyli
1
6 8 6 ( 15) 15 8.
=
− ⋅ −
=
a
,
,
,
Ciąg arytmetyczny ma postać
n
n
15 8 (
1)( 15)
=
+ − −
a
,
, .
P
RZYKŁAD
11
Wyznacz ciąg arytmetyczny, mając dane
6
4
=
a
i
16
10.
=
a
Rozwiązanie sprowadza się do ułożenia i rozwiązania układu równań
r
r
6
1
16
5
15
.
+
= +
=
1
a
a
a
a
Dokładniej
r
r
1
1
4
5
10
15 .
= +
= +
a
a
Bez trudu wyliczymy, że
1
1
=
a
oraz
3
5
=
r
.
Każdy wyraz ciągu arytmetycznego (z wyjątkiem pierwszego i ostatniego w ciągach skończo-
nych) jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich.
156
9. CIĄGI
P
RZYKŁAD
12
Dla jakich wartości x liczby
2, 2
x,
x
2
2
−
tworzą ciąg arytmetyczny?
Domyślamy się, że kolejność elementów tego ciągu ma być taka jak w temacie zadania.
Z definicji ciągu arytmetycznego
x
x
x
2
2
2
2 2
− =
− −
i stąd
x
x
2
4
0.
−
=
Rozwiązaniem jest x = 0 lub x = 4.
Monotoniczność ciągu arytmetycznego
Bezpośrednio z definicji ciągu arytmetycznego uzyskamy wniosek dotyczący monotoniczności
ciągu arytmetycznego:
T
WIERDZENIE
Oczywiście, gdy różnica jest równa zeru, to ciąg jest stały.
Własnością ciągu arytmetycznego, niezwykle ważną w zastosowaniach, jest istnienie wzoru
na sumę kolejnych jego wyrazów. Bardzo często musimy obliczać sumy różnych ciągów liczbo-
wych. Jeśli są to wyrazy ciągu arytmetycznego, to obliczenia bardzo się upraszczają.
Wprowadźmy oznaczenie
n
n
S
1
2
...
.
= +
+ +
a
a
a
Jest to suma n pierwszych wyrazów ciągu i może być zdefiniowana dla dowolnego ciągu,
niekoniecznie arytmetycznego.
Prawdziwe jest następujące twierdzenie.
T
WIERDZENIE
Wzór ten jest bardzo użyteczny.
P
RZYKŁAD
13
Wyznaczyć sumę n pierwszych kolejnych liczb nieparzystych.
Jeśli różnica r ciągu arytmetycznego jest dodatnia, to ciąg jest rosnący, jeśli natomiast jest
ujemna, ciąg jest malejący.
Jeśli ciąg
n
( )
a
jest arytmetyczny, to
n
n
S
n
1
.
2
+
=
⋅
a
a
157
9. CIĄGI
Kolejne liczby nieparzyste tworzą ciąg arytmetyczny, którego wyraz ogólny ma postać
n
n
2
1
=
−
a
, a różnica jest równa 2.
Ze wzoru
n
n
S
n n
2
1 2
1
.
2
+
−
=
⋅ =
Wynik dość zaskakujący, prawda?
Podobnie znajdziemy sumę n kolejnych liczb parzystych dodatnich:
n
n
S
n n n
2 2
(
1).
2
+
=
⋅ =
+
* Rodzi się pytanie: skąd ten wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego?
Jest to twierdzenie o liczbach naturalnych, wolno nam więc zastosować zasadę indukcji. Za
jej pomocą zależność można udowodnić, ale nie mamy wytłumaczenia, skąd się to wzięło.
Spróbujmy odwołać się do geometrii. Dla uproszczenia załóżmy, że wyrazy a
n
są dodatnie.
Wzór możemy interpretować jako pole pewnej figury – jest to połowa pola prostokąta o bokach
długości
n
1
+
a
a i n.
Zauważmy, że
k
n k
n
k
r
n k
r
kr r
nr kr
n
r
1
1
1
1
1
1
1
1
(
1)
(
1 1)
(
1)
.
− +
+
= +
−
+ + − + −
=
= +
− + +
−
=
= + + −
= +
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Dodając parami odpowiednie wyrazy ciągu arytmetycznego skończonego, zawsze dostanie-
my sumę wyrazu pierwszego i ostatniego. Wyobraźmy sobie teraz, że a
i
jest reprezentowany
przez prostokąt o bokach długości 1 i właśnie a
i
. Po zsumowaniu pól prostokątów
k
a
i
n k 1
− +
a
otrzymamy pole prostokąta o bokach
n
1
+
a
a
i n.
W ten sposób, jak głosi anegdota, miał postąpić młody Gauss, gdy będąc uczniem, rozwią-
zywał zadanie o zsumowaniu kolejnych liczb od 1 do 100 (w innych wersjach do 80).
Poprawny dowód w ogólnym przypadku nie obejdzie się jednak bez zastosowania indukcji
matematycznej.
P
RZYKŁAD
14
Znajdź liczby naturalne spełniające równanie
n
n
1 2 3 ... (
1)
.
+ + + + − =
Po lewej stronie mamy sumę wyrazów ciągu arytmetycznego kolejnych liczb naturalnych;
wykorzystujemy wzór
n
n
n
(1
1)(
1)
2
+ −
− =
i po przekształceniu otrzymujemy
n
n
n
2
2
− =
,
a stąd n = 3 lub n = 0. Liczbę 0 należy odrzucić (dlaczego?).
P
RZYKŁAD
15
Oblicz sumę dwucyfrowych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 4 dają resztę 1.
Poszukiwane liczby to 13, 17, 21, ..., 97. Nie podlega dyskusji, że tworzą one ciąg arytme-
tyczny. Znamy pierwszy jego wyraz i ostatni. Trzeba jeszcze sprawdzić, ile wyrazów ma ten ciąg.
Można policzyć „na palcach”, ale to wiąże się z możliwością pomyłki. Spróbujmy liczbę wyrazów
policzyć formalnie.
158
9. CIĄGI
Wiemy, że
n
r
1
13
4
97.
=
=
=
a
a
,
,
Korzystamy ze wzoru na postać n-krotnego wyrazu:
97 = 13 + (
n – 1)4,
i otrzymujemy
n = 22.
Teraz już bez trudu znajdujemy sumę
S
22
13 97
22 1210.
2
+
=
⋅
=
Podobnie możemy znajdować sumy różnych specjalnych ciągów.
Z
ADANIA
1. Sprawdź, że dla wyrazów ciągu arytmetycznego
n k
n k
n
–
2
+
+
=
a
a
a
,
dla
k n.
<
2. Wyznacz ciąg arytmetyczny, gdy dane są:
a)
3
6
1
8
=
=
a
a
,
,
b)
2
10
0
12
=
=
a
a
,
,
c)
5
7
4
4
=
= −
a
a
,
,
d)
4
8
1
2
2
=
=
a
a
,
.
3. Wyznacz sumę wszystkich liczb dwucyfrowych podzielnych przez 7.
4. Wyznacz sumę liczb trzycyfrowych podzielnych przez 13.
5. Wyznacz sumę wszystkich liczb mniejszych od 2000 podzielnych przez 39.
9.3 Ciąg geometryczny
Zbadaliśmy własności ciągu, w którym różnica sąsiednich
wyrazów była stała. Teraz sprawdzimy, jak zachowuje się ciąg
o stałym ilorazie sąsiednich wyrazów.
Taki ciąg nazywamy geometrycznym.
D
EFINICJA
U
WAGA
Gdybyśmy zapisali definicję tak, jak najczęściej określa się potocznie ciąg geometryczny, że
iloraz sąsiednich wyrazów jest stały, tj.
n
n
q
1
+
=
a
a
,
to należałoby przyjąć założenie
q
0
≠
,
które jest niewygodne w wielu konkretnych sytuacjach.
Skończony lub nieskończony ciąg
n
( )
a
nazywamy ciągiem
geometrycznym, gdy spełniony jest warunek
n
n
q
n
q
1
.
+
∃ ∈ ∀
=
a
a
:
R
Liczbę q nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego
n
( )
a
.
159
9. CIĄGI
Z
ADANIE
Sformułuj precyzyjnie definicję ciągu geometrycznego bez użycia symboli.
P
RZYKŁAD
1
Ciąg o wyrazach 2, 4, 8, 16, 32, ..., czyli ciąg postaci
n
n
2
=
a
, jest ciągiem geometrycznym.
P
RZYKŁAD
2
Ciąg stały jest ciągiem geometrycznym.
P
RZYKŁAD
3
Ciąg postaci
n
n
3
10
=
a
jest ciągiem geometrycznym.
P
RZYKŁAD
4
Ciąg kwadratów kolejnych liczb naturalnych nie jest ciągiem geometrycznym, podobnie jak ciągi
trzecich, czwartych i innych potęg kolejnych liczb naturalnych.
P
RZYKŁAD
5
Ciąg
n
n
( 1)
= −
a
jest ciągiem geometrycznym.
P
RZYKŁAD
6
Sprawdź, czy ciąg określony wzorem
n
n
n
1
=
−
a
jest ciągiem geometrycznym.
Liczymy
n
n
n
1
1
+
+
=
a
i
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
2
1
(
1)(
1)
.
1
+
+
+
−
=
=
−
a
a
Iloraz jest zależny od n, ciąg nie może być geometryczny.
Wypiszmy kilka wyrazów ciągu geometrycznego i spróbujmy przewidzieć wzór ogólny.
q
2
1
=
a
a
q
q
2
3
2
1
=
=
a
a
a
q
q
q
2
3
4
3
2
1
=
=
=
a
a
a
a
Nasze spostrzeżenia możemy ująć w twierdzenie.
160
9. CIĄGI
T
WIERDZENIE
* Uzasadnienie przeprowadzamy, posługując się zasadą indukcji matematycznej.
Krok pierwszy został już sprawdzony powyżej.
Dla k z założonej prawdziwości wzoru
k
k
q
1
1
−
=
a
a
wyprowadzimy prawdziwość wzoru
k
k
q
1
1
+
=
a
a
:
k
k
k
k
q
q
q
q
1
1
1
1
.
−
+
=
=
=
a
a
a
a
Na mocy zasady indukcji twierdzenie jest prawdziwe.
Podobnie jak ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny jest jednoznacznie wyznaczony przez
pierwszy wyraz i iloraz.
P
RZYKŁAD
7
Wyznacz ciąg geometryczny, wiedząc, że
3
1
9
− =
a
a
i
5
3
36
−
=
a
a
.
Korzystamy ze wzoru na wyraz ogólny:
q
q
q
2
1
1
4
2
1
1
9
36.
− =
−
=
a
a
a
a
,
Iloraz jest różny od zera, podobnie jak pierwszy wyraz, więc np. z pierwszego równania wyli-
czamy
q
2
1
1
9
+
=
a
a
i wstawiamy do drugiego równania
2
1
1
1
1
2
1
1
(9
)
9
36
+
+
−
=
a
a
a
a
a
a
,
2
1
1
1
1
(9
)
(9
) 36 .
+
−
+
=
a
a
a
a
Upraszczając, otrzymamy
1
27
81
=
a
,
czyli a
1
= 3, a q = 2 lub q = –2.
P
RZYKŁAD
8
Mamy bardzo cienką („nieskończenie cienką”) kwadratową kartkę papieru o boku 1m. Składamy
ją wzdłuż boków na cztery części i tak złożoną ponownie na cztery części, potem znów itd. Ile razy
musimy składać tak naszą kartkę, żeby jej bok po złożeniu był mniejszy niż 10
–8
m?
Długości boków składanej kartki tworzą ciąg:
1 1 1 1 1 1
1
....
2 2 2 2 2 2
⋅
⋅ ⋅
,
,
,
,
Możemy przyjąć, że
1
1
2
=
a
, gdyż jest to długość boku po pierwszym złożeniu.
Naturalnie, jest to ciąg geometryczny o ilorazie q =
1
2
. Nasze zadanie sprowadza się do
wyznaczenia n, gdy
n
n
n
1
8
1 1
1
10 .
2 2
2
−
−
= ⋅
=
<
a
Dla ciągu geometrycznego
n
( )
a
o ilorazie q prawdziwy jest wzór
n
n
q
1
1
.
−
=
a
a
161
9. CIĄGI
Mamy do czynienia z nierównością, w której niewiadoma występuje w wykładniku potęgi.
Dokładniej takie równania i nierówności będziemy badać w rozdziale 11. Tu możemy oszacować
liczbę n, posługując się kalkulatorem, wystarczy bowiem znaleźć takie n, by
n
8
2
10 .
>
Znajdujemy, że
n
27
≥
. „Wystarczy” zatem dwadzieścia siedem razy złożyć kartkę „na czwo-
ro”, żeby osiągnąć... średnicę atomu.
Ciąg geometryczny jest pod wieloma względami podobny do ciągu arytmetycznego, tylko
dodawanie zastępujemy mnożeniem. Będziemy mogli więc odszukać odpowiednią zależność po-
między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego. Z zależności
n
n
n
n
1
1
+
−
=
a
a
a
a
wynika następujące twierdzenie.
T
WIERDZENIE
Średnia arytmetyczna została zastąpiona średnią geometryczną.
Z
ADANIE
Czy powyższe twierdzenie można uogólnić na ciągi geometryczne o dowolnych wyrazach lub na
pewne typy takich ciągów?
* Nieco bardziej skomplikowany niż w przypadku ciągów arytmetycznych jest problem mo-
notoniczności.
Przykładowo:
– gdy a
1
> 0 i q > 1, to ciąg jest rosnący,
– gdy a
1
> 0 i q
∈
(0; 1), to ciąg jest malejący.
Podobnie będzie w innych przypadkach.
Z
ADANIA
1. Przeanalizuj inne przypadki monotoniczności ciągu, gdy pierwszy wyraz lub iloraz są liczbami
ujemnymi. Czy konieczne są założenia o pierwszym wyrazie ciągu?
2. Czy istnieją różne od stałych ciągi geometryczne, które nie są monotoniczne?
Do przedyskutowania został jeszcze problem sumy kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Najpierw sformułujmy twierdzenie.
T
WIERDZENIE
Dla dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego (z wyjątkiem pierwszego i ostatniego w ciągu
skończonym) o wyrazach dodatnich
n
n
n
1
1
.
−
+
=
a
a
a
Dla ciągu geometrycznego
n
( )
a
o ilorazie
q
1
≠
prawdziwa jest zależność
n
n
q
S
q
1
1
.
1
−
= ⋅
−
a
162
9. CIĄGI
* Znów mamy do czynienia z twierdzeniem o liczbach naturalnych, można by więc zastoso-
wać zasadę indukcji. Spróbujmy jednak uzasadnić wzór inaczej.
Z określenia symbolu wynika, że
n
n
S
1
2
3
...
.
= +
+
+ +
a
a
a
a
Pomnóżmy obie strony równości przez q:
n
n
S q
q
q
q
q
1
2
3
...
=
+
+
+ +
a
a
a
a ,
i skorzystajmy z własności ciągu geometrycznego:
n
n
n
n
n
S q
q S
q
2
3
1
...
.
=
+
+ +
+
=
− +
a
a
a
a
a
a
Po przekształceniu otrzymujemy:
n
n
n
n
n
S q S
q
S q
q
q
1
1
1
1
(
1)
−
−
=
−
− =
−
a
a
a
a
,
,
czyli
n
n
q
S
q
1
1
.
1
−
= ⋅
−
a
Zwyczajowo wzór na sumę zapisujemy tak jak w tezie twierdzenia.
Z
ADANIE
Wyznacz S
n
, gdy q = 1.
P
RZYKŁAD
9
Wyznaczmy sumę S
n
dla ciągu postaci
n
n
1
.
2
=
a
W tym zadaniu q =
1
2
i
1
1
2
=
a
. Wystarczy więc podstawić je do wzoru
n
n
n
S
1
1
1
1
2
1
.
1
2
2
1
2
−
= ⋅
= −
−
Jeśli rozważymy ciąg postaci
n
n 1
1
2
−
=
a
, to
1
1
=
a
i
q
1
2
=
:
n
n
n
S
1
1
1
2
1
2 1
.
1
2
1
2
−
= ⋅
= ⋅ −
−
Jeśli iloraz jest większy od 1, to ciąg rośnie zaskakująco szybko.
P
RZYKŁAD
10
Pewna osoba przekazała wiadomość-plotkę 5 innym osobom w ciągu godziny. Każda z tych osób
znów w ciągu godziny przekazała wiadomość innym 5 osobom itd. Ile osób pozna wiadomość po
5, 10 i 15 godzinach?
Jest to typowy ciąg geometryczny określony wzorem
n
n
1
5 5
−
= ⋅
a
. Wypiszmy kilka początko-
wych wyrazów: a
1
= 5, a
2
= 25, a
3
= 125, a
4
= 625, a
5
= 3125, a
10
= 9 765 635 i dalej
163
9. CIĄGI
a
12
= 244 140 625, a
13
= 1 220 703 125, a
14
= 6 103 515 625. Po wyliczeniu odpowiedniej
sumy S
n
okazuje się, że po 5 godzinach wiadomość powinna być znana w niewielkim miasteczku,
po 10 godzinach w państwie o liczbie ludności bliskiej liczbie mieszkańców Czech, po 12 godzi-
nach wiadomość znana by była w państwie o liczbie ludności zbliżonej do liczby mieszkańców
Stanów Zjednoczonych, a po 14 wiedziałaby o plotce ludność całej Ziemi z naddatkiem. Pytanie
o 15 godzin nie bardzo ma sens, bo wtedy liczba przekracza pięciokrotnie liczbę ludności kuli
ziemskiej.
Podobnie jest z tzw. łańcuszkami św. Antoniego: każdy uczestnik łańcuszka powinien wysłać
listy do 20 osób. Na szczęście w praktyce nie udaje się idealnie zrealizować wszystkich założeń
i plotki zbytnio się nie rozchodzą, nie jesteśmy zasypywani „łańcuszkowymi” listami, a rozmnaża-
jąca się szarańcza nie pokrywa całej kuli ziemskiej.
Pokażemy jeszcze kilka zastosowań ciągów geometrycznych.
P
RZYKŁAD
11
Zakładamy w banku roczną lokatę terminową. Poinformowano nas, że oprocentowanie w banku
w skali rocznej wynosi 8%. Kapitalizacja odsetek następuje po roku. Postanawiamy wyłożyć 1000 zł.
Ile będziemy mieli oszczędności po 5, 10, 15 latach (pomijamy inflację i różne podatki oraz
prowizje, które w trakcie oszczędzania mogą zostać wprowadzone).
Najpierw wyjaśnijmy, że okres kapitalizacji odsetek to czas, po którym do złożonej kwoty
dopisuje się odsetki. Może to być miesiąc, kwartał, rok albo inny okres.
Z warunków zadania wynika, że kapitalizacja następuje po roku, czyli do 1000 zł bank dopisze
nam po upływie roku 80 zł, czyli nasz kapitał wyniesie 1000 + 0,08
⋅ 1000 = 1000(1+ 0,08) =
=1080.
Po 2 latach do kwoty 1080 zł dopisujemy 8% tej sumy i otrzymujemy 1080 + 0,08
⋅ 1080 =
= 1080(1 + 0,08) = 1000(1 + 0,08)
2
.
Po 3 latach uzyskamy kwotę 1000(1+ 0,08)
3
.
Bez trudu formułujemy ogólny wzór: kwota po n latach będzie równa
1000
⋅ (1,08)
n
.
Teraz już możemy rozwiązać zadanie, korzystając z kalkulatora.
Po 5 latach będziemy mieć 1000
⋅ (1,08)
5
≈
1000
⋅ 1,469328077
≈
1469,33 zł, po 10 la-
tach 2158,92 zł, a po 15 latach 3172,17 zł. Nie należy jednak zapominać, że w ciągu 15 lat
może ulec zmianie oprocentowanie, zmieni się inflacja i prawo, a tym samym siła nabywcza
naszych pieniędzy.
Po analizie ostatniego przykładu możemy podać ogólny wzór na oprocentowanie oszczędno-
ści, nazywany też wzorem na procent składany:
n
n
K
K
r
(1
) .
=
+
Liczba K jest początkową kwotą oszczędności, p rocznym oprocentowaniem
podanym
w postaci ułamka, np.
8
100
, a n liczbą lat. Zakładamy oczywiście, że okres kapitalizacji wy-
nosi rok.
*
Z
ADANIE
Wyprowadź podobny wzór na procent składany, gdy okres kapitalizacji jest inny, np. wynosi
miesiąc lub kwartał.
164
9. CIĄGI
Wspominaliśmy o inflacji. Prześledźmy jeszcze jeden przykład.
P
RZYKŁAD
12
Przypuśćmy, że miesięczna inflacja wynosi 1%. Jaka jest inflacja roczna?
Inflacja p% oznacza, że ceny wzrosły o p% w rozważanym okresie. Jeszcze bardziej obra-
zowo: jeśli coś na początku okresu kosztowało np. 100 zł i p = 1, to pod koniec kosztowało
100 + 0,01
⋅ 100 = 100(1+ 0,01).
Poziom cen po danym okresie (np. po miesiącu) zmieni się w stosunku
p
1
100
+
, a w naszym
zadaniu o 1+ 0,01. Widzimy tu podobieństwo z dopiero co opisywanym procentem składanym.
Po 2 miesiącach mamy więc poziom cen (1+ 0,01)
2
, po trzech (1+ 0,01)
3
itd.
Po roku poziom cen przedstawia się następująco
12
(101)
1126
≈
,
,
, a to daje inflację roczną
w wysokości 12,6%.
Z
ADANIA
1. Sprawdź, że dla dowolnego wyrazu ciągu geometrycznego (z wyjątkiem pierwszego i ostat-
niego w ciągu skończonym) o wyrazach dodatnich
n
n k
n k
–
+
=
a
a
a
,
dla
k n.
<
2. Wyznacz ciąg geometryczny, gdy znane są:
a)
2
4
2
2 2
=
=
a
a
,
,
b)
9
4
3
3
=
= −
a
a
,
,
c)
5
2
4000
4
=
=
a
a
,
.
3. Zastanów się, jaki ciąg tworzą odwrotności wyrazów ciągu geometrycznego.
4. Zbadaj, czy kwadraty kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego tworzą ciąg geometryczny.
5. Zastanów się, jaki ciąg tworzą różnice kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
6. Zbadaj monotoniczność następujących ciągów geometrycznych:
a)
q
1
1
1
2
2
= −
= −
a
,
,
b)
q
1
2
3 1
= −
=
−
a
,
,
c)
q
1
1
4
5
= −
=
a
,
,
d)
q
1
3
3
=
= −
a
,
.
7. Sprawdź, czy iloczyn ciągów geometrycznych jest ciągiem geometrycznym.
*
9.4 Granica ciągu
Wylicz przybliżenia dziesiętne kilku wyrazów ciągów
n
n
1
=
a
,
n
b
n
=
,
n
c
n
1
1
= +
,
n
n
n
1 ( 1)
.
+ −
=
a
Napisz kilka (kilkanaście) kolejnych przybliżeń licz-
by
2
7.
π
,
,
Wybierz dowolną liczbę dodatnią, którą można
wpisać do kalkulatora, i wykonaj na niej wielo-
krotnie operację
. Naciskaj klawisz z tym sym-
bolem. Co daje się zauważyć? Wykonaj podobny
eksperyment z innymi klawiszami funkcyjnymi.
M. C. Escher
165
9. CIĄGI
P
RZYKŁAD
1
Podzielmy odcinek (np. odcinek jednostkowy na osi odciętych) na pół. Następnie prawy odcinek
podziału znów podzielmy na pół itd. Choć operacje można wykonywać w nieskończoność, to
wydaje się, że jeżeli dodamy długości wszystkich odcinków z lewej strony podziałów, to dostanie-
my skończoną długość całego odcinka wyjściowego.
Jeśli wypiszemy kolejne wyrazy ciągu
n
1
, to zauważymy, że są one coraz mniejsze i jakby
zbliżają się do zera. Podobnie będzie z wyrazami ciągów
n
2
1
i
n
1
. Natomiast wyrazy
ciągów
n
2
( ) i
n
( )
„uciekają” do nieskończoności, a w ciągu
n
n
3
( 1)
−
wyrazy „rozbiegają” się
w dwie strony. Używając wielokrotnie na kalkulatorze klawisza „sin” do losowo wybranej liczby,
widzimy, że o tak generowanym ciągu nic specjalnie sensownego nie można powiedzieć.
Przyglądając się różnym ciągom, zauważamy, że ich wyrazy czasem jakby skupiają się wokół
wyróżnionych liczb, czasem rozbiegają się zupełnie. Ma-
tematycy postanowili precyzyjnie opisać takie zachowa-
nie ciągów. Okazało się to niezwykle ważne nie tylko
w samej matematyce, ale również w jej zastosowaniach
w fizyce, technice i innych dziedzinach działalności ludzi.
W ten sposób pojawiło się jedno z najważniejszych
pojęć matematyki – granica. Termin ten jest wykorzy-
stywany w różnych sytuacjach (zob. np. podrozdział 6.2.,
str. 95). My zajmiemy się granicami ciągów.
Definicja granicy ciągu będzie nas informować, kie-
dy dana liczba może być uznana za granicę badanego
ciągu.
Podamy najpierw definicję opisową.
Przedział
g
g
(
)
ε
ε
−
+
;
jest otoczeniem licz-
by g. Otoczenie liczby to przedział, w którego
wnętrzu znajduje się ta liczba; ogólnie nie musi
to być przedział tak „symetryczny” jak w defi-
nicji granicy.
Definicję możemy zapisać również tak:
Liczbę g nazwiemy granicą ciągu
n
( )
a
przy n zmierzającym do nieskończoności, gdy dla
dowolnej liczby
ε > 0 możemy znaleźć taki wskaźnik n
0
, że dla wszystkich wskaźników więk-
szych od n
0
wyrazy ciągu leżą w przedziale
g
g
(
).
ε
ε
−
+
;
Liczbę g nazwiemy granicą ciągu
n
( )
a
przy n zmierzającym do nieskończoności, gdy dla
dowolnego otoczenia g możemy znaleźć taki wskaźnik n
0
, że dla wszystkich wskaźników
większych od n
0
wyrazy ciągu leżą w tym otoczeniu.
Symbolicznie zapisujemy definicję następująco:
n
n n n
g
g
0
0
0
(
)
ε
ε
ε
∀ > ∃ ∀ >
∈ −
+
a
:
;
albo
n
g
n n n
0
0
0
.
ε
ε
−
∀ > ∃ ∀ >
<
a
:
166
9. CIĄGI
Zapis
n
g
g
(
)
ε
ε
∈ −
+
a
;
oznacza, że
n
g
g
ε
ε
− < < +
a
i dalej
n
g
ε
ε
− < − <
a
,
a z definicji
wartości bezwzględnej wiemy, że
n
g
ε
− <
a
, stąd równoważność zapisu.
To, że ciąg
n
( )
a
ma granicę g, zapisujemy symbolicznie
n
n
g
lim
→∞
=
a
i czytamy: granica ciągu
n
( )
a
przy n zmierzającym do nieskończoności jest równa g.
U
WAGA
P
RZYKŁAD
2
Sprawdzimy, czy ciąg
n
n
1
=
a
ma granicę 0 przy n zmierzającym do nieskończoności.
Wybieramy dowolne
0
ε >
(czyli otoczenie liczby 0). Musimy teraz dobrać taki wskaźnik n
0
,
że dla n > n
0
n
1
.
ε
<
Ta nierówność powinna być spełniona, możemy zatem spróbować z niej wyznaczyć n
w zależności od
ε:
n
1
ε
<
,
n
1
.
ε
<
Czyli dla wybranego
ε wskaźnik n
0
musi być większy od
1
ε
, a wtedy będziemy mieli gwaran-
cję, że dla n > n
0
wyrazy ciągu
n
1
będą leżeć w przedziale (
).
ε ε
−
;
Jakie n
0
wybieramy? Wystarczy, żeby tylko spełniało warunek
n
0
1
ε
<
, poza tym może być
dowolne.
Wyznaczmy takie n
0
dla konkretnych
ε.
Gdy
1
10
ε =
, to
n
0
10
>
, czyli możemy wziąć n
0
równe 11, 12, 123 albo nawet 1423 itd.
Gdy
1
10 000
ε =
, to
n
0
10 000
>
, czyli n
0
może być równe 10 001, 10 234 itd.
Gdy
35
359 043 453
ε =
, to
n
0
359 043 453
10 258 384 73
35
>
=
,
, możemy więc przyjąć za n
0
liczby 10 258 385, 20 000 000 itd.
Ze względu na to, że dla każdego
ε potrafimy znaleźć odpowiednie n
0
, prawdziwa jest rów-
ność
n
n
1
lim
0.
→∞
=
W definicji napisane jest „dla dowolnego otoczenia” albo „dla dowolnej liczby
ε > 0” –
w domyśle chodzi o bardzo małe otoczenia i bardzo małe liczby
ε. Zależy nam na tym, żeby
wyrazy ciągu były „blisko” granicy.
Zwrot „przy n zmierzającym do nieskończoności” często będzie opuszczany.
167
9. CIĄGI
P
RZYKŁAD
3
Sprawdzimy, czy
n
n
1
lim
0.
3
→∞
=
+
Znów do wybranego
ε > 0 musimy dobrać wskaźnik n
0
, żeby dla n > n
0
spełniona była
nierówność
n
1
.
3
ε
<
+
Właśnie z tej nierówności oszacujemy poszukiwane n
0
:
n
1
3
ε
<
+
,
n
1
3.
ε
<
+
Możemy obie strony nierówności podnieść do kwadratu, gdyż mamy do czynienia z liczbami
dodatnimi.
Otrzymujemy
n
n
2
2
1
1
3
3
.
ε
ε
< +
− <
, czyli
Wiemy już, jak do
ε dobierać n
0
. Liczba 0 jest rzeczywiście granicą badanego ciągu.
Z
ADANIE
W powyższym ciągu wskaż n
0
dla wybranych konkretnych
ε.
P
RZYKŁAD
4
Ciąg
n
n
( 1)
= −
a
nie ma granicy.
Jaka liczba mogłaby być jego granicą? Nie 1, bo
w przedziale
1
1
1
1
2
2
−
+
;
nie mieszczą się wyrazy
n
2
1
1
−
= −
a
, których jest nieskończenie wiele. Z analo-
gicznych powodów –1 nie może być granicą. Rów-
nież żadna inna liczba rzeczywista nie może być kan-
dydatką na granicę, bo zawsze znajdziemy przedział-
-otoczenie, w którym nie ma żadnych wyrazów
badanego ciągu.
Można zadać pytanie: ile granic może mieć ciąg?
Prawdziwe jest następujące twierdzenie.
T
WIERDZENIE
Bez obaw zatem możemy wyznaczać granice ciągów, o ile tylko istnieją.
Jeśli ciąg ma granicę, to jest ona wyznaczona jednoznacznie.
168
9. CIĄGI
Posługując się bezpośrednio definicją, można udowodnić, że:
1. jeśli ciąg
n
( )
a
jest stały, czyli dla każdego n wyraz a
n
= a, to
n
n
lim
→∞
=
a
a,
2.
n
n
1
lim
0
→∞
=
,
3.
n
n
2
1
lim
0
→∞
=
,
4.
k
n
n
1
lim
0
→∞
=
, dla
k
∈
N \ {0},
5.
n
n
1
lim
0
2
→∞
=
,
6.
n
n
p
1
lim
0
→∞
=
,
dla p > 1.
Bardziej skomplikowane są uzasadnienia następujących zależności:
7.
n
n
n
lim
1
→∞
=
,
8.
n
n
lim
1
→∞
=
a
, dla a > 0,
9.
n
n
q
lim
0
→∞
=
, dla
q
1.
<
Z
ADANIE
Dla ciągów podanych w punktach 1–9 wypisz kilka lub kilkanaście wyrazów, wykorzystując
kalkulator lub jakiś program komputerowy.
Wyznaczanie granic na podstawie definicji jest trudne i uciążliwe. Ponadto musi być znany
„kandydat” na granicę. Bardzo pomocne w wyznaczaniu granic są rozliczne twierdzenia opisu-
jące ich własności.
Jednym z fundamentalnych twierdzeń jest twierdzenie następujące.
T
WIERDZENIE
W szczególności z twierdzenia wynika wniosek.
W
NIOSEK
Jeśli
n
n
lim
→∞
=
a
a
i
n
n
b
b
lim
→∞
=
,
to:
1.
n
n
n
b
b
lim(
)
→∞
+
= +
a
a
,
2.
n n
n
b
b
lim(
)
→∞
=
a
a ,
3.
n
n
n
b
b
lim
→∞
=
a
a
, przy założeniu, że
b
0
≠
.
1.
n
n
lim(
)
α
α
→∞
=
a
a,
dla
∈
a
R
2.
n
n
n
b
b
lim(
)
→∞
−
= −
a
a
169
9. CIĄGI
Z
ADANIE
Wypowiedz powyższe twierdzenie i wniosek, nie używając symboli.
U
WAGA
P
RZYKŁAD
5
Niech
n
n
( 1)
= −
a
i
n
n
b
1
( 1)
+
= −
. Wtedy
n
n
n
n
n
b
1
( 1)
( 1)
( 1) (1 ( 1)) 0
+
+ = − + −
= −
+ − =
a
, czyli
n
n
n
b
lim(
) 0
→∞
+
=
a
, ale granice poszczególnych ciągów nie istnieją.
P
RZYKŁAD
6
Oblicz granicę
n
n
n
n
2
2
1
lim
.
2
→∞
+
+
Milcząco zakładamy, że granica istnieje i niejako na wyrost stosujemy twierdzenie o granicy
sumy, iloczynu i ilorazu. Najpierw jednak przekształcamy ogólny wyraz ciągu, dzieląc licznik
i mianownik przez n
2
:
n
n
n
n
2
2
1
lim
2
→∞
+ =
+
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
2
2
2
2
1
lim
2
→∞
+
=
+
n
n
n
2
1
1
lim
.
1
2
→∞
+
+
Teraz stosujemy (wciąż „awansem”) odpowiednie twierdzenia:
n
n
n
2
1
1
lim
1
2
→∞
+
+
=
1 0
1
.
2 0 2
+ =
+
Co by było, gdybyśmy natrafili na ciągi składowe nie mające granic? Trzeba by szukać
innych metod liczenia granic.
P
RZYKŁAD
7
Oblicz granicę
n
n
n
n
n
n
2
4
3
2
lim
sin
.
1
→∞
+
+
W twierdzeniu wyraźnie jest zaznaczone, że granica sumy istnieje,
o ile istnieją
poszczegól-
ne granice. Podobnie jest dla iloczynu i ilorazu. W praktyce często liczymy granicę sumy,
zakładając milcząco, że granice składników istnieją. Może się jednak zdarzyć, że istnieje
granica sumy, mimo iż nie istnieją granice składników. Wtedy oczywiście założenia twierdze-
nia nie są spełnione.
170
9. CIĄGI
Stosując podobną metodę jak w poprzednim przykładzie, wyznaczymy granicę
n
n
n
n
2
4
3
lim
0.
→∞
=
+
Natomiast z drugą granicą jest poważny kłopot; nie umiemy sobie z nią pora-
dzić. Można pokazać, że nie istnieje, więc nie da się stosować twierdzenia o granicy iloczynu.
Wrócimy jeszcze do tego przykładu.
Najpierw zwróćmy uwagę na dwie sprawy. Pierwsza to pytanie: dlaczego w przykładzie 6
najpierw przekształcaliśmy ułamek, a dopiero potem wyznaczaliśmy granicę? I drugi problem
związany z pierwszym: co można powiedzieć np. o granicy ciągu
n
n
2
=
a
?
Granice niewłaściwe
Poznaliśmy przykłady ciągów mających granicę i takich, któ-
re jej nie mają. W pewnych sytuacjach, gdy granica nie istnie-
je, wygodnie jest tę granicę jednak wprowadzić, choć nie
będzie to liczba rzeczywista. Tak pojawiają się właśnie
granice niewłaściwe, w odróżnieniu od tych liczbo-
wych.
Przyjrzyjmy się zachowaniu ciągu
n
n
2
=
a
.
Jego wyrazy rosną nieograniczenie; dla każdej licz-
by naturalnej jej kwadrat jest istotnie większy od
niej. Żadna liczba rzeczywista nie może być gra-
nicą tego ciągu, mamy bowiem nieskończenie wiele
kwadratów liczb naturalnych większych od tej licz-
by. Intuicja podpowiada, że ciąg „ucieka” do nie-
skończoności. Nieskończoność nie jest liczbą, ale
możemy pokusić się o uogólnienie definicji granicy.
Jeśli potraktujemy nieskończoność jak liczbę, a przedziały jak otoczenia, to możemy dopa-
trzyć się podobieństwa ze zwykłą, skończoną granicą.
Założenie, że M > 0, nie jest konieczne. Można brać dowolne liczby rzeczywiste, ale
w praktyce wygodnie jest ograniczyć się do liczb dodatnich, co niczego nie zmienia.
Zamiast „rozbieżny do
+∞
” mówimy też często „zbieżny do
+∞
”. Granice niewłaściwe nazy-
wamy też granicami nieskończonymi.
Analogicznie opisujemy ciągi rozbieżne do
:
−∞
n
K
n n n
K
0
0
0
∀ < ∃ ∀ >
<
a
:
z oznaczeniem
n
n
lim
.
→∞
= −∞
a
Powiemy, że ciąg
n
( )
a
jest rozbieżny do
+∞
, gdy dla dowolnej liczby rzeczywistej M > 0
można wskazać taki wskaźnik n
0
, że dla wszystkich wskaźników
n n
0
>
wyrazy ciągu należą
do przedziału
M
(
)
+∞
;
.
Symbolicznie zapisujemy tę definicję następująco:
n
M
n n n
M
0
0
0
∀ > ∃ ∀ >
>
a
,
:
i granicę oznaczamy
n
n
lim
.
→∞
= +∞
a
171
9. CIĄGI
Z
ADANIE
Wypowiedz bez użycia symboli definicję ciągu rozbieżnego do
−∞
.
P
RZYKŁAD
8
Ciągi o wyrazach ogólnych
n
n
=
a
,
n
b
n
=
,
k
n
c
n
=
(
k
∈
N),
n
n
d
p
=
(p > 1) są rozbieżne
do
+∞
.
Natomiast ciągi
k
n
n
= −
a
(
k
∈
N),
n
n
b
p
= −
(p > 1) są rozbieżne do
−∞
.
A co będzie, gdy dodamy ciąg rozbieżny do nieskończoności do ciągu mającego granicę
skończoną? Wtedy suma też jest rozbieżna do nieskończoności.
T
WIERDZENIE
W skrócie zapisuje się to twierdzenie jak działanie arytmetyczne:
b
.
+∞ + = +∞
Takich nowych wzorów mamy więcej:
+∞ + ∞ = +∞
,
b
−∞ + = −∞
,
.
−∞ − ∞ = −∞
Dla mnożenia zapisujemy następująco:
–
(
)
⋅ +∞ = +∞
a
, gdy a > 0, i
(
)
⋅ +∞ = −∞
a
, gdy a < 0,
–
(
)
⋅ −∞ = −∞
a
, gdy a > 0, i
(
)
⋅ −∞ = +∞
a
, gdy a < 0,
–
(
) (
)
(
)(
)
+∞ ⋅ +∞ = + ∞ = −∞ −∞
,
(
) (
)
(
)(
).
+∞ ⋅ −∞ = −∞ = −∞ +∞
Z
ADANIE
Zapisz powyższe równości w postaci twierdzeń o granicach.
Dla pewnego typu wyrażeń nie ma jednoznacznych twierdzeń. Przykładowo, nie ma twier-
dzenia dla symbolu
0
0
lub
∞
∞
. Jeśli
n
n
lim
0
→∞
=
a
i
n
n
b
lim
0
→∞
=
, to niczego sensownego nie możemy
powiedzieć o granicy
n
n
b
a
. Wszystko zależy od natury poszczególnych ciągów.
P
RZYKŁADY
9–12
9. Niech
n
k
n
=
a
i
n
b
n
1
=
, wtedy
n
n
n
k
b
lim
→∞
=
a
,
k 0
≠
.
10. Niech
n
n
1
=
a
i
n
b
n
3
1
=
, wtedy
n
n
n
b
lim
→∞
= +∞
a
.
11. Niech
n
n
–1
=
a
i
n
b
n
4
1
=
, wtedy
n
n
n
b
lim
→∞
= −∞
a
.
12. Jeżeli
n
n
n
( 1)
−
=
a
i
n
b
n
1
=
, to
n
n
n
b
lim
→∞
a
nie istnieje.
Jeśli
n
n
lim
→∞
= +∞
a
i
n
n
b
b
lim
→∞
=
,
to
n
n
n
b
lim(
)
.
→∞
+
= +∞
a
172
9. CIĄGI
Widzimy więc, że wszystko jest możliwe. Dlatego wyrażenie
0
0
nazywamy symbolem nie-
oznaczonym. Symbolami nieoznaczonymi są także
0
–
∞
⋅ ∞ ∞ ∞
∞
,
,
.
P
RZYKŁAD
13
Oblicz granicę
n
n
n
n
n
4
3
2
lim 2
3
4
5
144.
→∞
+
−
+
−
Wyłączamy najwyższą potęgę przed nawias:
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
4
3
2
4
2
3
4
3
4
5 144
lim 2
3
4
5
144 lim
2
.
→∞
→∞
+
−
+
−
=
+ −
+
−
= +∞
Z wyjątkiem ciągu stałego granice w nawiasie są równe 0, czyli cały ciąg w nawiasie dąży
do 2, a ciąg (n
4
) jest rozbieżny do
+∞
.
Granice i nierówności
Zwrócimy jeszcze uwagę na użyteczne twierdzenia ustalające związki między granicami cią-
gów i nierównościami. Najpierw rozważmy następujące twierdzenia.
T
WIERDZENIE
Bardzo przydatne przy wyznaczaniu granic jest tzw. twierdzenie o trzech ciągach.
T
WIERDZENIE
(
O
TRZECH
CIĄGACH
)
W obu twierdzeniach wystarczy założyć, że nierówności są spełnione dla wszystkich n, po-
cząwszy od pewnego n
0
.
P
RZYKŁAD
14
Powróćmy do granicy
n
n
n
n
n
n
2
4
3
2
lim
sin
1
→∞
+
+
. Nie mogliśmy sobie poradzić z drugim członem.
Zastosujemy twierdzenie o trzech ciągach. Najpierw przypomnijmy, że
x
1 sin
1
− ≤
≤
,
Jeśli dla każdego n zachodzi nierówność
n
n
b
≤
a
i oba ciągi mają granice, to
n
n
n
n
b
lim
lim
→∞
→∞
≤
a
.
Jeżeli trzy ciągi
n
n
n
b
c
( ) ( ) ( )
a ,
,
spełniają następujące warunki:
1. dla dowolnego n
n
n
n
b
c
≤
≤
a
,
2.
n
n
n
n
c
g
lim
lim
,
→∞
→∞
=
=
a
to również
n
n
b
g
lim
.
→∞
=
173
9. CIĄGI
czyli również
n
n
2
1 sin
1
1
− ≤
≤
+
,
i dalej
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
2
2
2
4
3
4
3
4
3
2
–
sin
1
≤
≤
+
+
+
+
Skrajne ciągi są zbieżne do 0, zatem
n
n
n
n
n
n
2
4
3
2
lim
sin
0.
1
→∞
=
+
+
Rozwiążmy jeszcze jeden przykład.
P
RZYKŁAD
15
Oblicz granicę
n
n
n
lim(
1
).
→∞
+ −
Widzimy, że nie można zastosować twierdzenia o granicy sumy, gdyż mamy do czynienia
z symbolem
∞ − ∞
. W takich przypadkach próbujemy pozbyć się różnicy pierwiastków. Można
to zrobić, mnożąc i dzieląc różnicę przez sumę tych pierwiastków:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
(
1
)(
1
)
lim(
1
) lim
1
1
1
lim
lim
.
1
1
→∞
→∞
→∞
→∞
+ −
+ +
+ −
=
=
+ +
+ −
=
=
+ +
+ +
Zauważamy, że
n
n
n
1
1
0
.
1
2
≤
≤
+ +
Stosujemy twierdzenie o trzech ciągach, a ponieważ
n
n
1
lim
0
2
→∞
=
,
otrzymujemy
n
n
n
n
n
n
1
lim
1
lim
0
1
(
)
→∞
→∞
+ −
=
=
+ +
.
Podamy jeszcze jeden użyteczny fakt pozwalający liczyć granice ciągów.
Niech f będzie funkcją elementarną, tzn. jedną z funkcji rozważanych w szkole (wielomia-
nem, funkcją wymierną, funkcją trygonometryczną, pierwiastkiem lub nie omówioną jeszcze
funkcją wykładniczą lub logarytmiczną). Załóżmy, że
n
n
lim
→∞
=
a
a
i f(a) jest określone. Wówczas
n
n
f
f
lim ( )
( ).
→∞
=
a
a
P
RZYKŁAD
16
Wyznacz granicę
n
n
n
2
1
lim sin
2
3
π
→∞
+
−
.
Zastosujemy powyższą metodę:
n
n
n
n
n
n
n
n
n
1
2
2
1
2
1
lim sin
sin
sin lim
sin
0.
lim
3
2
3
2
3
2
π
π
π
π
→∞
→∞
→∞
+
+
+
=
=
=
=
−
−
−
174
9. CIĄGI
Milcząco założyliśmy, że ciąg
n
n
2
1
2
3
π +
−
ma granicę i funkcja sinus jest w niej określona.
Gdyby tak nie było, musielibyśmy szukać innych sposobów liczenia tej granicy.
Z
ADANIA
1. Dla danych ciągów spróbuj przewidzieć, czy mogą mieć granice.
a)
1
1
1
1
2
3
5 ...
2
3
4
, , , , , , ,
b)
1
1 1
1 1
...
5 10 15
20 25
−
−
,
,
,
,
,
c)
0,1, 0,11, 0,111, 0,1111, ...
d)
12, 23,4, 134, 0,3, 0,03, 0,003, 0,0003, ...
e)
n
n
n
n
n
2
3
( 1)
5
2
−
=
+
a
2. Oblicz granice:
a)
n
n
n
2
1
lim
3
5
→∞
+
+
,
b)
n
n
n
n
2
4
2
4
lim
12
13
15
→∞
−
+
,
c)
n
n
n
n
2
2
3
124
lim
12
11
117
π
→∞
+
−
+
,
d)
n
n
n
5
3
lim(
12
4)
→∞
−
+
,
e)
n
n
n
n
3
4
lim(1 3
15 ).
→∞
+
−
+
3. Wyznacz granice następujących ciągów:
a)
n
n
n
n
2
2
4
2
4
2
=
+
−
+
a
,
b)
n
n
n
3
5
3
4
=
+ −
−
a
,
c)
n
n
n
n
n
n
5
4
3
2
3
cos
5
10
1
+
=
−
+
a
,
d)
n
n
n
n
n
2
5
3
5
+
=
+
a
,
e)
n
n
n
2
1 1
.
2
+ −
=
a
*
9.5 Szereg geometryczny
Jeśli dany jest ciąg
n
( )
a ,
to możemy utworzyć nowy ciąg składający się z sum kolejnych
wyrazów ciągu wyjściowego:
n
n
S
S
S
S
1
1
2
1
2
3
1
2
3
1
2
...
...
.
=
= +
= +
+
= +
+ +
a ,
a
a ,
a
a
a ,
a
a
a
Nowy ciąg
n n
S
( ) nazywamy
ciągiem sum cząstkowych
(albo częściowych) ciągu
n
( )
a
i badamy jego własności jak własności każdego innego ciągu. Specjalną interpretację ma grani-
175
9. CIĄGI
ca ciągu
n n
S
( ) . Domyślamy się, że jest to jakby suma nieskończona
n
1
2
3
...
...
+
+
+ +
+
a
a
a
a
i tak zazwyczaj jest interpretowana.
Ciąg sum cząstkowych
n n
S
( ) jest nazywany
szeregiem o wyrazach a
n
, a jego granica
sumą szeregu
. Gdy szereg ma sumę, to mówimy o nim, że jest zbieżny. Zarówno dla sumy, jak
i dla samego szeregu jest używany ten sam sugestywny symbol
n
n 1
.
∞
=
∑
a
Z kontekstu przeważnie wynika, o jaką interpretację symbolu chodzi.
Badanie zbieżności szeregów jest na ogół problemem trudnym i wymaga stosowania specjal-
nych twierdzeń i technik. Tylko w szczególnych przypadkach można stosunkowo łatwo przewidy-
wać zachowanie szeregów. Jednym z takich przypadków jest szereg geometryczny.
D
EFINICJA
U
WAGA
W szczególnym przypadku szeregu geometrycznego jesteśmy w dobrej sytuacji, bo mamy
wzór na sumy cząstkowe, co pozwala wyliczyć granicę.
Jeśli więc
n
( )
a
jest ciągiem geometrycznym o ilorazie
q i
q
1
≠
,
to, przypomnijmy,
n
n
q
S
q
1
1
.
1
−
=
−
a
Granica ciągu (S
n
) zależy od granicy ciągu (q
n
).
Jeśli
q
1
<
, to
n
n
q
lim
0
→∞
=
.
Jeśli
q
1
>
, to granica
n
n
q
lim
→∞
nie istnieje.
Podobnie będzie, gdy q = –1.
Dla q = 1 ciąg geometryczny jest stały.
Tak więc o sumie szeregu geometrycznego możemy mówić tylko, jeżeli
q
1
<
. Wtedy
n
n
n
n
q
S
q
q
1
1
1
lim
lim
.
1
1
→∞
→∞
−
=
=
−
−
a
a
Prawdziwe jest więc następujące twierdzenie.
T
WIERDZENIE
Sumę szeregu geometrycznego oznaczamy przez S.
Ciąg sum cząstkowych ciągu geometrycznego
n
( )
a
nazywamy szeregiem geometrycznym,
a jego granicę sumą szeregu geometrycznego.
Dla szeregu geometrycznego obowiązuje taka sama symbolika jak dla dowolnych szeregów,
czyli symbol
n
n 1
∞
=
∑
a
oznacza zarówno ciąg sum cząstkowych, jak i jego granicę. Często też
piszemy jeszcze sugestywniej
n
1
2
3
...
...
+
+
+ +
+
a
a
a
a
, co też oznacza albo odpowiedni
ciąg, albo jego granicę.
Jeśli dany jest ciąg geometryczny nieskończony
n
( )
a
o ilorazie q spełniającym warunek
q
1
<
, to suma odpowiedniego szeregu geometrycznego jest równa
q
1
.
1
−
a
176
9. CIĄGI
U
WAGA
Z
ADANIE
Kiedy suma szeregu geometrycznego jest równa
+∞
, a kiedy
–
∞
?
P
RZYKŁAD
1
Dany jest ciąg geometryczny
n
n
1
2
=
a
. Ile wynosi suma odpowiedniego szeregu geometrycznego?
Ze względu na to, że iloraz równy jest
1
2
, to po podstawieniu do wzoru otrzymamy
S
1
2
1
1
1
2
=
=
−
.
P
RZYKŁAD
2
Niech będzie dany ciąg geometryczny stały, którego wszystkie wyrazy są równe 1. Nie możemy
tym razem zastosować wzoru na sumę szeregu geometrycznego. Przyjrzyjmy się rozumowaniu:
S 1 1 1 ...
= + + +
. Można więc napisać, że
S
S
1
= +
. Po skróceniu stronami przez S, otrzymuje-
my 0 = 1. Rozumowanie nie jest poprawne, gdyż nie możemy zakładać, że S jest liczbą –
milcząco przyjęliśmy, że suma istnieje, co doprowadziło nas do sprzeczności.
Ten przykład pokazuje, że trzeba bardzo uważać, gdy posługujemy się umowną symboliką
dla szeregów. Musimy ściśle przestrzegać warunków stawianych w definicji.
P
RZYKŁAD
3
Dany jest ułamek okresowy 0,233333... . Zapisz go jako ułamek zwykły postaci
p
q
.
Badany ułamek ma postać
2
3
3
3
0 23333...
...
10 100 1000 10000
=
+
+
+
+
,
. Widzimy więc, że
mamy do czynienia z sumą szeregu geometrycznego (z wyjątkiem pierwszego składnika). Pierw-
szy wyraz tego szeregu jest równy
3
100
, a iloraz
1
10
. Możemy więc napisać:
3
3
2
2
2
1
2 3 1
7
100
100
0 2333...
1
9
10
10
10 30
30
30
1
10
10
⋅ +
=
+
=
+
=
+
=
=
−
,
.
Wyraźnie tu widać, że przydaje się dopuszczenie przypadku q = 0. W przeciwnym razie
sformułowania komplikowałyby się niepotrzebnie.
Jeśli ciąg geometryczny jest stały, to szereg geometryczny ma granicę niewłaściwą (można
powiedzieć sumę niewłaściwą)
+∞
albo
–
∞
. Granica niewłaściwa istnieje również, gdy q > 1.
177
9. CIĄGI
P
RZYKŁAD
4
Rozwiąż równanie
x
x
x
x
2
3
1
1
1
... 1 2 .
1
(1
)
(1
)
+
+
+ = −
−
−
−
Zakładamy najpierw, że
x 1
≠
. Po lewej stronie mamy szereg geometryczny, którego pierw-
szy wyraz jest równy
x
1
1
−
, również iloraz jest równy
x
1
.
1
−
Musimy teraz sprawdzić, kiedy istnieje suma szeregu geometrycznego. Do rozwiązania jest
nierówność
x
1
1
1
<
−
i dalej
x
1
1
1.
1
− <
<
−
Układ nierówności przyjmie postać
x
x
x
x
2
0
1
0
1
−
>
−
<
−
.
Badamy teraz znaki iloczynów:
x
x
(2
)(1
) 0
−
−
>
i
x
x
(1
) 0
−
<
,
czyli
x
(
1) (2
)
∈ −∞ ∪
+∞
;
;
i
x
(
0) (1
).
∈ −∞
∪ +∞
;
;
Ostatecznie ustalamy dziedzinę
x
(
0) (2
)
∈ −∞
∪ +∞
;
;
i dla takich x szukamy rozwiązania
równania – możemy zastosować wzór na sumę szeregu geometrycznego:
x
x
x
1
1
1 2
1
1
1
−
= −
−
−
,
a stąd
x
x
1
1 2 .
− = −
Sprowadzamy to równanie do równania kwadratowego
x
(
0)
≠
:
x
x
2
2
1 0
− − =
,
dla którego pierwiastkami są
x
1
2
= −
lub x = 1. Rozwiązaniem jest więc
x
1
2
= −
.
Z
ADANIA
1. Oblicz sumę szeregu geometrycznego, gdy dane są:
a)
q
1
8
7
15
=
=
a
,
,
b)
q
m
1
2
=
= −
a
,
,
c)
q m
m
2
1
5
2
=
=
−
a
,
,
d)
m q
m
1
3
(2
)
= +
= − +
a
.
,
2. Następujące ułamki okresowe zamień na ułamki zwykłe:
a) 0,11111...,
b) 0,101101101...,
c) 0,1234121212...,
d) 0, 99999...,
e) 0,375757...,
f) 1,1252525... .
3. Dla jakich wartości x istnieje suma szeregu geometrycznego, którego wyrazy mają postać:
a)
n
n
x
x
2
2
3
=
−
a
,
b)
n
n
x
x
2
3
1
−
=
+
a
,
c)
n
n
x
x
x
2
1
=
− +
a
?
178
9. CIĄGI
Pierwsze wzmianki dotyczące ciągów arytmetycznych i geometrycznych (postępów arytmetycznych
i geometrycznych) spotyka się już w znaleziskach archeologicznych dotyczących Babilończyków.
Według źródeł, Babilończycy znali wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego. Także
w papirusie Rhinda, jednym z dwóch zachowanych papirusów poświęconych problemom matema-
tycznym, zapisano zadania nawiązujące do własności ciągu arytmetycznego.
W matematyce starożytnych Greków ciągi arytmetyczne i geometryczne występują już systema-
tycznie. Więcej, pojawiają się również ciągi nieskończone i – w niektórych rozumowaniach – szereg
geometryczny. Pojęcie nieskończoności i problemy dotyczące przejść granicznych studiował żyjący
w V w. p.n.e. Zenon z Elei. Powszechnie znane są jego paradoksy związane właśnie z pojęciem
nieskończoności, nazywane aporiami (greckie słowo aporia oznacza trudność). Metody przejść
granicznych były szeroko stosowane przez Archimedesa do obliczania pól figur i długości krzywych.
Matematycy okresu średniowiecza również badali ciągi różnego typu i przejścia graniczne. Na stałe
do matematyki wszedł ciąg Fibonacciego po raz pierwszy rozważany przez Leonarda z Pizy
(ok. 1170–ok. 1240) w dziele Liber abaci. Przydomek Fibonacci został nadany Leonardowi dopie-
ro w XIX w., wtedy również zaczęto używać terminu „ciąg Fibonacciego”.
Precyzyjne określenie granicy zawdzięczamy pracom dziewiętnastowiecznych matematyków: Ber-
narda Bolzano, Edwarda Heinego, Augustina Louisa Cauchy’ego i Karla Weierstrassa.
* 9.6 Potęga o wykładniku rzeczywistym
Przystępujemy do ostatniego etapu uogólniania pojęcia potęgi. Zaczniemy od zaobserwowa-
nia pewnej ważnej własności zbioru liczb rzeczywistych, którą będziemy mogli opisać za pomocą
pojęcia granicy ciągu.
Rozważmy pewną dodatnią liczbę niewymierną x, a zatem pewne rozwinięcie dziesiętne
nieskończone x = k + 0, a
1
a
2
a
3
…, gdzie k
∈
N oraz a
i
∈
{0, 1, …, 9}, a także ciąg rozwinięć
skończonych (a więc liczb wymiernych):
w
1
= k + 0,a
1
,
w
2
= k + 0,a
1
a
2
,
w
3
= k + 0,a
1
a
2
a
3
,
…
Jest to ciąg rosnący i – jak łatwo stwierdzić – zbieżny do x, skoro x – w
n
< 10
–n
. Jeżeli liczba
niewymierna x jest ujemna, to podobnie skonstruowany ciąg jest malejący, ale również zbieżny
do x. Jeżeli liczba x jest wymierna, to ciąg (w
n
)
n
o wyrazach w
n
= x – 2
–n
jest rosnącym ciągiem
liczb wymiernych zbieżnym do x. Naszą obserwację zapiszemy w postaci następującego wniosku.
W
NIOSEK
U
WAGI
HISTORYCZNE
Zenon
z Elei
Leonardo
z Pizy
Bernard
Bolzano
Augustin Louis
Cauchy
Karl
Weierstrass
Zbiór liczb wymiernych jest
gęsty
w zbiorze liczb rzeczywistych, tzn. każda liczba rzeczywi-
sta jest granicą ciągu liczb wymiernych. Przy tym taki ciąg można wybrać jako rosnący lub
jako malejący.
179
9. CIĄGI
Wykorzystując własność gęstości, zdefiniujemy potęgę o wykładniku niewymiernym. Ustal-
my liczbę niewymierną x oraz rosnący ciąg (w
n
)
n
liczb wymiernych zbieżny do x. Ustalmy także
liczbę a > 1. Na mocy twierdzenia o monotoniczności potęg ciąg potęg
n
w
n
( )
a
jest także rosną-
cy i ograniczony (z góry), np. przez liczbę a
[x] + 1
. Można pokazać, że taki ciąg jest zbieżny. Jego
granicę przyjmujemy jako a
x
.
Podobnie można zdefiniować potęgę a
x
, gdy a
∈
(0; 1) – spróbuj zaproponować taką defini-
cję. Gdy a = 1, to oczywiście a
x
= 1.
Pojawia się jednak pewien problem. Ta sama liczba niewymierna może być (i jest!) granicą
wielu różnych ciągów. Którego mamy użyć, aby zdefiniować a
x
? Okazuje się, że wybór takiego
ciągu nie ma znaczenia: stosowny ciąg potęg będzie zbieżny do tej samej granicy, niezależnie od
wyboru ciągu wykładników wymiernych zbieżnego do danej liczby niewymiernej x; ciąg przybli-
żający nie musi być nawet monotoniczny. Ta wspólna granica to właśnie a
x
.
Zwróćmy uwagę na jeszcze jeden problem: przecież – jak zauważyliśmy – liczba wymierna
także jest granicą ciągu liczb wymiernych. Ale dla liczby wymiernej x oraz liczby a > 0 potęgę
a
x
już zdefiniowaliśmy. Czy granica ciągu
n
w
n
( )
a
będzie w takim razie równa wcześniej zdefinio-
wanej wartości a
x
? Odpowiedź jest pozytywna.
Przypomnijmy jeszcze, że w pierwszej klasie zdefiniowaliśmy wartość potęgi 0
0
jako 1:
0
0
= 1.
Dla tak zdefiniowanej potęgi o dowolnym wykładniku rzeczywistym pozostają prawdziwe
twierdzenia o algebraicznych własnościach potęg (zob. podrozdział 3.2) i o monotoniczności
potęg (zob. podrozdział 3.3).
*
9.7 Rozmaitości: problem
3
x
+ 1
Zapoznamy się z przykładem zagadnienia sformułowanego bardzo prosto, ale trudnego do
rozwiązania. Tak trudnego, że wciąż nie udało się go rozwiązać. Problem ten bywa rozmaicie
nazywany: problem Collatza, problem Kakutaniego, problem Ulama, problem syrakuzański albo
po prostu problem 3x + 1.
Problem 3x + 1: na zbiorze liczb naturalnych różnych od zera N
0
= {1, 2, 3, …} określa-
my następujące przekształcenie f:
x
x
f x
x
x
( )
2
3
1
=
+
jest liczbą parzystą
jest liczbą nieparzystą
,
.
,
,
Ponieważ f: N
0
→
N
0
, można iterować funkcję f, tj. dla danej liczby x
0
obliczać kolejno x
1
= f(x
0
),
x
2
= f(x
1
), … .
Hipoteza mówi, że niezależnie od wyboru x
0
ciąg (x
n
)
n
po skończenie wielu krokach przyjmie
wartość 1. Także 1 wraca w swoje wyjściowe położenie, tworząc cykl. Zobaczmy:
1 6 4 6 2 6 1,
3 6 10 6 5 6 16 6 8 6 4 6 … (dalszy ciąg już znamy),
7 6 22 6 11 6 34 6 17 6 52 6 26 6 13 6 40 6 20 6 10 6 (dalszy ciąg już znamy)
itd.