Model gazu doskona ego

ł

-

du a liczba jednakowych spr ystych kulek, o znikomo

ż

ęż

ma ych rozmiarach, poruszaj cych si chaotycznie w zamkni tych w naczyniu.

ł

ą

ę

ę

Ma zastosowanie, gdy opisujemy zachowanie gazu maj cego nast puj ce cechy:

ą

ę

ą

1) jednakowe atomy lub cz steczki,

ą

2) du ilo atomów/cz steczek gazu,

żą

ść

ą

3) brak oddzia ywa mi dzy cz steczkami poza krótkotrwa ymi momentami zderze ,

ł

ń

ę

ą

ł

ń

4) ruch chaotyczny (termiczny) cz steczek w ca ej dost pnej obj to ci naczynia,

ą

ł

ę

ę ś

5) obj to cz steczek jest ma a w stosunku do obj to ci naczynia.

ę ść ą

ł

ę ś

Model gazu doskona ego ma zastosowanie do opisu w asno ci ka dego z gazów rzeczywistych, ale

ł

ł

ś

ż

dostatecznie rozrzedzonego, by by y spe nione kryteria nr 3 i 5. rednia odleg o mi dzy- cz steczkowa

ł

ł

Ś

ł ść

ę

ą

musi by w tym stanie znacznie wi ksza od zasi gu si wzajemnego oddzia ywania. Naj atwiej spe ni to

ć

ę

ę

ł

ł

ł

ł ć

dla gazów szlachetnych, np. He, Ne, Ar.

KINETYCZNO-MOLEKULARNA TEORIA GAZÓW

©

W. Polak, PL

U

i



1

i



N

E

k

i



j



1

j



N

i



1

i



N

E

p

ij

U

i



1

i



N

E

k

i

m

2

i



1

i



N

v

i

2

dla gazu rzeczywistego

dla gazu doskona ego

ł

Energia wewn trzna

ę

©

W. Polak, PL

Podstawowe równanie teorii molekularno-kinetycznej gazu doskona ego

ł

p

i ,y

m v

i ,y



m v

i ,y

2m v

i ,y

t

i

2L

v

i ,y

F

i

2m v

i ,y

2L

v

i ,y

m v

i ,y

2

L

F

w



i



1

i



N

F

i

m

L



i



1

i



N

v

i ,y

2

p

F

w

S

m

L

3



i



1

i



N

v

i ,y

2

p

m
V

N



i



1

i



N

v

i ,y

2

N

m
V

N v

y

2

p

m

3

V

N v

2

2

3

V

N

m v

2

2

pV

N

2
3

m v

2

2

pV

N

2
3

E

k

i

E

k

i

3
2

k T

E

k

i

i

2

k T

v

1

2



v

1,

x

2



v

1,

y

2



v

1,

z

2

v

2

2



v

2,

x

2



v

2,

y

2



v

2,

z

2

...

v

N

2



v

N , x

2



v

N , y

2



v

N ,z

2



i



1

i



N

v

i

2





i



1

i



N

v

i , x

2





i



1

i



N

v

i , y

2





i



1

i



N

v

i ,z

2



i



1

i



N

v

i

2

N





i



1

i



N

v

i , x

2

N





i



1

i



N

v

i , y

2

N





i



1

i



N

v

i ,z

2

N

v

2



v

x

2



v

y

2



v

z

2



3

v

y

2

v

y

2



1

3

v

2

pV

n RT

pV

N

N

A

RT

pV

N k T

Obliczenia pomocnicze

( redni kwadrat pr dko ci )

ś

ę

ś

Z eksperymentu

z teorii

Dla ruchu post powego

ę

Dla ruchu post powego i obrotowego

ę

i

3

i



5

i



6

v

i , x

v

i , y

v

i , z

©

W. Polak, PL

Rozk ad Boltzmanna

ł

N

2

N

1

exp

E

p

2

E

p

1

k T

N

p

N

c

exp

E

p

kT

N h N 0 exp

m g h

k T

n h n 0 exp

m g h

k T



p h p 0 exp

m g h

k T

A

h

2

h

1

dla eksperymentu z rysunku, T ~ A

2

.

dla ukladu ciecz-para nasycona

dla gazu w polu ci ko ci

ęż ś

Przyk ad:

ł

1) stosunek liczby cz steczek pary nasyconej do cz steczek wody dla

ą

ą

T = 300 K.

N

p



N

c



exp



E

p

kT



exp



E

par



RT

N

p



N

c



exp



2,26



10

6

J

kg



0,018

kg

8,31

J

mol



K



300

K



83



10



9

1) ci nienie powietrza na szczycie Mount Everestu (h = 8848 m) dla

ś

t = -3

o

C.

dla gazu w polu ci ko ci

ęż ś

p h

p 0 exp

m g h

k T

p 0 exp



g h

RT

p h

1

atm



exp

0,0287

kg

mol



9,81

m
s

2



8848

m

8,31

J

mol



K



270

K

0,33

atm

Wzór barometryczny

©

W. Polak, PL

p h

p h



h S





h S



V



g



p





h



g



p



h





g

d p
d h





g

d p
d h



p



RT

g

d p
d h





g

N

A

k T

p

d p
d h



m g

k T

p

p h



p

0 exp

m g h

k T

Sprawdzenie:

d p

d h



m g

k T

p

0 exp

m g h

k T

p

Obliczenia pomocnicze

pV



m



RT



m
V



p



RT

h

h



h

0

©

W. Polak, PL

Rozk ad Maxwella

ł

N v

x

, v

x

v

x

; v

y

, v

y

v

y

; v

z

, v

z

v

z



n

0

v

x

v

y

v

z

N

0

exp



m v

x

2

v

y

2

v

z

2

2

k

B

T

N v

x

, v

x

v

x

; v

y

, v

y

v

y

; v

z

, v

z

v

z



n

0

exp



m v

2

2

k

B

T

v

x

v

y

v

z

N v , v

v



4



v

2

n

0

exp



m v

2

2

k

B

T

v

N





0



4



n

0

v

2

exp



m v

2

2

k

B

T

d v

Zamiana zmiennych:

z



m

2k

B

T

v

N



4



n

0

2k

B

T

m

3



2



0



z

2

exp



z

2

d z



4



n

0

2k

B

T

m

3



2



4

N



n

0

2



k

B

T

m

3



2



n

0



N

m

2



k

B

T

3



2

N v , v

v



N 4



m

2



k

B

T

3



2

v

2

exp



m v

2

2

k

B

T

f v

v

w postaci ró niczkowej

d N



N f v d v , gdzie f v funkcja rozk adu

ł

v

x

v

y

v

z

d f v

d v

0 dla

v v

pr

d

d v

v

2

exp

m v

2

2

k

B

T

0

2

v exp

m v

2

2

k

B

T



v

2

2

m v

2

k

B

T

exp

m v

2

2

k

B

T

2

v

v

3

m

k T

0

v 2

m v

2

k T

0

v

pr

2

k T

m



v

pr

2

RT



Pr dko najbardziej prawdopodobna

ę

ść

v

pr

Pr dko rednia

ę

ść ś

v

r

ś

Pr dko rednia kwadratowa

ę

ść ś

v

kw

v

r

ś





0



v



N f v dv



8

k T

m

v

r

ś



4

v

pr



1,13



v

pr

v

2



0



v

2



N f v dv



3

k T

m

, gdzie

v

2

v

kw



v

2



3

k T

m



3

2

v

pr



1,22



v

pr

redni kwadrat pr dko ci

ś

ę

ś

dla maksimum funkcji rozk adu

ł

f(v)

OBLICZENIA:

pr dko najbardziej prawdopodobna

ę

ść

dla azotu o temperaturze: a) T = 300 K, b) T = 3000 K.

a) v

pr



2 RT

v

pr



2



8,31

J

mol



K



300 K

0,0287

kg

mol



422

m

s

b) v

pr



1334

m

s

©

W. Polak, PL

Rozk ad Maxwella - parametry pr dko ci cz steczek gazu

ł

ę

ś

ą