Monotoniczno´

s´

c, ekstrema i wykresy funkcji

1. Zbada´

c monotoniczno´

s´

c i wyznaczy´

c ekstrema funkcji:

a) f (x) = x

3

+ x,

b) f (x) = x

√

2 − x,

c) f (x) = (x + 1)

5

x

5

,

d) f (x) = x

4

− 3x

2

− 2x,

e) f (x) = ln

3

x − 3 ln x,

f) f (x) = x

2

−

1

2

ln x,

g) f (x) = x

p

4x − x

2

,

h) f (x) = x

2

− 4arctg x,

i) f (x) = 2x − ln(2x − 3),

j) f (x) = x

2

+ 2 ln(x − 1),

k) f (x) = 4arctg x − ln x.

2. Znale´

z´

c najmniejsz

,

a i najwi

,

eksz

,

a warto´

s´

c funkcji w przedziale:

a) f (x) = 3x

2

− 3x + 4 w h0, 1i,

b) f (x) = x

3

+ 3x

2

− 24x w h0, 5i,

c) f (x) = (x − 2)

2

x

2

w h−2, 3i,

d) f (x) = x

2

e

x

w h−3, 1i,

e) f (x) = ln

2

x − 2 ln x w h1, 7i,

f) f (x) = e

−x

− e

−2x

w h−1, 1i.

3. Zbada´

c wypuk lo´

s´

c funkcji i wyznaczy´

c punkty przegi

,

ecia:

a) f (x) = x

2

e

x

,

b) f (x) = e

−x

2

+4x

,

c) f (x) = (x − 2)e

x

,

d) f (x) = x

4

− 4x

2

,

e) f (x) = e

−x

2

+2x

,

f) f (x) = x ln x.

4. Zbada´

c przebieg zmienno´

sci funkcji:

a) f (x) =

x

2

− 2x + 5

x − 1

,

b) f (x) =

ln x

x

,

c) f (x) =

x

2

− 6x + 25

x − 3

,

d) f (x) =

x

2

− 4x + 8

x − 2

,

e) f (x) =

x

2

− 2x + 2

x − 1

,

f) f (x) =

x

2

+ 4x + 8

x + 2

,

g) f (x) =

x − 1

x

2

− 2x + 5

,

h) f (x) =

x + 1

x

2

+ 2x + 10

,

i) f (x) =

x − 3

x

2

− 6x + 25

,

j) f (x) =

x

ln x

,

k) f (x) =

x − 1

x

2

− 2x + 2

,

l) f (x) =

x + 2

x

2

+ 4x − 5

,

m) f (x) =

x

2

+ 4x − 5

x + 2

,

n) f (x) =

4x

2

x

2

+ 1

,

o) f (x) =

2x

2

x

2

− 1

,

p) f (x) =

x

3

(x + 2)

2

,

r) f (x) =

x

3

− 3x

2x + 2

,

s) f (x) = xarctg x,

t) f (x) = ln(x

2

− 3x + 2),

u) f (x) = ln(x

2

− 4x + 5),

v) f (x) = ln

2x − 4

x + 1

,

w) f (x) = xe

1

x

,

x) f (x) =

e

2x

x − 1

,

y) f (x) =

x + 3

e

x

,

z) f (x) = x

2

e

x

.

5. Rozwi

,

aza´

c zadania 10.73 – 10.113 oraz 13.10 – 13.39 (Krysicki, W lodarski,

Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I ).