Algebra liniowa z geometri¸

a analityczn¸

a

Lista 1: Dzia lania wewn¸

etrzne. Grupy. Permutacje.

1. Narysowa´

c tabelk¸

e dzia lania w zbiorze A = {0, 1, 2, 3, 4}, zdefiniowanego wzorem:

a · b = reszta z dzielenia liczby 2a − 3b przez 4

(dla dowolnych a, b ∈ A).

2. Sprawdzi´

c, czy dzia lanie · w zbiorze A (1) jest przemienne, (2) ma element neutralny, (3)

jest l¸

aczne, je´

sli:

a) A = Z, a · b =

(

0

gdy a + b jest liczb¸

a parzyst¸

a,

1

gdy a + b jest liczb¸

a nieparzyst¸

a

dla dowolnych a, b ∈ A.

b) A = R

2

,

(x

1

, x

2

) · (y

1

, y

2

) = (x

1

+ y

1

, x

2

− y

2

)

dla dowolnych (x

1

, x

2

), (y

1

, y

2

) ∈ R

2

.

3. Ile r´

o˙znych dzia la´

n mo˙zna okre´

sli´

c w zbiorze zawieraj¸

acym:

a) jeden element,

b) n element´

ow?

Ile jest takich dzia la´

n, kt´

ore dodatkowo s¸

a przemienne?

4. Poda´

c przyk lad dzia lania w zbiorze A = {a, b, c}, kt´

ore

a) jest przemienne ale nie jest l¸

aczne,

b) jest l¸

aczne ale nie jest przemienne,

c) jest przemienne i l¸

aczne,

d) nie jest przemienne i nie jest l¸

aczne,

e) ma element neutralny i jest przemienne,

f) ma element neutralny i nie jest przemienne,

g) ma element neutralny i ka˙zdy element posiada odwrotno´

s´

c.

5. Niech G b

,

edzie zbiorem wszystkich funkcji f : R → R postaci f (x) = ax + b, gdzie a, b ∈ R

i a 6= 0.

a) Udowodni´

c, ˙ze G ze sk ladaniem funkcji jako dzia laniem tworzy grup

,

e.

b) W grupie G obliczy´

c (5x + 3)

−1

◦ (3x + 2).

6. W zbiorze G = {r ∈ R : 0 ≤ r < 1} okre´slono dzia lanie

r

1

· r

2

=



r

1

+ r

2

je˙zeli r

1

+ r

2

< 1

r

1

+ r

2

− 1

je˙zeli r

1

+ r

2

≥ 1

a) Udowodni´

c, ˙ze G z dzia laniem · tworzy grup

,

e.

b) W grupie G obliczy´

c

3
4

· (

5
9

)

−1

.

7. Dla permutacji σ = (

1 2 3 4 5 6

3 4 2 5 6 1

) i τ = (

1 2 3 4 5 6

2 6 5 4 3 1

) obliczy´

c:

a) στ ,

b) τ σ,

c) σ

4

,

d) τ

−1

,

e) σ

−3

τ

2

σ

2

,

f) τ

2008

.

8. Poni˙zsze permutacje zapisa´

c w postaci iloczynu (1) cykli roz l¸

acznych, (2) transpozycji:

a) (

1 2 3 4 5 6 7

3 5 6 7 4 1 2

),

b) (

1 2 3 4 5 6 7 8

1 8 7 6 3 4 5 2

),

c) (

1 2 3 4 5 6 7

6 5 7 2 1 3 4

),

d) (

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 7 2 8 9 1 6 3 5

).

9. Niech σ = (

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4 7 6 5 1 9 2 3 8

). Wyznaczy´

c permutacj

,

e τ zbioru {1, 2, . . . , 8, 9} tak

,

a, ˙ze

σ

−26

τ σ = (

1 2 3 4 5 6 7 8 9
9 1 4 2 6 5 3 8 7

).

10. Okre´

sli´

c parzysto´

s´

c permutacji:

a) (

1 2 3 4 5 6 7

5 6 4 7 2 1 3

),

b) (

1 2 3 4 5 6 7 8

3 5 2 1 6 4 8 7

),

c) (

1 2 3 4 5 6 7

2 4 1 7 6 5 3

),

d) (

1

2

3

... n−2 n−1 n

n n−1 n−2 ...

3

2

1

),

e) (

1 2

3

4 ... n−1 n

n 1 n−1 2 ...

...

...

).

11. Niech (G, ·) b¸edzie grup¸

a z elementem neutralnym e tak¸

a, ˙ze a

2

= e dla ka˙zdego a ∈ G.

Pokaza´

c, ˙ze G jest grup¸

a abelow¸

a.

12. Niech · b¸edzie dzia laniem w zbiorze liczb rzeczywistych R takim, ˙ze

(a · b) · c = a + b + c dla dowolnych liczb a, b, c ∈ R.

Udowodni´

c, ˙ze dzia lanie · jest zwyk lym dodawaniem, tzn. a · b = a + b dla dowolnych a, b ∈ R.

1