Pole elektryczne

2

Pole elektryczne

Prawo Coulomba (XVII wiek)

•

Mo

ż

na sprawdzi

ć

do

ś

wiadczalnie,

ż

e ciała naelektryzowane

jednoimiennie odpychaj

ą

si

ę

, a ciała naelektryzowane ró

ż

noimiennie

przyci

ą

gaj

ą

.

•

Prawo to zostało sformułowane ilo

ś

ciowo przez Coulomba w 1785 r.

•

Siła oddziaływania jest proporcjonalna do iloczynu ładunków

Q

1

,

Q

2

i

odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległo

ś

ci pomi

ę

dzy nimi

r

, czyli

gdzie

ε

jest przenikalno

ś

ci

ą

elektryczn

ą

bezwzgl

ę

dn

ą ś

rodowiska.

2

2

1

4

r

Q

Q

F

πε

=

+

F

F

F

1

Q

2

Q

r

+

3

Pole elektryczne

Prawo Coulomba

•

Przenikalno

ść

elektryczna bezwzgl

ę

dna charakteryzuje własno

ś

ci

dielektryczne. Przyjmuje si

ę

•

Wzór na sił

ę

przyci

ą

gania w zapisie wektorowym ma posta

ć

r

wektor ł

ą

cz

ą

cy oba ładunki

r

ε

ε

=

ε

0

F/m

10

9

4

1

9

0

⋅

⋅

π

=

ε

przenikalno

ść

elektryczna pró

ż

ni

przenikalno

ść

elektryczna wzgl

ę

dna

(dla gazów bliska jedno

ś

ci)

r

ε

3

2

1

4

r

Q

Q

πε

=

r

F

4

Pole elektryczne

Pole elektryczne

•

Stosunek siły działaj

ą

cej na ładunek próbny do

warto

ś

ci tego ładunku jest warto

ś

ci

ą

stała i jest

nazywane nat

ęż

eniem pola elektrycznego

•

Nat

ęż

enie pola elektrycznego wywołanego

ładunkiem punktowym o warto

ś

ci

Q

• Dodawanie pola elektrycznego

• Pole elektryczne zależy od własności środowiska

F

Q

q

1

E

2

E

3

E

E

0

→

=

q

q

F

E

3

4

r

Q

r

o

ε

πε

=

r

E

...

3

2

1

+

+

+

=

E

E

E

E

m

V

C

N

]

[

=

=

E

5

Pole elektryczne

Indukcja elektryczna

Rozwa

ż

my płytk

ę

metalow

ą

umieszczon

ą

w

polu elektrycznym.

Płytka jest prostopadła do kierunku pola
elektrycznego

Indukcja elektryczna

=

D

g

ę

sto

ść

powierzchniowa ładunku

indukowanego na płytce

E

D

kierunek

kierunek

=

6

Pole elektryczne

Indukcja elektryczna

Indukcja elektryczna nie zale

ż

y od własno

ś

ci

ś

rodowiska

Całkowity ładunek zaindukowany na
wewn

ę

trznej powierzchni ma

warto

ść

Q

3

2

2

4

m

C

]

[

4

r

Q

D

r

Q

D

π

=

=

π

=

r

D

E

D

ε

=

7

Pole elektryczne

Strumień indukcji elektrycznej

Całka powierzchniowa wektora opisuj

ą

cego pole

wektorowe nazywana jest strumieniem wektora
przenikaj

ą

c

ą

dan

ą

powierzchni

ę

[kulomb]

C

]

[

cos

=

Ψ

α

=

⋅

=

Ψ

∫

∫

A

A

dA

D

dA

D

A

D

⋅

=

Ψ

Pole jednorodne o kierunku prostopadłym do A

8

Pole elektryczne

Strumień indukcji elektrycznej

Q

r

r

Q

A

D

=

π

⋅

π

=

⋅

=

Ψ

2

2

4

4

Pole elektryczne indukowane przez ładunek punktowy

Twierdzenie Gaussa: Strumie

ń

indukcji

elektrycznej przenikaj

ą

cy powierzchni

ę

zamkni

ę

t

ą

jest równy sumie ładunków obj

ę

tych

t

ą

powierzchni

ą

∑

=

Ψ

i

i

Q

9

Pole elektryczne

Zastosowanie twierdzenia Gaussa

σ

⋅

=

S

Q

- g

ę

sto

ść

powierzchniowa ładunku

σ

ES

S

D

Q

ε

=

⋅

=

=

Ψ

2

2

ε

σ

=

2

E

Pole elektryczne indukowane przez naładowan

ą

niesko

ń

czon

ą

płytk

ę

metalow

ą

10

Pole elektryczne

Zastosowanie twierdzenia Gaussa

Pole elektryczne indukowane przez dwie naładowane
ró

ż

noimiennie niesko

ń

czone płytki metalowe

Z zasady superpozycji

0

=

ε

σ

=

E

E

pomi

ę

dzy płytkami

na zewn

ą

trz płytek

11

Pole elektryczne

Zastosowanie twierdzenia Gaussa

Pole elektryczne indukowane przez naładowany niesko

ń

czony

przewód prostoliniowy

l

τ

g

ę

sto

ść

liniowa ładunku

τ

l

r

S

l

Q

⋅

π

=

τ

⋅

=

2

rl

E

S

D

l

Q

π

⋅

ε

=

⋅

=

⋅

τ

=

=

Ψ

2

r

E

πε

τ

=

2

12

Pole elektryczne

Pole elektryczne w przewodnikach

E

E

J

ρ

=

γ

=

1

E

S

I

J

ES

l

S

E

l

I

S

l

R

R

U

I

l

E

U

ρ

=

=

ρ

=

ρ

=

ρ

=

=

⋅

=

1

13

Pole elektryczne

Przewodnik w polu elektrycznym - stan ustalony

•

Linie pola elektrycznego
prostopadłe do powierzchni
przewodnika

•

Potencjał na powierzchni
przewodnika jest jednakowy

•

Wewn

ą

trz przewodnika pole

elektryczne jest zerowe

14

Pole elektryczne

Pole elektryczne w dielektrykach

•

Pod wpływem zewn

ę

trznego pola elektrycznego nast

ę

puje niewielkie

przemieszczenie ładunków w obr

ę

bie pojedynczego atomu

•

Przemieszczenie jest elastyczne i ust

ę

puje po ust

ą

pieniu pola

elektrycznego

•

Cz

ą

steczka dielektryka w polu elektryczny zachowuje si

ę

jak dipol - układ

zło

ż

ony z dwóch ładunków ró

ż

noimiennych, mi

ę

dzy którymi jest niewielka

odległo

ść

15

Pole elektryczne

Pole elektryczne w dielektrykach

•

W wyniku działania wielu dipoli nast

ę

puj

ą

zjawisko zwane polaryzacj

ą

elektryczn

ą

•

Na płytce dielektryka umieszczonego w polu elektrycznym na powierzchni
pojawiaj

ą

si

ę

ładunki elektryczne

Wewn

ą

trz dielektryka

nat

ęż

enie pola

elektrycznego jest
mniejsze o

r

ε

16

Pole elektryczne

Pole elektryczne w dielektrykach

E

D

l

U

E

o

ε

=

=

E

D

l

U

E

r

o

ε

ε

=

=

Na płytkach, wewn

ą

trz których znajduje si

ę

dielektryk zgromadzi si

ę

razy wi

ę

cej

ładunku ni

ż

na płytkach, pomi

ę

dzy którymi znajduje si

ę

pró

ż

nia

r

ε

17

Pole elektryczne

Kondensator

•

Kondensator tworz

ą

dwa przewodniki zwane okładzinami lub elektrodami

rozdzielone dielektrykiem lub powietrzem

•

Je

ś

li do okładzin doprowadzone zostanie doprowadzone napi

ę

cie, to na

okładzinach zgromadz

ą

si

ę

ładunki, na jednej dodatni a na drugiej ujemny

•

Stwierdzono do

ś

wiadczalnie,

ż

e zgromadzony ładunek jest wprost

proporcjonalny do przyło

ż

onego napi

ę

cia

•

Współczynnik proporcjonalno

ś

ci

C

nazywamy pojemno

ś

ci

ą

kondensatora

U

C

Q

⋅

=

[farad]

F

V

C

]

[

=

=

C

18

Pole elektryczne

Pojemność kondensatora płaskiego

Je

ż

eli odległo

ść

pomi

ę

dzy okładzinami

jest mała, to mo

ż

na przyj

ąć

,

ż

e pole

elektryczne jest stałe

d

U

E

=

S

Q

E

S

Q

E

⋅

ε

=

⇒

=

σ

ε

σ

=

,

d

S

U

Q

C

⋅

ε

=

=

19

Pole elektryczne

Pojemność kondensatora cylindrycznego

Przekrój poprzeczny kondensatora

Nat

ęż

enie pola elektrycznego w

odległo

ś

ci r od osi kondensatora

rl

Q

E

πε

=

2

1

r

2

r

l

promie

ń

okładziny zewn

ę

trznej

promie

ń

okładziny wewn

ę

trznej

wysoko

ść

kondensatora

Strumie

ń

przenikaj

ą

cy powierzchni

ę

walcow

ą

o promieniu r

Q

rl

E

S

D

=

π

⋅

ε

=

⋅

=

Ψ

2

Napi

ę

cie mi

ę

dzy okładzinami

1

2

1

2

ln

2

)

ln

(ln

2

2

1

r

r

l

Q

r

r

l

Q

Edr

U

r

r

πε

=

−

πε

=

=

∫

Pojemno

ść

kondensatora

1

2

ln

2

r

r

l

U

Q

C

πε

=

=

1

r

2

r

r

+Q

-Q

E

l

20

Pole elektryczne

Równoległe połączenie kondensatorów

U

C

Q

i

i

=

Całkowity ładunek

∑

∑

=

=

i

i

i

i

C

U

Q

Q

∑

=

i

i

C

C

Ładunek na kondensatorze

21

Pole elektryczne

Szeregowe połączenie kondensatorów

i

i

C

Q

U

=

C

Q

C

Q

U

U

i

i

i

i

=

=

=

∑

∑

1

∑

=

i

i

C

C

1

1

22

Pole elektryczne

Energia pola elektrycznego w kondensatorze

•

Proces ładowania kondensatora zwi

ą

zany jest z wydatkowaniem energii

•

Energia ta gromadzona jest w polu elektrycznym kondensatora

Energia zgromadzona w kondensatorze

C

t

q

t

u

C

)

(

)

(

=

C

U

C

Q

dq

C

q

dq

dt

t

i

C

q

t

u

W

Q

T

C

2

2

0

0

2

1

2

1

)

(

)

(

=

=

=

=

∫

∫









)

0

)

0

(

(

=

C

u

)

(T

q

Q

=

23

Pole elektryczne

Energia pola elektrycznego w kondensatorze

Ładunek zgromadzony w kondensatorze

t

I

t

q

⋅

=

)

(

C

t

I

C

q

t

u

⋅

=

=

)

(

Energia zgromadzona w kondensatorze po
upływie czasu T

2

)

(

2

2

0

2

0

T

C

I

tdt

C

I

Idt

t

u

W

T

T

=

=

=

∫

∫

C

T

I

T

u

⋅

=

)

(

C

U

C

Q

W

2

2

2

1

2

1

=

=

24

Pole elektryczne

Przykład

1

ε

2

ε

1

d

2

d

U

S

d

S

d

C

C

C

2

2

1

1

2

1

1

1

1

ε

+

ε

=

+

=

2

1

1

2

2

1

d

d

S

C

ε

+

ε

ε

ε

=

1

C

2

C

25

Pole elektryczne

Przykład - pojemność metalowej kuli

R

r

2

2 r

E

S

D

Q

π

⋅

ε

=

⋅

=

=

Ψ

Strumie

ń

przenikaj

ą

cy powierzchni

ę

sferyczn

ą

o promieniu r

Potencjał kuli wzgl

ę

dem punktu w

niesko

ń

czono

ś

ci

R

Q

r

Q

dr

r

Q

Edr

V

R

R

R

πε

=

πε

−

=

πε

=

=

∞

∞

∞

∫

∫

2

2

2

2

2

2

r

Q

E

πε

=

Pojemno

ść

kuli

R

U

Q

C

πε

=

=

2

Q

26

Pole elektryczne

Gęstość energii pola elektrycznego

d

S

W

V

W

w

⋅

=

=

V

- obj

ę

to

ść

dielektryka

d

E

U

d

S

C

C

U

W

⋅

=

⋅

ε

=

=

,

,

2

1

2

D

E

E

d

S

d

S

d

E

w

⋅

=

ε

=

⋅

⋅

⋅

ε

⋅

=

2

1

2

1

1

)

(

2

1

2

2

27

Pole elektryczne

Ładowanie kondensatora

dt

du

C

dt

dq

i

C

q

u

u

iR

E

=

=

=

+

=

,

,

u

dt

du

RC

E

+

=

0

)

0

(

,

,

=

u

i

u

Zmienne w czasie napi

ę

cie i nat

ęż

enie pr

ą

du

Oznaczaj

ą

c dostajemy

E

u

x

−

=

RC

t

e

k

x

x

dt

dx

RC

−

⋅

=

⇒

=

+

0

Chwila zerowa

E

k

E

E

u

x

−

=

⇒

−

=

−

=

)

0

(

)

0

(

28

Pole elektryczne

Ładowanie kondensatora















−

=

−

RC

t

e

E

u

1

29

Pole elektryczne

Rozładowanie kondensatora

u

dt

du

C

i

R

i

u

−

=

⋅

=

,

0

=

+

u

dt

du

RC

RC

t

e

U

u

−

=

0

30

Pole elektryczne

Rodzaje kondensatorów

ceramiczne

tantalowe - anoda ze spiekanego tantalu
pokrytego warstw

ą

tlenku tantalu

elektrolityczne - elektroda to aluminiowa folia
pokryta tlenkiem glinu, druga elektroda to
elektrolot

powietrzne

papierowe

foliowe

31

Pole elektryczne

Zastosowanie kondensatorów

•

rozruch silników jednofazowych

•

kompensacja mocy biernej

•

układy elektroniczne: filtry, generatory, układy impulsowe

•

wygładzanie napi

ęć

w zasilaczach

•

redukcja zakłóce

ń

32

Pole elektryczne

Najważniejsze jednostki

Wielkość fizyczna

Typowe

oznaczenie

Wzór

Jednostka

Oznaczenie

jednostki

Natężenie pola
elektrycznego

E , E

q

F

E

=

volt na metr

m

V

Ładunek elektryczny

Q

t

I

Q

⋅

=

kulomb

C

Indukcja elektryczna

D

D,

E

D

ε

=

kulomb na

metr kwadrat

2

m

C

Strumień indukcji
elektrycznej

Ψ

∫

⋅

A

dA

D

kulomb

C

Pojemność elektryczna

C

U

Q

C

=

farad

F