1

Statystyczna interpretacja

wyników eksperymentu

Małgorzata Jakubowska

Katedra Chemii Analitycznej

Wydział In

ż

ynierii Materiałowej i Ceramiki AGH

Podstawowe zadanie statystyki

Statystyka

to uniwersalne i łatwo dostępne

narzędzie, które pomaga konwertować wyniki
eksperymentu na wiedzę o badanym obiekcie lub
procesie.

Poważnym błędem jest pominięcie analizy
statystycznej tam, gdzie jest ona potrzebna.

Zalety statystyki

Tworzenie zwartej i treściwej reprezentacji danych:

• dysponujemy nowoczesną aparaturą, która w krótkim czasie

dostarcza znacznej ilości wyników

• wyniki te należy przekształcić w użyteczną informację

• człowiek może brać pod uwagę jedynie ograniczoną liczbę

faktów

• statystyka pomaga zrozumieć dane, wydobyć z nich użyteczną

informację i przekształcić ją w wiedzę

Zalety statystyki II

Wnioskowanie w oparciu o niepewne dane:

• dane eksperymentalne są niepewne np. z powodu błędów

pomiarowych,

niejednorodności

badanego

obiektu,

niedoskonałości modeli stosowanych do interpretacji

• eksperymentatora interesują wnioski pewne

• statystyka pozwala wyeliminować lub ograniczyć niektóre

czynniki zmienności

• wynik podawany jest wraz z oszacowaniem niepewności

Zalety statystyki III

Przekształcanie danych do postaci użytecznej w

rozwiązywaniu postawionego zadania:

• informacja zawarta jest w danych w postaci „uwikłanej”

• surowe dane należy przekształcić do formy przydatnej w

rozwiązywanym problemie

• stosujemy modele dobrze zdefiniowane i często łatwo

dostępne w systemach analizy danych

• zastosowanie adekwatnego modelu pozwala uzyskać

odpowiedź na postawione pytanie

Niebezpieczeństwa

stosowania statystyki

Nieumiejętne stosowanie metod statystycznych polega na:
• użyciu niewłaściwych pojęć i modeli, które nie są uzasadnione

teoretycznie i źle reprezentują dane

• ograniczaniu warstwy informacyjnej poprzez zastosowanie

zbyt daleko idących uproszczeń

• zbyt kategorycznym formułowaniu wniosków w oparciu o

niepewne dane

• uruchamianiu procedur komputerowych bez istotnej wiedzy o

ich działaniu

• niewłaściwej prezentacji danych
• celowym ukrywaniu faktów np. dużego rozrzutu danych

eksperymentalnych poprzez podanie jedynie wartości średniej

2

Podstawowe wymogi warunkujące

miarodajność wyników

• reprezentatywność próbki (próbka musi wiernie
odzwierciedlać skład chemiczny całego badanego obiektu)

• jednorodność próbki (bardzo istotne, gdy niski poziom analitu
lub mała masa próbki pobranej do analizy)

• selektywność metody analitycznej (niezależności wyniku od
wpływu składników matrycy)

• losowość wyników (test znaków różnic, test trendu)

Analiza danych

eksperymentalnych

Przyczyny niepewności wyników eksperymentu:

• błędy grube

• błędy systematyczne

• błędy przypadkowe

Wszystkie wyniki pomiarów, włączając te uzyskane instrumentem

o bardzo dużej precyzji i przy wysokiej dbałości eksperymentalnej,

nie są dokładne, lecz mają przybliżony charakter.

Błąd gruby

• wynika z niedbałości lub ewidentnej pomyłki eksperymentatora,

wyraźnej

niesprawności

sprzętu

albo

nieoczekiwanego

zaburzenia układu pomiarowego

• objawia się istnieniem jednego wyniku znacząco odstającego od

pozostałych, uzyskanych w danej serii pomiarów

• wynik pomiaru obarczony błędem grubym jest zazwyczaj łatwo

zauważalny i należy go odrzucić (wyeliminować) lub posłużyć się
odpowiednim testem

• ostateczny wynik nie powinien być obciążony wpływem błędu

grubego.

Błąd gruby – test Deana Dixona

• W wyniku kilkakrotnie przeprowadzonej analizy uzyskujemy szereg

wyników najczęściej różniących się między sobą.

• Stwierdzamy, że jeden z wyników znacznie różni się od pozostałych.

• Musimy zdecydować czy należy go odrzucić.

• Decyzja o odrzuceniu wyniku powinna opierać się na przesłankach

statystycznych.

• W tym celu stosujemy jeden z testów, np. test Deana Dixona.

Błąd gruby – test Deana Dixona

Obliczamy parametr Q według wzoru:

R

y

y

Q

1

2

−

=

gdzie y

1

- wynik wątpliwy, y

2

- wynik mu najbliższy, R - rozrzut wyników.

Wartości krytyczne parametru Q testu Deana Dixona

Poziom ufności 1-

αααα

Liczba

wyników

0.90

0.95

0.98

0.99

3

0.886

0.941

0.972

0.988

4

0.679

0.765

0.846

0.889

5

0.557

0.642

0.729

0.760

6

0.482

0.560

0.644

0.698

7

0.434

0.507

0.586

0.637

8

0.399

0.468

0.543

0.590

9

0.370

0.437

0.510

0.555

10

0.349

0.412

0.483

0.527

Wynik wątpliwy należy
odrzucić, jeżeli obliczony
parametr Q jest większy
od odczytanej z tablicy
krytycznej wartości dla
wybranego poziomu
istotności.

Błąd systematyczny

• błąd polegający na stałym lub zmiennym, systematycznym odchyleniu

wyniku pomiaru od rzeczywistej wartości wielkości mierzonej

• przesunięcie wyniku następuje zwykle w tę sama stronę

• dowolna liczba powtórzeń pomiaru nie ujawni nieprawidłowości

• przyczyny:

nieprawidłowe

ustawienia

przyrządu

pomiarowego,

niewystarczająca czystość

chemiczna, periodyczne zaburzenia układu

pomiarowego czynnikami zewnętrznymi, niedoskonała standaryzacja lub
kalibracja, błąd obsługi, niedoskonała procedura pomiarowa

• błąd ten eliminuje się zmieniając przyrząd na pozbawiony wady lub

kontrolując tok postępowania oraz warunki, w których wykonywany jest
pomiar

• czasami daje się skorygować wynik numerycznie po pomiarze

• metody statystyczne nie mają tu zastosowania.

3

Rodzaje błędów systematycznych

stały

B

ł

ą

d

Warto

ść

mierzona

proporcjonalny

0.0

Warto

ść

mierzona

złożony

0.0

Warto

ść

mierzona

W

a

rt

o

ś

ć

m

ie

rz

o

n

a

Zmienna niezale

ż

na

Zmienna niezale

ż

na

0.0

0.0

0.0

0.0

Zmienna niezale

ż

na

Błędy przypadkowe

• powstaje na skutek działania czynników losowych

• jest miarą rozrzutu otrzymywanych wyników wokół wartości najbardziej

prawdopodobnej.

• jego obecność powoduje niemożność uzyskania jednakowych wartości wyników

w danej serii pomiarowej (przy założeniu, że są mierzone z wystarczającą ilością
miejsc znaczących)

• źródłami błędów losowych są wszelkie zmienności występujące w sposób

przypadkowy w toku procesu analitycznego (czynniki zewnętrzne, właściwości
obiektu pomiarowego, niestabilna praca urządzeń)

• błędu przypadkowego w zasadzie nie da się wyeliminować ani skorygować a

także nie da się go oszacować przed dokonaniem pomiaru

• staramy się tak zaprojektować i przeprowadzić pomiar, aby wartość błędu

przypadkowego była jak najmniejsza

• po zakończeniu pomiaru dokonujemy oceny (oszacowania) wielkości błędu

losowego przy użyciu narzędzi statystycznych.

Błędy przypadkowe

Tablica Galtona
– model procesu
pomiaru

Błędy przypadkowe -

modelowanie

Wykonujemy pomiar wielkości x, czyli spuszczamy kulkę na tablicy Galtona.
Najmniejsza działka naszego przyrządu pomiarowego równa jest odległości między
kołeczkami w rzędzie. Następujące relacje określają związki pomiędzy rzeczywistym
i modelowanym pomiarem:

Proces pomiaru

→

ruch kulki na tablicy

Błędy pomiarowe

→

przemieszczenia poziome kulki

Wynik pomiaru

→

numer przegródki, do której trafi

ł

a kulka

1. Błędy przypadkowe obecne są w każdym pomiarze - spadające kulki zawsze
ulegają zderzeniom z kołeczkami.
2. Błąd przypadkowy pomiaru można rozpatrywać jako sumę bardzo dużej liczby
małych, jednakowych błędów elementarnych - końcowe przemieszczenie kulki jest
sumą dużej liczby ma

ł

ych, jednakowych przemieszczeń.

3. B

ł

ę

dy elementarne występują z jednakowym prawdopodobieństwem ze znakiem

plus i minus - prawdopodobieństwa odchyleń w prawo i w lewo są takie same.

Rozkład normalny

2

2

2

)

(

2

1

)

(

σ

µ

π

σ

ϕ

−

−

=

x

e

x

µ

- wartość oczekiwana

σ

2

- wariancja zmiennej

losowej

π

σ

2

1

max

=

y

Estymacja punktowa

Estymator – parametr obliczony z próby celem uzyskania

informacji o parametrach populacji generalnej.

Estymacja punktowa - wyznaczamy z próby tylko niektóre

parametry (punkty) rozkładu, a nie cały rozkład, np.
dystrybuantę lub gęstość rozkładu. Nie potrafimy podać
dokładności uzyskanej oceny.

4

Estymacja punktowa

Estymatory wartości centralnej:

•średnia arytmetyczna
•mediana
•moda
•średnia ważona

Estymatory rozrzutu wyników:

•odchylenie standardowe
•wariancja
•względne odchylenie standardowe
•współczynnik zmienności

Estymacja punktowa

Medianą dla n wyników y

1

, y

2

,...,y

n

uporządkowanych według

wielkości jest wartość leżąca w środku.

n

y

y

n

i

i

∑

=

=

1

Niech n oznacza liczebność próby czyli liczbę pomiarów.

Średnia arytmetyczna w próbie n wyników y

1

, y

2

,...,y

n

:

Estymacja punktowa

Wariancja zmiennej losowej

Odchylenie standardowe

Względne odchylenie standardowe

Współczynnik zmienności

1

)

(

1

2

2

−

−

=

∑

=

n

y

y

S

n

i

i

2

S

S

=

y

S

RSD

=

%

100

∗

=

RSD

CV

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa pozwala na oszacowanie wartości parametru
jakiegoś rozkładu oraz podanie dokładności, z jaką to oszacowanie
wykonano.

Przedziałem ufności (ang. confidence interval) dla parametru y na poziomie

ufności (1-

α

αα

α

) nazywamy przedział (y

1

, y

2

) spełniający następujące warunki:

• jego końce y

1

i y

2

są funkcjami próby i nie zależą od szacowanego parametru

• prawdopodobieństwo pokrycia przez ten przedział nieznanego parametru y

jest równe (1-

α

αα

α

), co zapisujemy w postaci:

P(y

1

< y < y

2

)=1-

α

αα

α

gdzie

α

αα

α

jest ustalonym z góry prawdopodobieństwem.

Stosuje się następującą terminologię:

α

αα

α

poziom istotności

1-

α

αα

α

poziom ufności (ang. confidence level)

Estymacja przedziałowa

Przedział ufności dla średniej rozkładu normalnego o nieznanej
wariancji:

CI

y

y

CI

y

+

<

<

−

gdzie

n

S

t

CI

α

=

t

α

- α-procentowa wartość t, którą odczytuje się z tablic t - Studenta

przy poziomie ufności 1-α oraz n-1 stopniach swobody.

Poziom istotności

α

wynosi najczęściej 0.05 lub 0.01.

Estymacja przedziałowa

Przedział ufności z zadanym z góry prawdopodobieństwem (1 - α) pokrywa
prawdziwą wartość parametru

y

.

Wartości funkcji t - Studenta w zależności od poziomu istotności i liczby stopni swobody

Poziom ufności 1-

αααα

Liczba stopni

swobody n-1

0.90

0.95

0.99

0.999

1

6.314

12.706

63.657

636,619

2

2.920

4.303

9.925

31.598

3

2.353

3.182

5.841

12.941

4

2.132

2.776

4.604

8.610

5

2.015

2.571

4.032

6.859

6

1.943

2.447

3.707

5.959

7

1.895

2.365

3.499

5.405

8

1.860

2.306

3.355

5.041

9

1.833

2.262

3.250

4.781

10

1.812

2.228

3.169

4.587

15

1.753

2.131

2.947

4.073

20

1.725

2.086

2.845

3.850

5

Testowanie hipotez

Badacz precyzuje swój problem i wyraża go w formie pewnej
hipotezy.

Dzieje się to przed zaplanowaniem i wykonaniem doświadczenia.

Samo doświadczenie ma służyć

do sprawdzenia słuszności

postawionej hipotezy.

Metody weryfikowania hipotez nazywamy testami istotności.

Test istotności F w przypadku

różnicy dwóch wariancji

Zmienna losowa y

1

ma rozkład normalny z nieznaną średnią

µ

1

i

odchyleniem standardowym

σ

1

, zmienna y

2

ma rozkład normalny z

parametrami

µ

2

i

σ

2

.

Test istotności F sprawdza czy wariancja pierwszej populacji jest
równa wariancji drugiej populacji. Dla zweryfikowania hipotezy o
równości wariancji korzystamy z funkcji testowej postaci:

oraz

n

1

i n

2

oznaczają liczebność pierwszej i drugiej próby

S

1

2

i S

2

2

oznaczają wariancje pierwszej i drugiej próby

2

2

2

1

0

S

S

F

=

2

2

2

1

S

S

>

Test istotności F w przypadku

różnicy dwóch wariancji

Odpowiednią wartość graniczną F odczytuje się z tablic F przy n

1

-1 i

n

2

-1 stopniach swobody.

Jeżeli F

0

jest większe od wartości krytycznej to hipotezę

odrzucamy.

Test istotności oparty na funkcji F może służyć do porównywania
precyzji dwóch metod lub do porównania precyzji dwóch zbiorów
liczbowych, będących wynikiem stosowania tej samej metody w
odmiennych warunkach lub przez różnych pracowników.

Test istotności t w przypadku

różnicy dwóch średnich

Zmienna losowa y

1

ma rozkład normalny z nieznaną średnią

µ

1

i

odchyleniem standardowym

σ

, zmienna y

2

ma rozkład normalny ze

ś

rednią

µ

2

i tym samym odchyleniem standardowym

σ

.

Dla zweryfikowania hipotezy o równości średnich korzystamy z
funkcji testowej postaci:

n

1

, n

2

oznaczają liczebność pierwszej i drugiej próby

oznaczają średnie arytmetyczne pierwszej i drugiej próby

S oznacza wariancję

)

1

1

(

2

)

1

(

)

1

(

2

1

2

1

2

2

2

2

1

1

2

1

0

n

n

n

n

S

n

S

n

y

y

t

+

−

+

−

+

−

−

=

2

1

, y

y

Test istotności t w przypadku

różnicy dwóch średnich

Ilość stopni swobody n

1

+n

2

-2 wskazuje ten wiersz w tablicy t

Studenta, z którego przy obranym ryzyku błędu

α

=0.05 lub

α

=0.01

odczytuje się wartość krytyczną t

0.05

lub t

0.01

.

Jeżeli

α

=0.05 oraz okaże się, że t

0

jest większe od t

0.05

, to hipotezę

odrzucamy z 5-procentowym ryzykiem błędu i wnioskujemy o
istotnej różnicy między średnimi prób.

Regresja liniowa

Regresja liniowa
metodą
najmniejszych
kwadratów

6

Regresja liniowa

0

10

20

30

40

50

60

70

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

y = 0.00998x + 0.033
r = 0.9987

W

y

so

k

o

ś

ć

p

ik

u

[

µ

A

]

Stężenie [

µ

M]

Metoda najmniejszych

kwadratów

Minimalizacja wyrażenia:

∑

=

+

−

=

∆

n

i

i

i

bx

a

y

1

2

))

(

(

Przyrównujemy do zera
pochodne cząstkowe:

a

∂

∆

∂

b

∂

∆

∂

oraz

Regresja liniowa

x

xy

Q

Q

b

=

x

b

y

a

−

=

n

x

x

x

x

Q

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

2

1

1

2

1

2

)

(

)

(

∑

∑

∑

=

=

=

−

=

−

=

y

x

n

y

x

n

y

x

y

x

y

y

x

x

Q

n

i

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

i

n

i

i

i

xy

−

=

−

=

−

−

=

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

1

1

1

1

1

)

)(

(

x

y

,

- średnie arytmetyczna wartości x

i

oraz y

i

Przedstawianie bł

ę

dów pomiarowych

i zaokr

ą

glanie wyników

Przedstawianie bł

ę

dów pomiarowych

i zaokr

ą

glanie wyników

W ogólnym przypadku wynik pomiaru przedstawiamy w postaci:

X

R

= X

M

±

∆

X

gdzie:

X

R

- warto

ść

rzeczywista wielko

ś

ci mierzonej,

X

M

- warto

ść

uzyskana w wyniku pomiaru,

∆

X

- niepewno

ść

lub bł

ą

d pomiaru.

Powy

ż

szy zapis oznacza,

ż

e:

najlepszym przybli

ż

eniem warto

ś

ci mierzonej jest według

eksperymentatora liczba X

M

z rozs

ą

dnym prawdopodobie

ń

stwem szukana warto

ść

znajduje

si

ę

gdzie

ś

pomi

ę

dzy X

M

-

∆

X i X

M

+

∆

X.

Przedstawianie bł

ę

dów pomiarowych

i zaokr

ą

glanie wyników II

wynik X

M

oraz bł

ą

d pomiaru

∆

X s

ą

wielko

ś

ciami szacowanymi

nie ma wi

ę

c sensu podawa

ć

wszystkich cyfr, które otrzymujemy

z oblicze

ń

obliczone warto

ś

ci X

M

i

∆

X podajemy zaokr

ą

glone

oznacza to,

ż

e przybli

ż

amy warto

ś

ci otrzymane z oblicze

ń

.

Przedstawianie bł

ę

dów pomiarowych

i zaokr

ą

glanie wyników II

cyframi znacz

ą

cymi danej liczby ró

ż

nej od zera nazywamy

wszystkie jej cyfry z wyj

ą

tkiem wyst

ę

puj

ą

cych na pocz

ą

tku zer

do cyfr znacz

ą

cych zalicza si

ę

równie

ż

zera ko

ń

cowe, je

ś

li s

ą

one wynikiem oblicze

ń

, a nie zaokr

ą

gle

ń

oznacza to,

ż

e pierwsza cyfra znacz

ą

ca musi by

ć

ró

ż

na od zera,

natomiast druga, trzecia i dalsze mog

ą

by

ć

zerami.

7

Przedstawianie bł

ę

dów pomiarowych

i zaokr

ą

glanie wyników III

obliczenia wykonujemy zawsze z wi

ę

ksz

ą

liczb

ą

cyfr, ni

ż

chcemy poda

ć

wynik

zaokr

ą

gle

ń

dokonujemy dopiero po zako

ń

czeniu oblicze

ń

oszacowane bł

ę

dy zaokr

ą

glamy zawsze w gór

ę

, poniewa

ż

w

ż

adnym przypadku nie wolno pomniejsza

ć

bł

ę

dów. Zawsze

lepiej poda

ć

zawy

ż

on

ą

warto

ść

bł

ę

du ni

ż

go niedoszacowa

ć

;

bł

ę

dy pomiarów zaokr

ą

glane s

ą

do pierwszej cyfry znacz

ą

cej

(wyj

ą

tek: 1, 2)

przy zaokr

ą

glaniu wyniku pomiaru stosowane s

ą

powszechnie przyj

ę

te zasady zaokr

ą

gle

ń

: liczb

ę

ko

ń

cz

ą

c

ą

si

ę

cyframi 0-4 zaokr

ą

glamy w dół, a 5 - 9 w gór

ę

ostatnia cyfra znacz

ą

ca w ka

ż

dym wyniku pomiaru powinna

sta

ć

na tym samym miejscu dziesi

ę

tnym, co bł

ą

d pomiaru.

Dziękuję za uwagę!