Wykład 3 (22 X 2009)

Liczby zespolone — rozszerzenie.
Pierwiastki wielomianów.

Treść wykładu.

Wielomiany, pierwiastki wielomianów.

Twierdzenie o istnieniu zespolonego pierwiastka dowolnego wielomianu o współczynnikach zespolonych.
Rozkład wielomianu na czynniki liniowe.
Pierwiastki wielomianów o współczynnikach rzeczywistych. Rozkład wielomianu o współczynnikach rze-
czywistych.
Pierwiastki wielomianów stopnia 3 — wzory Cardano
Interpretacja mnożenia przez liczbę zespoloną o module 1 jako obrotu płaszczyzny. Mnożenie przez do-
wolną liczbę zespoloną jako przekształcenie płaszczyzny.

3.1

Wielomiany i ich pierwiastki

3.1.1

Własności ogólne

Przypomnijmy znane ze szkoły określenia wielomianu (bardziej właściwie nazywanego funkcją wielomianową)
i jego pierwiastków.

Definicja 3.1 (Wielomian stopnia n) Niech będą dane liczby zespolone a

i

, i

∈ {0, . . . , n}, przy czym a

n

6=

0. Funkcję zmiennej z ∈ C określoną wzorem

f

(z) = a

n

z

n

+ a

n

−1

z

n

−1

+ . . . + a

1

z

+ a

0

,

(3.1)

nazywamy wielomianem stopnia n o współczynnikach zespolonych, a liczby a

i

— współczynnikami tego wielo-

mianu. Jeśli wszystkie liczby a

i

, i

∈ {0, . . . , n} są liczbami rzeczywistymi, to będziemy mówili, że wielomian

f

(z) jest wielomianem o współczynnikach rzeczywistych.

Pierwiastkiem (miejscem zerowym) wielomianu f (z) nazywamy taką liczbę w ∈ C, że f(w) = 0. Jeśli w jest

pierwiastkiem f (z) i w ∈ R, to będziemy mówili, że w jest pierwiastkiem rzeczywistym wielomianu f(z).

Zazwyczaj będziemy traktować wielomiany jako funkcje określone na dziedzinie równej płaszczyźnie zespo-

lonej C. Dzięki utożsamieniu ciała liczb rzeczywistych R z podzbiorem płaszczyzny C możemy rozważać także
obcięcia wielomianów do zbioru R, otrzymując w ten sposób funkcje odwzorowujące R w C. Jest to szczególnie
celowe w przypadku wielomianów f (z) o współczynnikach rzeczywistych, gdyż ich obcięcie do R przyjmuje
tylko wartości rzeczywiste, co pozwala traktować taki wielomian jako funkcję f : R → R.

W szkole średniej był szczegółowo omawiany problem wyznaczania pierwiastków wielomianów stopnia dru-

giego, a także pewnych szczególnych przypadków wielomianów wyższych stopni(

1

) o współczynnikach rzeczy-

wistych. Dla wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach rzeczywistych przedstawiony był pewien algo-
rytm pozwalający stwierdzić, czy istnieją rzeczywiste pierwiastki tego wielomianu, a w przypadku pozytywnej

1

Przypomnijmy tu o metodzie rozwiązania tzw. równań dwukwadratowych.

27

28

ALiGA — Wykład 3.

odpowiedzi pozwalający je wyrazić za pomocą odpowiednich funkcji współczynników wielomianu. Jak poka-
żemy w dalszym ciągu, ten sam algorytm stosuje się do wyznaczenia zespolonych pierwiastków wielomianów
kwadratowych o współczynnikach zespolonych, a w szczególnym przypadku wielomianów o współczynnikach
rzeczywistych nie mających pierwiastków rzeczywistych pozwala wyznaczyć ich pierwiastki zespolone.

W ogólności można postawić problem istnienia pierwiastków wielomianów o dowolnego stopnia o współ-

czynnikach zespolonych, tj. problem rozwiązalności równań algebraicznych postaci

a

n

x

n

+ a

n

−1

x

n

−1

+ . . . + a

1

x

+ a

0

= 0,

gdzie

a

0

, a

1

, . . . , a

n

∈ C.

Problem ten pochłonął wiele wysiłku ze strony matematyków XVII i XVIII wieku i doczekał się pozytywnego
rozwiązania dopiero na przełomie XVIII i XIX wieku — D’Alembert i Gauss. Decydującą okolicznością okazała
się możliwość rozszerzenia dziedziny wielomianu ze zbioru liczb rzeczywistych R do całej płaszczyzny zespolonej
C

. W ten sposób wielomiany, które podobnie jak wielomian x

2

+ 1 nie mają pierwiastów w zbiorze liczb

rzeczywistych, „odnajdują” swoje pierwiastki w wiekszym zbiorze, jakim jest płaszczyzna zespolona C. Faktem
o pierwszorzędnym znaczeniu jest to, że ciało liczb zespolonych C zawiera pierwiastki wielomianów dowolnego
stopnia, przy czym zarówno tych o współczynnikach rzeczywistych, jak i tych o współczynnikach zespolonych.
Ta własność ciała liczb zespolonych C jest określana jako algebraiczna domkniętość.

Sformułowane poniżej twierdzenie, często nazywane podstawowym twierdzeniem algebry, jest więc zwień-

czeniem trwających przez kilka stuleci starań rozstrzygnięcia problemu rozwiązalności równań algebraicznych.
Dodajmy jednak, że twierdzenie to nie daje sposobu wyznaczenia pierwiastków dla tych równań — pod tym
względem sprawa jest dużo bardziej złożona, gdyż w ogólności dla równań stopnia wyższego niż cztery nie
istnieją czysto algebraiczne metody wyznaczania ich pierwiastków.

Twierdzenie 9 (Twierdzenie D’Alemberta–Gaussa)
Dowolny wielomian f (z) stopnia n ­ 1 o współczynnikach zespolonych (w szczególności rzeczywistych) ma
pierwiastek zespolony.

A zatem, jeśli z

1

jest pierwiastkiem wielomianu f (z), to wobec Twierdzenia Bezout możemy ten wielomian

przedstawić w postaci iloczynu

f

(z) = h(z)(z − z

1

),

gdzie h(z) jest wielomianem stopnia n − 1. Wyznaczając nastepnie pierwiastek wielomianu h(z) i kontynuując
to rozumowanie (w istocie stosujemy indukcję względem stopnia wielomianu f (z)) możemy wywnioskować, że
każdy wielomian da się przedstawić w postaci iloczynu stałej a

n

i dwumianów stopnia 1 o postaci (z − z

i

).

Mamy zatem następujący wniosek.

Wniosek 3 Dowolny wielomian f (z) stopnia n ­ 1 o współczynnikach zespolonych można zapisać w postaci

f

(z) = a

n

(z − z

1

)

k

1

(z − z

2

)

k

2

· · · (z − z

p

)

k

p

(3.2)

gdzie z

i

, i

∈ {1, . . . , p}, są pierwiastkami wielomianu f(z), a liczby naturalne k

i

, i

∈ {1, . . . , p} spełniają

zależność k

1

+ k

2

+ . . . + k

p

= n. Jeśli pierwiastki z

i

są parami różne (z

i

6= z

j

dla i 6= j), to liczby k

i

są

jednoznacznie wyznaczone i nazywane są krotnościami odpowiednich pierwiastków.

Na podstawie tego wniosku możemy zatem powiedzieć, że każdy wielomian stopnia n o współczynnikach zespo-
lonych ma dokładnie n pierwiastków liczonych z krotnościami.

3.1.2

Równania kwadratowe o współczynnikach zespolonych

Rozważmy równanie postaci

ax

2

+ bx + c = 0,

gdzie a 6= 0 i a b, c ∈ C.

(3.3)

Stosując jak w przypadku rzeczywistym metodę uzupełniania do kwadratu możemy je zapisać w postaci

a



x

+

b

2a



2

−

b

2

− 4ac

4a

2



= 0,

A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 6 listopada 2009 roku)

29

skąd wynika równość



x

+

b

2a



2

=

b

2

− 4ac

4a

2

.

W ten sposób zagadnienie wyznaczenia pierwiastków równania kwadratowego (3.3) zostało sprowadzone do

wyznaczenia pierwiastka kwadratowego z liczby zespolonej

b

2

− 4ac

4a

2

. Podobnie jak w przypadku rzeczywistym

wyrażenie b

2

− 4ac nazywamy wyróżnikiem równania (3.3) i oznaczamy ∆ = b

2

− 4ac.

Sformułujemy teraz następujący lemat.

Lemat 1 Każda różna od zera liczba zespolona z ma dwa różne pierwiastki kwadratowe. Są one dane wzorami:

√

z

= ±



















±

√

Re z

dla Im z = 0, Re z ­ 0,

±i

√

− Re z

dla Im z = 0, Re z < 0,

±

q

Re

z+

|z|

2

+ i sgn(Im z)

q

− Re z+|z|

2



dla (Im z) 6= 0.

(3.4)

Liczba 0 ma tylko jeden pierwiastek, którym jest 0.

Ten lemat pozwala zapisać pierwiastki równania kwadratowego (3.3) w postaci znanego wzoru

x

1

=

−b +

√

∆

2a

,

x

2

=

−b −

√

∆

2a

(3.5)

gdzie

√

∆ jest ustaloną jedną z dwóch możliwych wartości

√

∆ danych wzorem (3.4).

Przykład 3.1.1

Dla wyznaczenia pierwiastków kwadratowych z liczby z = 3 + 4i rozwiążemy równanie

w

2

= 3 + 4i

równoważne warunkom

(Re w)

2

− (Im w)

2

= 3,

2(Re w)(Im w) = 4.

Z drugiego warunku wynika, że (Im w) = 2/(Re w)), skąd otrzymujemy dla t = (Re w)

2

równanie kwadratowe

t

2

− 3t − 4 = 0,

o pierwiastkach

t

1

= 4, t

2

= −1.

Ujemny pierwiastek t

2

należy odrzucić, gdyż nie może być równy kwadratowi liczby rzeczywistej Re w. Z warunku t = 4 = (Re w)

2

otrzymujemy dwie wartości ±2 dla Re w i wyznaczając odpowiadające im wartości Im w otrzymujemy dwa rozwiązania równania
w

2

= 3 + 4i, a mianowicie w = ±(2 + i). Otrzymany wynik zapisuje się często w postaci

√

3 + 4i = ±(2 + i).

Pisząc to należy jednak pamiętać, że symbol

√

z nie oznacza jednej liczby, lecz zbiór dwóch liczb, dlatego właściwszy byłby zapis

√

3 + 4i = {(2 + i), −(2 + i)}.

3.1.3

Pierwiastki wielomianów o współczynnikach rzeczywistych

Zacznijmy od spojrzenia z „zespolonej” perspektywy na dobrze znaną sytuację wielomianów o współczynnikach
rzeczywistych stopnia drugiego. Jak wiadomo, trójmian kwadratowy w(x) = ax

2

+ bx + c o współczynnikach

rzeczywistych ma pierwiastki rzeczywiste wtedy i tylko wtedy, gdy jego wyróżnik ∆ = b

2

− 4ac jest nieujemny.

W przeciwnym przypadku możemy wyróżnik zapisać w postaci

∆ = −δ

2

,

gdzie δ ∈ R, δ 6= 0

(kwadrat różnej od zera liczby rzeczywistej jest dodatni), skąd wynika, że zespolone pierwiastki trójmianu w(x)
są dane wzorami

x

1

=

−b + iδ

2a

;

x

2

=

−b − iδ

2a

.

(3.6)

A zatem w tym przypadku pierwiastki trójmianu są do siebie sprzężone, x

1

= x

2

. Tę obserwację możemy

sformułować w postaci następującego wniosku.

30

ALiGA — Wykład 3.

Wniosek 4 Jeśli liczba zespolona z o części urojonej Im z 6= 0 jest pierwiastkiem trójmianu kwadratowego o
współczynnikach rzeczywistych, to liczba do niej sprzężona z jest także pierwiastkiem tego trójmianu.

Inaczej mówiąc, albo oba pierwiastki takiego trójmianu są liczbami rzeczywistymi (

2

), albo są parą liczb

zespolonych do siebie sprzężonych.

Przykład 3.1.2

a) Pierwiastkami wielomianu z

2

+ 1 są liczby z

1

= i, z

2

= −i, a zatem rozkład (3) ma postać

z

2

+ 1 = (z − i)(z + i).

b) Na podstawie wzorów uproszczonego mnożenia otrzymujemy dla z

3

− 1 rozkład

z

3

− 1 = (z − 1)(z

2

+ z + 1).

Obliczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego z

2

+ z + 1 daje

z

1

= −

1
2

+

i

√

3

2

;

z

2

= −

1
2

−

i

√

3

2

,

a więc

z

2

+ z + 1 =



z +

1
2

−

i

√

3

2



z +

1
2

+

i

√

3

2



.

Zatem poszukiwany rozkład wielomianu z

3

− 1 ma postać

z

3

− 1 = (z − 1)



z +

1
2

−

i

√

3

2



z +

1
2

+

i

√

3

2



.

(3.7)

Wyznaczone w ten sposób liczby

z

0

=

1

z

1

= −

1
2

+

i

√

3

2

z

2

= −

1
2

−

i

√

3

2

spełniają równanie z

3

= 1 i z tego względu są nazywane zespolonymi pierwiastkami trzeciego stopnia z jedynki. Liczby te odgrywają

dużą rolę przy wyznaczaniu pierwiastków równania sześciennego, co krótko przedstawimy w dalszej części tego wykładu.

Powyższe obserwacje odnoszące się do szczególnych wielomianów o współczynnikach rzeczywistych można

rozszerzyć obejmując nią wielomiany o współczynnikach rzeczywistych dowolnego stopnia n > 1.

Twierdzenie 10 Jeśli wszystkie współczynniki wielomianu f (z) = a

n

z

n

+ a

n

−1

z

n

−1

+ . . . + a

1

z

+ a

0

są licz-

bami rzeczywistymi i w ∈ C jest jego pierwiastkiem, f(w) = 0, to także liczba w sprzężona do w jest jego
pierwiastkiem. Co więcej, krotności tych pierwiastków są jednakowe.

Korzystając z tego twierdzenia można wykazać, że wielomiany o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć
na iloczyn wielomianów pierwszego i drugiego stopnia o współczynnikach rzeczywistych w następujący sposób.

Twierdzenie 11 Dowolny wielomian f (x) = a

n

x

n

+a

n

−1

x

n

−1

+. . .+a

1

x

+a

0

o współczynnikach rzeczywistych

można przedstawić w postaci iloczynu

f

(x) = a

n

(x − x

1

)

k
1

· · · (x − x

r

)

k

r

(x

2

+ β

1

x

+ γ

1

)

l

1

· · · (x

2

+ β

q

x

+ γ

q

)

l

q

(3.8)

gdzie x

1

, . . . , x

r

są wszystkimi rzeczywistymi pierwiastkami wielomianu f (x), a k

1

, . . . , k

r

odpowiednio ich

krotnościami. Występujące w tym rozkładzie trójmiany kwadratowe nie mają rzeczywistych pierwiastków i są
dane przez

x

2

+ β

s

x

+ γ

s

= (x − w

s

)(x − w

s

),

β

s

= −2 Re w

s

,

γ

s

= |w

s

|

2

,

przy czym liczby w

1

, w

1

, . . . , w

q

, w

q

przebiegają wszystkie pary wzajemnie sprzężonych pierwiastków zespolo-

nych wielomianu f (x), a liczby l

1

, . . . , l

q

są ich krotnościami.

W odróżnieniu od rozkładu (3.2) zastosowanego w przypadku wielomianu o współczynnikach rzeczywistych,
w rozkładzie (3.8) występują tylko wielomiany o współczynnikach rzeczywistych. Dodajmy, że rozkładu te-
go nie można „polepszyć” w tym sensie, żeby otrzymany rozkład zawierał tylko czynniki o współczynnikach
rzeczywistych niższego (tj. pierwszego) stopnia.

Zadanie 3.1.1

Przedstawić wielomian x

4

+ x

2

+ 1 jako iloczyn wielomianów o współczynnikach rzeczywistych możliwie

najniższego stopnia analogicznie do rozkładu przedstawionego w powyższym twierdzeniu.

2

Tu zaliczamy też przypadek rzeczywistego pierwiastka podwójnego odpowiadający trójmianowi będącemu pełnym kwadratem.

A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 6 listopada 2009 roku)

31

3.2

Pierwiastki wielomianów stopnia 3 — wzory Cardano

W pierwszej połowie XVI wieku włoscy matematycy opracowali metodę rozwiązywania równań algebraicznych
trzeciego stopnia, ale ponieważ historia tego odkrycia jest mocno zagmatwana przez kłótnie o pierwszeństwo i
wzajemne oskarżenia o kradzież tego odkrycia, nie jest możliwe precyzyjne ustalenie autorstwa tej metody. Po
raz pierwszy opublikował ją drukiem Girolamo Cardano w 1545 roku i dlatego znana jest pod jego nazwiskiem.

Pierwszy krok tej metody polega na redukcji ogólnego równania stopnia 3 (możemy dla ustalenia uwagi

przyjąć, że współczynniki a, b, c, d w równaniu są liczbami zespolonymi),

ax

3

+ bx

2

+ cx + d = 0,

a

6= 0,

(3.9)

do tzw. postaci zredukowanej (inaczej kanonicznej)

y

3

+ py + q = 0,

(3.10)

w której nie występuje wyraz proporcjonalny do drugiej potęgi niewiadomej.

Zadanie 3.2.1

Wykazać, że można tak dobrać stałą α ∈ C w podstawieniu postaci

x

= y + α,

aby równanie (3.9) sprowadziło się do postaci zredukowanej (3.10). Wyznaczyć także zależność między współczynnikami
tych równań.

Podamy teraz sposób rozwiązania równania trzeciego stopnia w postaci zredukowanej (3.10). Przyjmując, że
p

6= 0 (przypadek p = 0 daje się rozwiązać przez bezpośrednie zastosowanie wzorów na pierwiastkowanie)

dokonajmy podstawienia

y

= u −

p

3u

,

(3.11)

co prowadzi do równania (sprawdzić stosując wzory dwumianowe Newtona!)

u

3

−



p

3u



3

+ q = 0.

Teraz podstawienie t = u

3

sprowadza nasze równanie do równania kwadratowego dla niewiadomej t, zwanego

równaniem rozwiązującym,

t

2

+ qt −



p
3



3

= 0.

Pierwiastki równania rozwiązującego są dane wzorami

t

1

= −

q
2

+

s

q

2

4

+

p

3

27

,

t

2

= −

q
2

−

s

q

2

4

+

p

3

27

.

Dla każdego z pierwiastków t

i

, i

= 1, 2 równania rozwiązującego równanie

u

3

= t

i

,

ma trzy pierwiastki u

1

, u

2

, u

3

i u

′

1

, u

′

2

, u

′

3

. Po podstawieniu tych pierwiastków do równania (3.11) otrzymujemy

sześć liczb, wsród których są tylko trzy różne i te dają rozwiązania równania (3.10).

Dobrym ćwiczeniem dla czytelnika byłaby próba zastosowanie powyższej metody do rozwiązania (skądinąd

znanego) równania z

3

− 1 = 0. My zilustrujemy naszkicowaną metodę innym prostym przykładem.

Przykład 3.2.1

a) Rozwiążemy metodą Cardano równanie

z

3

− 18z − 35 = 0.

Jest ono podane od razu w postaci zredukowanej 3.10, przy czym p = −18, q = −35. Równanie rozwiązujące ma postać

t

2

− 35t + 6 = 0,

32

ALiGA — Wykład 3.

którego pierwiastkami są liczby t

1

= 8, t

2

= 27. W Przykładzie 2.1.3 wyznaczyliśmy pierwiastki trzeciego stopnia z liczby 8, którymi

są liczby

u

1

= 2,

u

2

= 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = −1 + i

√

3,

u

3

= 2(cos(4π/3) + i sin(4π/3)) = −1 − i

√

3.

Analogicznie, pierwiastkami sześciennymi z liczby 27 są

u

′

1

= 3,

u

′

2

= 3(cos(2π/3) + i sin(2π/3)) = −

3
2

+ i

3

√

3

2

,

u

′

3

= 3(cos(4π/3) + i sin(4π/3)) = −

3
2

− i

3

√

3

2

.

Podstawienie do równania (3.11) liczb u

1

, u

2

, u

3

daje

z

1

= u

1

−

p

3u

1

= 2 −

−18

6

= 5,

(3.12)

z

2

= u

2

−

p

3u

2

= −1 + i

√

3 +

6

−1 + i

√

3

= −

5
2

+ i

i

√

3

2

,

(3.13)

z

3

= u

3

−

p

3u

3

= −1 − i

√

3 +

6

−1 − i

√

3

= −

5
2

− i

i

√

3

2

.

(3.14)

Pozostawiamy czytelnikowi trud dokończenia obliczeń przez podstawienie do wzoru (3.11) liczb u

′

1

, u

′

2

, u

′

3

i sprawdzenie, że

prowadzi to do tych samych rozwiązań.
b) Rozwiązać tą samą metodą równanie

z

3

+ 3z + 2i = 0

i pokazać, że pierwiastkami tego równania są z

1

= 2i, z

2

= z

3

= −i.

Na tym zakończymy tę pobieżną dyskusję równania trzeciego stopnia odsyłając zainteresowanego czytelnika

do literatury, gdzie można znaleźć przedstawienie tego zagadnienia i to na różnym poziomie trudności.