Całki nieoznaczone

Definicja 1. Funkcją pierwotną funkcji f : [a, b] → R w przedziale a < x < b nazywamy

każdą funkcję F : [a, b] → R taką, że F

0

(x) = f (x) dla każdego x z przedziału a < x < b.

Dwie funkcje mające w danym przedziale skończoną pochodną mogą różnić się o stałą. Dlate-

go też każdej funkcji f określonej powyżej można przyporządkować nieskończenie wiele różnych

funkcji pierwotnych różniących się od siebie o stałą.

Definicja 2. Całką nieoznaczoną funkcji f , oznaczaną symbolem

Z

f (x)dx,

nazywamy wyrażenie F (x) + C, gdzie F jest funkcją pierwotną funkcji f , a C oznacza dowolną

stałą. Mamy więc

Z

f (x)dx = F (x) + C

⇐⇒

F

0

(x) = f (x).

Podstawowe wzory rachunku całkowego:

(1)

R

x

α

dx =

x

α+1

α+1

+ C, α 6= −1, kilka szczególnych przypadków tego wzoru, to:

• dla α = 0:

R

dx = x + C;

• dla α = −

1
2

:

R

dx

√

x

= 2

√

x + C, x > 0;

• dla α = −2:

R

dx
x

2

= −

1
x

+ C, x 6= 0;

(2)

R

dx

x

= ln |x| + C, x 6= 0;

(3)

R

e

x

dx = e

x

+ C;

(4)

R

a

x

dx =

a

x

ln a

+ C, a > 0, a 6= 1;

(5)

R

cos xdx = sin x + C;

(6)

R

sin xdx = − cos x + C;

(7)

R

dx

cos

2

x

= tg x + C, cos x 6= 0;

(8)

R

dx

sin

2

x

= − ctg x + C, sin x 6= 0;

(9)

R

dx

√

1−x

2

= arc sin x + C = − arc cos x + C

1

, −1 < x < 1;

(10)

R

dx

1+x

2

= arc tg x + C = − arc ctg x + C

1

.

1

Własności całek nieoznaczonych:

(1) Całka sumy równa się sumie całek (addytywność całki względem sumy podcałkowej) tzn.

Z

(f (x) + g(x)) dx =

Z

f (x)dx +

Z

g(x)dx.

(2) Stały czynnik można wynieść przed znak całki, tzn.

Z

kf (x)dx = k ·

Z

f (x)dx,

k ∈ R, k 6= 0.

(3) Całkowanie przez części: Jeżeli u, v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną,

to

Z

u(x)v

0

(x)dx = u(x)v(x) −

Z

u

0

(x)v(x)dx.

(4) Całkowanie przez podstawienie: Jeżeli dla a ¬ x ¬ b, g(x) = u jest funkcją mającą

ciągłą pochodną oraz A ¬ g(x) ¬ B, a funkcja f = f (u) jest ciągła na przedziale [A, B],

to

Z

f (g(x))g

0

(x)dx =

Z

f (u)du,

przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić: u =

g(x).

Przykład 1. Korzystając z wł. 1-2 i powyżej wprowadzonych wzorów mamy:

R



5x

2

− 6x + 3 −

2
x

+

5

x

2



dx = 5

R

x

2

dx − 6

R

xdx + 3

R

dx − 2

R

dx

x

+ 5

R

dx
x

2

=

5
3

x

3

− 3x

2

+ 3x −

2 ln |x| −

5
x

+ C

Przykład 2. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez części obliczamy:

R

xe

x

dx =








u = x

v

0

= e

x

u

0

= 1

v = e

x








= xe

x

−

R

1 · e

x

dx = xe

x

− e

x

+ C.

Przykład 3. Korzystając ze wzoru na całkowanie przez podstawienie obliczamy:

R

sin

5

x cos xdx =








sin x = t

cos xdx = dt








=

R

t

5

dt =

t

6

6

+ C =







t = sin x







=

1
6

sin

6

x + C.

Więcej przykładów z rozwiązaniami w:

W. Krysicki, L. Włodarski: „Analiza Matematyczna w Zadaniach. Część I”.

2